Глава 1. § 14. Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением свободного падения» — с. 54
§ 14. Задача для самостоятельного решения 1. Камень, упав с обрыва, достиг поверхности воды через 2 с. Чему равна высота обрыва?
Определите модуль конечной скорости камня.
Камень падает без начальной скорости. Принимаем g = 10 м/с² (как в ответах учебника к этому параграфу).
Высота h = gt²/2 = 10 · 2²/2 = 20 м.
Конечная скорость v = gt = 10 · 2 = 20 м/с.
Ответ: 20 м; 20 м/с.
Оговорка: при g = 9,8 м/с² получилось бы 19,6 м и 19,6 м/с.
Высота h = gt²/2 = 10 · 2²/2 = 20 м.
Конечная скорость v = gt = 10 · 2 = 20 м/с.
Ответ: 20 м; 20 м/с.
Оговорка: при g = 9,8 м/с² получилось бы 19,6 м и 19,6 м/с.
§ 14. Задача для самостоятельного решения 2. Льдинка падает с высоты 4 м. Определите время, за которое она пролетела последний метр, а также среднюю скорость её движения.
Падение без начальной скорости, g = 10 м/с². Время падения со всей высоты t = √(2h/g) = √(2 · 4/10) = √0,8 ≈ 0,894 с. До начала последнего метра льдинка пролетела 3 м за t₃ = √(2 · 3/10) = √0,6 ≈ 0,775 с. Время прохождения последнего метра Δt = t – t₃ ≈ 0,894 – 0,775 ≈ 0,12 с.
Средняя скорость на всём пути v_ср = h/t = 4 м / 0,894 с ≈ 4,5 м/с.
Ответ: ≈ 0,12 с; ≈ 4,5 м/с.
Средняя скорость на всём пути v_ср = h/t = 4 м / 0,894 с ≈ 4,5 м/с.
Ответ: ≈ 0,12 с; ≈ 4,5 м/с.
§ 14. Задача для самостоятельного решения 3. Камень брошен горизонтально со скоростью 20 м/с с высоты 10 м относительно земли. Определите время полёта, дальность полёта и скорость камня в момент падения на землю.
Горизонтально движение равномерное, вертикально — свободное падение; g = 10 м/с².
Время полёта из h = gt²/2: t = √(2h/g) = √(2 · 10/10) = √2 ≈ 1,4 с.
Дальность L = v₀t = 20 · 1,41 ≈ 28 м.
В момент падения vₓ = v₀ = 20 м/с, v_y = gt = 10 · 1,41 ≈ 14,1 м/с; v = √(vₓ² + v_y²) = √(400 + 200) ≈ 24,5 м/с.
Ответ: ≈ 1,4 с; ≈ 28 м; ≈ 24,5 м/с.
Время полёта из h = gt²/2: t = √(2h/g) = √(2 · 10/10) = √2 ≈ 1,4 с.
Дальность L = v₀t = 20 · 1,41 ≈ 28 м.
В момент падения vₓ = v₀ = 20 м/с, v_y = gt = 10 · 1,41 ≈ 14,1 м/с; v = √(vₓ² + v_y²) = √(400 + 200) ≈ 24,5 м/с.
Ответ: ≈ 1,4 с; ≈ 28 м; ≈ 24,5 м/с.
§ 14. Задача для самостоятельного решения 4. Мяч брошен с поверхности земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Определите наибольшую высоту подъёма, дальность полёта, скорость в наивысшей точке траектории, скорость и координаты мяча через 2 с после начала движения.
Начало координат в точке броска, ось OX горизонтальна, OY вверх; g = 10 м/с². v₀ₓ = v₀cos 45° ≈ 14,14 м/с, v₀y = v₀sin 45° ≈ 14,14 м/с.
Наибольшая высота H = v₀²sin²α/(2g) = 400 · 0,5/20 = 10 м.
Дальность L = v₀² sin 2α/g = 400 · 1/10 = 40 м.
В наивысшей точке v_y = 0, скорость равна vₓ = v₀cos α ≈ 14 м/с.
Через t = 2 с: vₓ = 14,14 м/с; v_y = v₀y – gt = 14,14 – 20 ≈ –5,86 м/с (мяч уже летит вниз; время полёта 2v₀y/g ≈ 2,83 с, значит, мяч ещё в воздухе). Модуль v = √(14,14² + 5,86²) ≈ 15,3 м/с ≈ 15 м/с, направлена под углом arctg(5,86/14,14) ≈ 22° ниже горизонта.
