Диагонали прямоугольника (квадрата) и их свойства — с. 111
2. Рассмотри чертёж. Назови диагонали квадрата и точку их пересечения. Что можно сказать о свойствах диагоналей квадрата, зная, что квадрат тоже прямоугольник?
У диагоналей квадрата есть ещё одно свойство. Проверь это свойство по чертежу.
Диагонали квадрата KLMN — отрезки KM и LN, точка их пересечения — E.
Квадрат — прямоугольник, поэтому его диагонали равны (KM = LN), а точка E делит каждую диагональ пополам: KE = EM = LE = EN.
Ещё одно свойство: при пересечении диагоналей квадрата получаются четыре прямых угла. Проверка угольником: углы KEL, LEM, MEN, NEK — прямые.
Квадрат — прямоугольник, поэтому его диагонали равны (KM = LN), а точка E делит каждую диагональ пополам: KE = EM = LE = EN.
Ещё одно свойство: при пересечении диагоналей квадрата получаются четыре прямых угла. Проверка угольником: углы KEL, LEM, MEN, NEK — прямые.
3. Используя свойства диагоналей квадрата, начерти в тетради квадрат, длина диагонали которого 5 см.
Диагонали квадрата равны, делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны.
1) Проводим отрезок KM = 5 см. 2) Находим его середину E (KE = 2,5 см). 3. Через E угольником проводим прямую, перпендикулярную KM. 4. От точки E на этой прямой вверх и вниз откладываем по 2,5 см — получаем L и N. 5. Соединяем K, L, M, N. Получился квадрат KLMN с диагоналями KM = LN = 5 см (стороны около 3,5 см — проверка: 3,5 · 3,5 ≈ 12,5 см², половина произведения диагоналей 5 · 5 : 2 = 12,5).
1) Проводим отрезок KM = 5 см. 2) Находим его середину E (KE = 2,5 см). 3. Через E угольником проводим прямую, перпендикулярную KM. 4. От точки E на этой прямой вверх и вниз откладываем по 2,5 см — получаем L и N. 5. Соединяем K, L, M, N. Получился квадрат KLMN с диагоналями KM = LN = 5 см (стороны около 3,5 см — проверка: 3,5 · 3,5 ≈ 12,5 см², половина произведения диагоналей 5 · 5 : 2 = 12,5).
4. Построить 4 прямых угла с общей вершиной можно и на нелинованной бумаге.
1. Отложи на прямой отрезок AB. Радиусом, равным больше половины длины отрезка, проведи 2 окружности с центрами в точках A и B (чертёж 1). Обозначь точки пересечения окружностей буквами C и D. Проведи прямую через точки C и D. Точку пересечения прямых обозначь буквой O. Проверь, что все 4 угла с вершиной в точке O прямые.
Построение: на прямой отмечаем A и B (например, AB = 6 см); циркулем с радиусом 4 см (больше половины AB, то есть больше 3 см) чертим окружность с центром A и окружность с центром B. Они пересекаются в точках C и D. Прямая CD пересекает AB в точке O.
Проверка угольником: все четыре угла с вершиной O (AOC, COB, BOD, DOA) — прямые. Прямая CD проходит через середину AB (AO = OB) и перпендикулярна AB, поскольку точки C и D одинаково удалены от A и от B.
Проверка угольником: все четыре угла с вершиной O (AOC, COB, BOD, DOA) — прямые. Прямая CD проходит через середину AB (AO = OB) и перпендикулярна AB, поскольку точки C и D одинаково удалены от A и от B.
4.
2. Построй 4 прямых угла с общей вершиной в точке O, следуя плану пункта 1, но вместо окружностей проводи дуги (чертёж 2). Любую точку отрезка CD соедини отрезками с точками A и B. Убедись, что полученный треугольник — равнобедренный. Начерти так же ещё 2 равнобедренных треугольника; 1 равносторонний.
Строим дуги радиусом больше половины AB с центрами в A и B — они пересекаются в C и D; через C и D проводим прямую, она пересекает AB в O, углы при O прямые.
Берём на отрезке CD любую точку P и соединяем её с A и B. Так как P лежит на прямой, перпендикулярной AB и проходящей через середину O, то PA = PB (прямоугольные треугольники AOP и BOP равны по двум катетам: AO = OB, OP общий). Значит треугольник ABP — равнобедренный (PA = PB). Проверка циркулем.
Ещё два равнобедренных треугольника — с вершинами в других точках CD (например, Q на разной высоте). Равносторонний получится, если раствор циркуля взять равным AB: дуги с центрами A и B пересекаются в точке C, тогда CA = CB = AB.
На чертеже AB = 6 см: P на высоте 2 см, Q на высоте 4 см, C на высоте 3·√3 ≈ 5,2 см.
Берём на отрезке CD любую точку P и соединяем её с A и B. Так как P лежит на прямой, перпендикулярной AB и проходящей через середину O, то PA = PB (прямоугольные треугольники AOP и BOP равны по двум катетам: AO = OB, OP общий). Значит треугольник ABP — равнобедренный (PA = PB). Проверка циркулем.
Ещё два равнобедренных треугольника — с вершинами в других точках CD (например, Q на разной высоте). Равносторонний получится, если раствор циркуля взять равным AB: дуги с центрами A и B пересекаются в точке C, тогда CA = CB = AB.
На чертеже AB = 6 см: P на высоте 2 см, Q на высоте 4 см, C на высоте 3·√3 ≈ 5,2 см.