Глава 5. § 50. Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела» — с. 164
§ 50. Задача для самостоятельного решения 1. На блок радиусом 10 см и массой 1 кг по касательной действует сила 10 Н. Определите, через какой промежуток времени скорость блока станет равной 4 рад/с.
Блок считаем сплошным однородным диском: I = mr²/2 (так же, как в примере задачи 1 этого параграфа). Момент силы M = Fr = 10 Н · 0,1 м = 1 Н·м. Момент инерции I = 1 кг · (0,1 м)²/2 = 5·10⁻³ кг·м².
Угловое ускорение ε = M/I = 1/(5·10⁻³) = 200 рад/с². Движение равноускоренное из состояния покоя: ω = εt, откуда t = ω/ε = 4/200 = 0,02 с.
Ответ: t = 0,02 с.
Оговорка: в ответах учебника 0,04 с — это значение получается, если считать блок тонким кольцом (I = mr², ε = 100 рад/с²). Для сплошного блока-диска, как в примере задачи 1 параграфа, верно 0,02 с.
Угловое ускорение ε = M/I = 1/(5·10⁻³) = 200 рад/с². Движение равноускоренное из состояния покоя: ω = εt, откуда t = ω/ε = 4/200 = 0,02 с.
Ответ: t = 0,02 с.
Оговорка: в ответах учебника 0,04 с — это значение получается, если считать блок тонким кольцом (I = mr², ε = 100 рад/с²). Для сплошного блока-диска, как в примере задачи 1 параграфа, верно 0,02 с.
§ 50. Задача для самостоятельного решения 2. На шарнире в горизонтальном положении удерживают однородный стержень длиной 60 см и массой 1 кг (рис. 5.15). Стержень отпускают, и он начинает вращение. Определите максимальную линейную скорость стержня в тот момент, когда он проходит положение равновесия. Какая точка стержня будет двигаться с этой скоростью?
Момент инерции стержня I = mL²/3.
[рисунок 5.15: однородный стержень длиной L и массой m, закреплённый одним концом на шарнире, в горизонтальном положении.]
Трением в шарнире пренебрегаем, применяем закон сохранения энергии. Центр масс стержня находится на расстоянии L/2 от оси и опускается на высоту L/2 при прохождении нижнего положения. Потенциальная энергия переходит во вращательную кинетическую:
mg·L/2 = Iω²/2 = (mL²/3)·ω²/2 = mL²ω²/6.
Отсюда ω² = 3g/L, ω = √(3g/L) = √(3·9,8/0,6) = 7 рад/с.
Максимальную линейную скорость имеет точка, наиболее удалённая от оси, т. е. свободный конец стержня: v = ωL = √(3gL) = √(3·9,8·0,6) ≈ 4,2 м/с.
Ответ: v ≈ 4,2 м/с; с этой скоростью движется свободный (дальний от шарнира) конец стержня.
Трением в шарнире пренебрегаем, применяем закон сохранения энергии. Центр масс стержня находится на расстоянии L/2 от оси и опускается на высоту L/2 при прохождении нижнего положения. Потенциальная энергия переходит во вращательную кинетическую:
mg·L/2 = Iω²/2 = (mL²/3)·ω²/2 = mL²ω²/6.
Отсюда ω² = 3g/L, ω = √(3g/L) = √(3·9,8/0,6) = 7 рад/с.
Максимальную линейную скорость имеет точка, наиболее удалённая от оси, т. е. свободный конец стержня: v = ωL = √(3gL) = √(3·9,8·0,6) ≈ 4,2 м/с.
Ответ: v ≈ 4,2 м/с; с этой скоростью движется свободный (дальний от шарнира) конец стержня.