Глава 1. § 5. Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение» — с. 26
§ 5. Задача для самостоятельного решения 2. На рисунке 1.17 изображён график зависимости координаты от времени для точки, движущейся вдоль оси ОХ. Опишите движение точки в интервалах времени от 0 до 3 с, от 3 до 7 с и от 7 до 9 с. Постройте графики модуля и проекции скорости в зависимости от времени. Начертите график зависимости пути от времени.
[рисунок 1.17: график x(t), x в метрах, t в секундах; ломаная проходит через точки (0; 2), (3; −4), (7; −4), (9; 0): от 0 до 3 с идёт вниз, пересекая ось t в момент 1 с, от 3 до 7 с горизонтальна на уровне x = −4 м, от 7 до 9 с идёт вверх и приходит в начало координат]
[рисунок 1.17: график x(t), x в метрах, t в секундах; ломаная проходит через точки (0; 2), (3; −4), (7; −4), (9; 0): от 0 до 3 с идёт вниз, пересекая ось t в момент 1 с, от 3 до 7 с горизонтальна на уровне x = −4 м, от 7 до 9 с идёт вверх и приходит в начало координат]
По графику x(t) определяем координаты в узловых точках: x(0) = 2 м, x(3 с) = −4 м, x(7 с) = −4 м, x(9 с) = 0.
1) Интервал 0–3 с. График — наклонная прямая, значит, движение равномерное прямолинейное. Проекция скорости vₓ = Δx/Δt = (−4 − 2) м / 3 с = −2 м/с. Точка движется против оси ОХ со скоростью 2 м/с; в момент t = 1 с она проходит начало координат. Путь за этот интервал s = 2 м/с · 3 с = 6 м.
2) Интервал 3–7 с. График горизонтален: координата не меняется, x = −4 м. Точка покоится, vₓ = 0, путь не увеличивается.
3) Интервал 7–9 с. Снова наклонная прямая, но вверх: vₓ = (0 − (−4)) м / 2 с = +2 м/с. Точка движется по оси ОХ со скоростью 2 м/с, возвращаясь в начало координат. Путь за интервал 2 м/с · 2 с = 4 м.
Графики на рисунке. Проекция скорости vₓ(t): −2 м/с при 0 ≤ t < 3 с, 0 при 3 < t < 7 с, +2 м/с при 7 < t ≤ 9 с. Модуль скорости |v|(t): 2 м/с, 0, 2 м/с на тех же интервалах. Путь s(t): от 0 до 3 с прямая s = 2t (в конце 6 м), от 3 до 7 с горизонталь s = 6 м, от 7 до 9 с прямая s = 6 + 2(t − 7), в момент 9 с путь равен 10 м. Путь не убывает ни при каком движении, поэтому на последнем участке график s(t) идёт вверх, хотя координата уменьшается по модулю.
Ответ: vₓ = −2 м/с, 0, +2 м/с; |v| = 2 м/с, 0, 2 м/с; путь за 9 с равен 10 м.
1) Интервал 0–3 с. График — наклонная прямая, значит, движение равномерное прямолинейное. Проекция скорости vₓ = Δx/Δt = (−4 − 2) м / 3 с = −2 м/с. Точка движется против оси ОХ со скоростью 2 м/с; в момент t = 1 с она проходит начало координат. Путь за этот интервал s = 2 м/с · 3 с = 6 м.
2) Интервал 3–7 с. График горизонтален: координата не меняется, x = −4 м. Точка покоится, vₓ = 0, путь не увеличивается.
3) Интервал 7–9 с. Снова наклонная прямая, но вверх: vₓ = (0 − (−4)) м / 2 с = +2 м/с. Точка движется по оси ОХ со скоростью 2 м/с, возвращаясь в начало координат. Путь за интервал 2 м/с · 2 с = 4 м.
Графики на рисунке. Проекция скорости vₓ(t): −2 м/с при 0 ≤ t < 3 с, 0 при 3 < t < 7 с, +2 м/с при 7 < t ≤ 9 с. Модуль скорости |v|(t): 2 м/с, 0, 2 м/с на тех же интервалах. Путь s(t): от 0 до 3 с прямая s = 2t (в конце 6 м), от 3 до 7 с горизонталь s = 6 м, от 7 до 9 с прямая s = 6 + 2(t − 7), в момент 9 с путь равен 10 м. Путь не убывает ни при каком движении, поэтому на последнем участке график s(t) идёт вверх, хотя координата уменьшается по модулю.
Ответ: vₓ = −2 м/с, 0, +2 м/с; |v| = 2 м/с, 0, 2 м/с; путь за 9 с равен 10 м.
§ 5. Задача для самостоятельного решения 3. На рисунке 1.18 изображён график зависимости проекции скорости от времени при движении точки вдоль оси ОХ. Чему равен модуль скорости точки?
