Задания 1–3 — Глава 1. § 6. Сложение скоростей

Если тело движется относительно системы координат K₁ со скоростью v⃗, а сама система K₁ движется относительно другой системы K₂ со скоростью v⃗₁, то скорость тела относительно K₂ равна геометрической сумме v⃗₁ и v⃗: v⃗₂ = v⃗₁ + v⃗. Скорости складываются как векторы. В проекциях на оси: v₂ₓ = v₁ₓ + vₓ, v₂ᵧ = v₁ᵧ + vᵧ, то есть проекции складываются алгебраически. Закон справедлив для скоростей, много меньших скорости света.

Скорость относительно велосипедиста — это скорость в системе отсчёта, связанной с ним. В этой системе дорожка движется в обратную сторону с той же по модулю скоростью. Пусть v⃗ — скорость велосипедиста относительно дорожки; по закону сложения скоростей v⃗_дорожки отн. вел. = −v⃗. Модуль скорости равен v, направление противоположно направлению движения велосипедиста.
Ответ: −v⃗ (модуль v, направление против движения велосипедиста).

Выберем: неподвижная система связана с водой, подвижная — с берегом. Относительно воды лодка движется со скоростью v⃗_л (она направлена перпендикулярно берегам), берег движется относительно воды со скоростью −u⃗, где u⃗ — скорость течения (вода относительно берега). Скорость лодки относительно берега по закону сложения скоростей равна сумме: v⃗_л,бер = v⃗_л,вод + u⃗, где u⃗ — скорость воды относительно берега. Так как v⃗_л ⟂ u⃗, модуль v = √(v_л² + u²), а лодку сносит вниз по течению: угол между направлением движения лодки относительно берега и перпендикуляром к берегу определяется условием tg φ = u / v_л. В проекциях на ось ОХ вдоль берега и ось ОY поперёк: vₓ = u, vᵧ = v_л.
Оговорка: итоговая формула не зависит от того, какую из систем называть неподвижной.

Скорости разные, поэтому расстояние между автомобилями меняется: оно не постоянно. Но сближаются они или удаляются, зависит от расположения. Если быстрый автомобиль (70 км/ч) едет сзади, он догоняет медленный, и они сближаются со скоростью 70 − 50 = 20 км/ч. Если быстрый автомобиль впереди, расстояние растёт с той же скоростью 20 км/ч, они удаляются. В условии нет данных об их взаимном расположении.
Ответ: 4) могут сближаться, а могут удаляться.

Скорость первого относительно второго равна разности скоростей: v⃗₁₂ = v⃗₁ − v⃗₂ = v⃗ − 2v⃗ = −v⃗. Для наблюдателя во втором автомобиле первый удаляется назад со скоростью, равной по модулю v.
Ответ: 4) −v⃗.

По течению скорость относительно берега v₁ = 36 + 4 = 40 км/ч, против течения v₂ = 36 − 4 = 32 км/ч. Время t = s/v₁ + s/v₂ = 2/40 + 2/32 = 0,05 ч + 0,0625 ч = 0,1125 ч = 0,1125 · 60 мин = 6,75 мин.
Ответ: 2) 6,75 мин.

Кратчайший путь — перпендикулярно берегам, значит, скорость пловца относительно берега v⃗ перпендикулярна течению u⃗. Скорость относительно воды v⃗_п = v⃗ + (−u⃗) — гипотенуза прямоугольного треугольника скоростей: v_п² = v² + u². Отсюда v = √(5² − 3²) = √16 = 4 км/ч.
Ответ: 3) 4 км/ч.