Глава 1. § 12. Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением» — с. 48
§ 12. Задача для самостоятельного решения 1. Тело движется вдоль координатной оси OX. Направления начальной скорости и ускорения совпадают с положительным направлением оси, а их модули равны v₀ = 4 м/с, a = 2 м/с². Определите скорость через 4 с от начала отсчёта времени.
Проекции v₀ₓ = +4 м/с и aₓ = +2 м/с². По формуле vₓ = v₀ₓ + aₓt = 4 + 2 · 4 = 12 м/с. Знак «плюс»: скорость направлена вдоль оси OX.
Ответ: 12 м/с.
Ответ: 12 м/с.
§ 12. Задача для самостоятельного решения 2. В точке с координатой x₀ = 10 м тело имело скорость v₀ = 20 м/с, направленную противоположно положительному направлению оси OX. Ускорение тела направлено противоположно вектору начальной скорости, а его модуль равен 10 м/с². Определите координату тела в моменты времени 1, 2, 3, 4 с от начала отсчёта.
Начальная скорость направлена против оси: v₀ₓ = –20 м/с. Ускорение направлено противоположно скорости, то есть вдоль оси: aₓ = +10 м/с². Уравнение движения x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2 = 10 – 20t + 5t².
t = 1 с: x = 10 – 20 + 5 = –5 м.
t = 2 с: x = 10 – 40 + 20 = –10 м.
t = 3 с: x = 10 – 60 + 45 = –5 м.
t = 4 с: x = 10 – 80 + 80 = 10 м.
Тело движется против оси до остановки в момент t = v₀/a = 2 с (x = –10 м), затем возвращается и в момент 4 с оказывается в исходной точке.
Ответ: –5 м; –10 м; –5 м; 10 м.
t = 1 с: x = 10 – 20 + 5 = –5 м.
t = 2 с: x = 10 – 40 + 20 = –10 м.
t = 3 с: x = 10 – 60 + 45 = –5 м.
t = 4 с: x = 10 – 80 + 80 = 10 м.
Тело движется против оси до остановки в момент t = v₀/a = 2 с (x = –10 м), затем возвращается и в момент 4 с оказывается в исходной точке.
Ответ: –5 м; –10 м; –5 м; 10 м.
§ 12. Задача для самостоятельного решения 3. На рисунке 1.50 показан график зависимости проекции скорости тела от времени. Постройте график зависимости модуля перемещения от времени.
[рисунок 1.50: график vₓ(t); из начала координат прямая линейно растёт до максимума в момент t₁ (пунктир вниз на ось), затем прямая линейно убывает до нуля в момент t₂; по рисунку t₂ ≈ 2t₁]
[рисунок 1.50: график vₓ(t); из начала координат прямая линейно растёт до максимума в момент t₁ (пунктир вниз на ось), затем прямая линейно убывает до нуля в момент t₂; по рисунку t₂ ≈ 2t₁]
Перемещение равно площади под графиком vₓ(t). Скорость всё время неотрицательна, поэтому тело не меняет направления и модуль перемещения равен пути и только растёт.
Участок 0 – t₁: равноускоренное движение из покоя с a₁ = vₘ/t₁, Δr = a₁t²/2 = vₘt²/(2t₁) — ветвь параболы, выпуклая вниз; в момент t₁ значение Δr₁ = vₘt₁/2 (площадь треугольника).
Участок t₁ – t₂: скорость убывает до нуля с ускорением a₂ = –vₘ/(t₂ – t₁): Δr = vₘt₁/2 + vₘ(t – t₁) – vₘ(t – t₁)²/(2(t₂ – t₁)) — ветвь параболы, выпуклая вверх; касательная в момент t₂ горизонтальна (скорость равна нулю), а в точке t₁ парабола плавно сопрягается с первой (одинаковая скорость vₘ).
К моменту t₂ Δr = vₘt₂/2 — площадь всего треугольника под графиком. Для построения принято t₂ = 2t₁ (по рисунку), тогда Δr(t₂) = vₘt₁.
Ответ: график — две сопряжённые параболы, монотонно возрастающие от 0 до vₘt₂/2 (рисунок).
Оговорка: отношение t₂/t₁ на рисунке учебника приблизительное, взято 2; при другом отношении изменятся лишь масштабы по оси t, вид кривой сохранится.
Участок 0 – t₁: равноускоренное движение из покоя с a₁ = vₘ/t₁, Δr = a₁t²/2 = vₘt²/(2t₁) — ветвь параболы, выпуклая вниз; в момент t₁ значение Δr₁ = vₘt₁/2 (площадь треугольника).
Участок t₁ – t₂: скорость убывает до нуля с ускорением a₂ = –vₘ/(t₂ – t₁): Δr = vₘt₁/2 + vₘ(t – t₁) – vₘ(t – t₁)²/(2(t₂ – t₁)) — ветвь параболы, выпуклая вверх; касательная в момент t₂ горизонтальна (скорость равна нулю), а в точке t₁ парабола плавно сопрягается с первой (одинаковая скорость vₘ).
К моменту t₂ Δr = vₘt₂/2 — площадь всего треугольника под графиком. Для построения принято t₂ = 2t₁ (по рисунку), тогда Δr(t₂) = vₘt₁.
Ответ: график — две сопряжённые параболы, монотонно возрастающие от 0 до vₘt₂/2 (рисунок).
Оговорка: отношение t₂/t₁ на рисунке учебника приблизительное, взято 2; при другом отношении изменятся лишь масштабы по оси t, вид кривой сохранится.