В каком направлении оси ОХ она движется?
Чему равно изменение координаты за 6 с и какой путь пройден точкой за это время?
Постройте график зависимости координаты от времени, если х₀ = 6 м. Постройте график зависимости пути от времени. В чём различие графиков?
[рисунок 1.18: график vₓ(t), vₓ в м/с, t в с; горизонтальный отрезок на уровне vₓ = −2 м/с от t = 0 до t = 6 с]
[рисунок 1.18: график vₓ(t), vₓ в м/с, t в с; горизонтальный отрезок на уровне vₓ = −2 м/с от t = 0 до t = 6 с]
По графику проекция скорости постоянна: vₓ = −2 м/с. Значит, движение равномерное прямолинейное.
1) Модуль скорости |v| = |vₓ| = 2 м/с.
2) Проекция отрицательна, поэтому точка движется в сторону, противоположную направлению оси ОХ.
3) Изменение координаты за t = 6 с: Δx = vₓt = −2 м/с · 6 с = −12 м.
4) Путь: s = |v|t = 2 м/с · 6 с = 12 м (точка не меняла направление движения, поэтому путь равен модулю перемещения).
5) Закон движения x = x₀ + vₓt = 6 − 2t (м, с). График x(t) — прямая, выходящая из точки (0; 6 м) вниз: x = 0 при t = 3 с, x(6 с) = −6 м. График пути s = 2t — прямая из начала координат вверх до значения 12 м при t = 6 с.
6) Различие графиков: координата может быть и положительной, и отрицательной, и график x(t) здесь убывает; путь неотрицателен и не убывает, график s(t) растёт. Наклон x(t) отрицателен (−2 м/с), наклон s(t) положителен (+2 м/с).
Ответ: |v| = 2 м/с, против оси ОХ; Δx = −12 м; s = 12 м; x = 6 − 2t, s = 2t.
1) Модуль скорости |v| = |vₓ| = 2 м/с.
2) Проекция отрицательна, поэтому точка движется в сторону, противоположную направлению оси ОХ.
3) Изменение координаты за t = 6 с: Δx = vₓt = −2 м/с · 6 с = −12 м.
4) Путь: s = |v|t = 2 м/с · 6 с = 12 м (точка не меняла направление движения, поэтому путь равен модулю перемещения).
5) Закон движения x = x₀ + vₓt = 6 − 2t (м, с). График x(t) — прямая, выходящая из точки (0; 6 м) вниз: x = 0 при t = 3 с, x(6 с) = −6 м. График пути s = 2t — прямая из начала координат вверх до значения 12 м при t = 6 с.
6) Различие графиков: координата может быть и положительной, и отрицательной, и график x(t) здесь убывает; путь неотрицателен и не убывает, график s(t) растёт. Наклон x(t) отрицателен (−2 м/с), наклон s(t) положителен (+2 м/с).
Ответ: |v| = 2 м/с, против оси ОХ; Δx = −12 м; s = 12 м; x = 6 − 2t, s = 2t.
§ 5. Задача для самостоятельного решения 4. Из пунктов, отстоящих друг от друга на расстоянии 90 км, одновременно выехали два автобуса со скоростями 60 и 30 км/ч, направленными вдоль прямого шоссе, соединяющего эти пункты. Через сколько времени автобусы встретятся?
Рассмотрите все возможные случаи.
Ось ОХ направим вдоль шоссе, начало поместим в пункт А (x = 0), пункт В имеет координату l = 90 км. Пусть автобус со скоростью v₁ = 60 км/ч выезжает из А, а автобус со скоростью v₂ = 30 км/ч — из В (случаи, когда быстрый автобус выезжает из В, разобраны ниже).
Случай 1. Автобусы едут навстречу друг другу. x₁ = 60t, x₂ = 90 − 30t. Встреча при x₁ = x₂: 60t = 90 − 30t, t = 90 / (60 + 30) = 1 ч. Координата встречи 60 км от А.
Случай 2. Оба едут в сторону В, быстрый автобус догоняет медленный: x₁ = 60t, x₂ = 90 + 30t. Из 60t = 90 + 30t получаем t = 90 / (60 − 30) = 3 ч (быстрый автобус проедет до встречи 180 км).
Случай 3. Оба едут в одну сторону, но быстрый автобус стартовал впереди (из пункта, лежащего дальше по ходу движения). Тогда x₁ = 90 + 60t (быстрый), x₂ = 30t (медленный), и условие 90 + 60t = 30t даёт t = −3 ч < 0. Расстояние между автобусами только растёт, встречи не будет.
Случай 4. Автобусы едут в противоположные стороны, удаляясь друг от друга: встречи нет.
