Глава 1. § 7. Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей» — с. 30
§ 7. Задача для самостоятельного решения 1. Скорость катера относительно воды равна 36 км/ч, а скорость течения равна 9 км/ч. На одном берегу реки находятся две пристани. Расстояние между ними равно 90 км. Какое время затратит катер на прохождение пути между пристанями по течению и обратно?
Скорость относительно берега по течению v₁ = 36 + 9 = 45 км/ч, против течения v₂ = 36 − 9 = 27 км/ч.
t₁ = s/v₁ = 90/45 = 2 ч; t₂ = s/v₂ = 90/27 = 10/3 ч ≈ 3,33 ч.
Полное время t = t₁ + t₂ = 2 + 3,33 ≈ 5,3 ч (около 5 ч 20 мин).
Ответ: ≈ 5,3 ч.
t₁ = s/v₁ = 90/45 = 2 ч; t₂ = s/v₂ = 90/27 = 10/3 ч ≈ 3,33 ч.
Полное время t = t₁ + t₂ = 2 + 3,33 ≈ 5,3 ч (около 5 ч 20 мин).
Ответ: ≈ 5,3 ч.
§ 7. Задача для самостоятельного решения 2. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу равномерно движутся два поезда со скоростями 72 км/ч и 108 км/ч. Длина первого поезда 900 м, второго — 140 м. В течение какого времени один поезд пройдёт мимо другого?
Свяжем систему отсчёта с первым поездом. Скорость второго относительно него при встречном движении равна сумме модулей: v = 72 + 108 = 180 км/ч = 50 м/с. Пока поезда проходят друг мимо друга, второй поезд должен пройти относительно первого путь, равный сумме длин: s = 900 + 140 = 1040 м.
Время t = s/v = 1040 м / 50 м/с = 20,8 с.
Ответ: 20,8 с.
Время t = s/v = 1040 м / 50 м/с = 20,8 с.
Ответ: 20,8 с.
§ 7. Задача для самостоятельного решения 3. Капли дождя падают отвесно относительно земли со скоростью 35 м/с. Какую наименьшую скорость относительно земли должен иметь автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклонённом под углом 60° к горизонту, не оставалось следов капель?
Завихрения воздуха не учитывайте.
Перейдём в систему отсчёта автомобиля. Скорость капель относительно автомобиля u⃗ = v⃗_капель − v⃗_авто. Вертикальная составляющая u равна 35 м/с вниз, горизонтальная равна скорости автомобиля v и направлена назад. Капли летят вниз и назад под углом β к горизонту: tg β = 35 / v.
Заднее стекло наклонено под 60° к горизонту и обращено назад и вверх. Капли не попадут на стекло, если их скорость направлена вдоль стекла или от него. Предельный случай: вектор u⃗ параллелен плоскости стекла, то есть β = 60°. При меньшем v угол β больше 60°, капли летят круче и бьют в стекло; при большем v капли летят более полого и стекла не касаются.
Из tg 60° = 35 / v получаем v = 35 / tg 60° = 35 / 1,732 ≈ 20,2 м/с (около 73 км/ч).
Ответ: ≈ 20 м/с (20,2 м/с).
Заднее стекло наклонено под 60° к горизонту и обращено назад и вверх. Капли не попадут на стекло, если их скорость направлена вдоль стекла или от него. Предельный случай: вектор u⃗ параллелен плоскости стекла, то есть β = 60°. При меньшем v угол β больше 60°, капли летят круче и бьют в стекло; при большем v капли летят более полого и стекла не касаются.
Из tg 60° = 35 / v получаем v = 35 / tg 60° = 35 / 1,732 ≈ 20,2 м/с (около 73 км/ч).
Ответ: ≈ 20 м/с (20,2 м/с).
§ 7. Задача для самостоятельного решения 4. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека вниз за 1 мин. Если человек идёт вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?
Пусть L — длина эскалатора, u — скорость эскалатора, w — скорость человека относительно эскалатора. Скорости складываются: относительно земли человек движется со скоростью w + u.
Первый случай: L = (w + u)·60 с. Второй случай: L = (2w + u)·45 с.
Приравняем: 60w + 60u = 90w + 45u, откуда 15u = 30w, u = 2w.
Стоящий человек едет со скоростью u: t = L/u. Из первого уравнения L = (w + 2w)·60 = 180w, значит t = 180w / 2w = 90 с.
Ответ: 90 с (1,5 мин).
Первый случай: L = (w + u)·60 с. Второй случай: L = (2w + u)·45 с.
Приравняем: 60w + 60u = 90w + 45u, откуда 15u = 30w, u = 2w.
Стоящий человек едет со скоростью u: t = L/u. Из первого уравнения L = (w + 2w)·60 = 180w, значит t = 180w / 2w = 90 с.
Ответ: 90 с (1,5 мин).