Глава 1. § 13. Движение с постоянным ускорением свободного падения — с. 51
§ 13. Вопрос 1. Какую форму имеет траектория тела, брошенного под углом к горизонту?
Если сопротивлением воздуха пренебречь, то траектория тела — парабола. Из x = v₀t·cos α и y = v₀t·sin α – gt²/2 после исключения времени получаем y = x·tg α – gx²/(2v₀²cos²α), то есть y = bx² + cx при b < 0: ветви параболы направлены вниз, ось симметрии вертикальна. Тело, брошенное горизонтально, движется по одной из ветвей параболы с вершиной в точке бросания.
§ 13. Вопрос 2. При каком угле бросания дальность полёта будет максимальна?
Дальность полёта (при бросании и падении на одном уровне) L = v₀² sin 2α / g. Она максимальна, когда sin 2α = 1, то есть при α = 45°; тогда L = v₀²/g. Углы, дополняющие друг друга до 90° (например, 30° и 60°), дают одинаковую дальность.
§ 13. Вопрос 3. Под каким углом к горизонту направлена скорость тела в наивысшей и конечной точках траектории?
В наивысшей точке вертикальная проекция скорости равна нулю, а горизонтальная v₀cos α остаётся неизменной, поэтому скорость направлена горизонтально — угол с горизонтом равен 0°. В конечной точке (на том же уровне, с которого брошено тело) v_y = –v₀ sin α, vₓ = v₀ cos α: модуль скорости равен v₀, а скорость направлена под углом α к горизонту вниз, то есть под тем же углом, под которым тело бросили.
§ 13. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через 2 с. Определите высоту, с которой был брошен камень (g = 10 м/с²).
Вертикальное движение — свободное падение без начальной вертикальной скорости: h = gt²/2 = 10 · 2²/2 = 20 м. Горизонтальная скорость на время падения не влияет.
Ответ: 20 м.
Ответ: 20 м.
§ 13. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Мяч бросили с горизонтальной поверхности земли под углом α = 30° к горизонту. Максимальная скорость мяча во время полёта была равна 12 м/с. Чему равна минимальная скорость мяча во время полёта?
Модуль скорости наибольший в начале и в конце полёта: v₀ = 12 м/с. Наименьшей скорость бывает в наивысшей точке, где v_y = 0 и остаётся только горизонтальная составляющая vₓ = v₀cos α = 12 · cos 30° = 12 · 0,866 ≈ 10,4 м/с.
Ответ: ≈ 10,4 м/с.
Ответ: ≈ 10,4 м/с.
§ 13. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал обратно на землю в 20 м от места броска. Сколько времени прошло от броска до того момента, когда его скорость была направлена горизонтально и равна 10 м/с?
Скорость горизонтальна только в наивысшей точке; в ней скорость равна горизонтальной составляющей, которая на всём пути постоянна: vₓ = 10 м/с. Полное время полёта T = L/vₓ = 20 м / 10 м/с = 2 с. Траектория симметрична, поэтому вершина достигается в момент T/2 = 1 с.
Ответ: 1 с.
Ответ: 1 с.