Ответ: при встречном движении через 1 ч; при движении в одну сторону, если быстрый автобус догоняет медленный, через 3 ч; в остальных случаях автобусы не встретятся никогда.
Случай 1. Автобусы едут навстречу друг другу. x₁ = 60t, x₂ = 90 − 30t. Встреча при x₁ = x₂: 60t = 90 − 30t, t = 90 / (60 + 30) = 1 ч. Координата встречи 60 км от А.
Случай 2. Оба едут в сторону В, быстрый автобус догоняет медленный: x₁ = 60t, x₂ = 90 + 30t. Из 60t = 90 + 30t получаем t = 90 / (60 − 30) = 3 ч (быстрый автобус проедет до встречи 180 км).
Случай 3. Оба едут в одну сторону, но быстрый автобус стартовал впереди (из пункта, лежащего дальше по ходу движения). Тогда x₁ = 90 + 60t (быстрый), x₂ = 30t (медленный), и условие 90 + 60t = 30t даёт t = −3 ч < 0. Расстояние между автобусами только растёт, встречи не будет.
Случай 4. Автобусы едут в противоположные стороны, удаляясь друг от друга: встречи нет.
Ответ: при встречном движении через 1 ч; при движении в одну сторону, если быстрый автобус догоняет медленный, через 3 ч; в остальных случаях автобусы не встретятся никогда.
§ 5. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. На рисунке представлен график движения точки. Определите значение её координаты и скорости движения в момент времени 5 с.
[рисунок: график x(t), x в м, t в с; прямая из точки (0; 2) в точку (5; 10), клетки по 1 с и по 2 м]
1) 2 м; 1,6 м/с
2) 10 м; 2 м/с
3) 10 м; 1,6 м/с
4) 2 м; 2 м/с
[рисунок: график x(t), x в м, t в с; прямая из точки (0; 2) в точку (5; 10), клетки по 1 с и по 2 м]
1) 2 м; 1,6 м/с
2) 10 м; 2 м/с
3) 10 м; 1,6 м/с
4) 2 м; 2 м/с
График — прямая, значит, скорость постоянна. В момент t = 5 с координата по графику x = 10 м. Скорость v = Δx/Δt = (10 − 2) м / 5 с = 1,6 м/с.
Ответ: 3) 10 м; 1,6 м/с.
Ответ: 3) 10 м; 1,6 м/с.
§ 5. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. На рисунке представлен график движения автобуса из пункта А в пункт В и обратно. Пункт А находится в точке х = 0, а пункт В — в точке х = 30 км. Чему равна скорость автобуса на пути из А в В и из В в А?
[рисунок: график x(t), x в км, t в ч; ломаная (0; 0), (0,5; 30), (1,25; 0), клетки по 0,25 ч и по 10 км]
1) 40 км/ч; 30 км/ч
2) 50 км/ч; 40 км/ч
3) 60 км/ч; 40 км/ч
4) 75 км/ч; 50 км/ч
[рисунок: график x(t), x в км, t в ч; ломаная (0; 0), (0,5; 30), (1,25; 0), клетки по 0,25 ч и по 10 км]
1) 40 км/ч; 30 км/ч
2) 50 км/ч; 40 км/ч
3) 60 км/ч; 40 км/ч
4) 75 км/ч; 50 км/ч
Из А в В автобус проехал 30 км за 0,5 ч: v₁ = 30 км / 0,5 ч = 60 км/ч. Обратно (из точки 30 км в точку 0) он ехал от t = 0,5 ч до t = 1,25 ч, то есть 0,75 ч: v₂ = 30 км / 0,75 ч = 40 км/ч.
Ответ: 3) 60 км/ч; 40 км/ч.
Ответ: 3) 60 км/ч; 40 км/ч.
§ 5. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. На рисунке представлен график зависимости пути s велосипедиста от времени t. В каком интервале времени велосипедист не двигался?
[рисунок: график s(t), s в м, t в ч; ломаная (0; 0), (1; 5), (3; 5), (5; 10), (7; 25)]
1) от 0 ч до 1 ч
2) от 1 ч до 3 ч
3) от 3 ч до 5 ч
4) от 5 ч и далее
[рисунок: график s(t), s в м, t в ч; ломаная (0; 0), (1; 5), (3; 5), (5; 10), (7; 25)]
1) от 0 ч до 1 ч
2) от 1 ч до 3 ч
3) от 3 ч до 5 ч
4) от 5 ч и далее
Если велосипедист стоит, пройденный путь не меняется, и график s(t) горизонтален. Горизонтальный участок s = 5 м находится между t = 1 ч и t = 3 ч. На остальных участках путь растёт, значит, велосипедист двигался.
Ответ: 2) от 1 ч до 3 ч.
Ответ: 2) от 1 ч до 3 ч.