Координаты: x = vₓt = 14,14 · 2 ≈ 28 м; y = v₀yt – gt²/2 = 14,14 · 2 – 5 · 4 ≈ 8 м.
Ответ: H = 10 м; L = 40 м; в вершине ≈ 14 м/с; через 2 с v ≈ 15 м/с, x ≈ 28 м, y ≈ 8 м.
Наибольшая высота H = v₀²sin²α/(2g) = 400 · 0,5/20 = 10 м.
Дальность L = v₀² sin 2α/g = 400 · 1/10 = 40 м.
В наивысшей точке v_y = 0, скорость равна vₓ = v₀cos α ≈ 14 м/с.
Через t = 2 с: vₓ = 14,14 м/с; v_y = v₀y – gt = 14,14 – 20 ≈ –5,86 м/с (мяч уже летит вниз; время полёта 2v₀y/g ≈ 2,83 с, значит, мяч ещё в воздухе). Модуль v = √(14,14² + 5,86²) ≈ 15,3 м/с ≈ 15 м/с, направлена под углом arctg(5,86/14,14) ≈ 22° ниже горизонта.
Координаты: x = vₓt = 14,14 · 2 ≈ 28 м; y = v₀yt – gt²/2 = 14,14 · 2 – 5 · 4 ≈ 8 м.
Ответ: H = 10 м; L = 40 м; в вершине ≈ 14 м/с; через 2 с v ≈ 15 м/с, x ≈ 28 м, y ≈ 8 м.
§ 14. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Камень падает из состояния покоя с высоты h. Ось OY вертикальна и направлена вверх. Начало координат совпадает с поверхностью земли.
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите выбранные цифры с соответствующими буквами.
Физическая величина:
А) Проекция скорости на ось OY в момент времени t
Б) Координата точки, в которой находится камень в момент времени t
Формула:
1) gt
2) h – gt²/2
3) –gt
4) gt²/2
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите выбранные цифры с соответствующими буквами.
Физическая величина:
А) Проекция скорости на ось OY в момент времени t
Б) Координата точки, в которой находится камень в момент времени t
Формула:
1) gt
2) h – gt²/2
3) –gt
4) gt²/2
Ось OY направлена вверх, ускорение свободного падения направлено вниз: a_y = –g, начальная скорость равна нулю, начальная координата y₀ = h.
А) v_y = v₀y + a_yt = –gt, это формула 3).
Б) y = y₀ + v₀yt + a_yt²/2 = h – gt²/2, это формула 2).
Ответ: А3 Б2.
А) v_y = v₀y + a_yt = –gt, это формула 3).
Б) y = y₀ + v₀yt + a_yt²/2 = h – gt²/2, это формула 2).
Ответ: А3 Б2.
§ 14. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Тело брошено со скоростью v₀ под углом α к горизонту. Начало координат находится в точке, из которой брошено тело, ось OX горизонтальна, ось OY вертикальна и направлена вверх.
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите выбранные цифры с соответствующими буквами.
Физическая величина:
А) Максимальное значение нормального ускорения во время полёта
Б) Минимальное значение проекции скорости v_y
Формула:
1) g
2) –v₀
3) g·cos α
4) –v₀ sin α
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, определяющими их. К каждой позиции первого столбца подберите нужную позицию второго и запишите выбранные цифры с соответствующими буквами.
Физическая величина:
А) Максимальное значение нормального ускорения во время полёта
Б) Минимальное значение проекции скорости v_y
Формула:
1) g
2) –v₀
3) g·cos α
4) –v₀ sin α
А) Полное ускорение всё время равно g и направлено вертикально вниз. Нормальная составляющая a_n = g·cos β, где β — угол между вектором g⃗ и нормалью к траектории; она максимальна, когда скорость горизонтальна (в вершине траектории), и равна g. Это формула 1).
Б) Проекция v_y = v₀ sin α – gt монотонно убывает, поэтому минимальна в конце полёта, когда тело вернулось на высоту бросания: v_y = –v₀ sin α. Это формула 4).
Ответ: А1 Б4.
Б) Проекция v_y = v₀ sin α – gt монотонно убывает, поэтому минимальна в конце полёта, когда тело вернулось на высоту бросания: v_y = –v₀ sin α. Это формула 4).
Ответ: А1 Б4.