Глава 5. § 49. Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси — с. 161
§ 49. Вопрос 1. Что характеризует момент инерции тела?
Момент инерции I характеризует инертность тела при вращательном движении: чем он больше, тем труднее изменить угловую скорость тела, т. е. тем меньшее угловое ускорение сообщает ему один и тот же момент сил (M = Iε). Для материальной точки I = mr², для тела I = Σmᵢrᵢ². Момент инерции зависит не только от массы, но и от её распределения относительно оси вращения и от выбора самой оси. Единица в СИ — кг·м².
§ 49. Вопрос 2. В каком случае справедлив закон сохранения момента импульса?
Закон сохранения момента импульса L = Iω = const выполняется для замкнутой системы, а также тогда, когда сумма моментов всех внешних сил относительно оси вращения равна нулю (M = ΔL/Δt = 0). Тогда момент импульса системы не меняется, хотя отдельные его слагаемые могут меняться: если уменьшить момент инерции, угловая скорость возрастёт (I₁ω₁ = I₂ω₂).
§ 49. Вопрос 3. Массы и радиусы диска и кольца равны между собой. Оси вращения проходят через центры кольца и диска. Момент инерции какого тела больше — кольца или диска?
Для тонкого кольца вся масса находится на расстоянии R от оси: I_кольца = mR². Для сплошного диска масса распределена по всему радиусу, в среднем ближе к оси: I_диска = mR²/2. Следовательно, момент инерции кольца вдвое больше, чем у диска.
Ответ: больше у кольца.
Ответ: больше у кольца.
§ 49. Вопрос 4. С одной и той же высоты с наклонной плоскости скатывается диск и соскальзывает брусок. Скорость какого тела будет больше?
Считайте, что работа силы трения мала.
Брусок: потенциальная энергия переходит только в энергию поступательного движения: mgh = mv²/2, откуда v = √(2gh).
Диск: энергия делится между поступательным и вращательным движением: mgh = mv²/2 + Iω²/2 = mv²/2 + mv²/4 = 3mv²/4 (I = mR²/2, ω = v/R), откуда v = √(4gh/3) ≈ 1,15·√(gh), что меньше √(2gh) ≈ 1,41·√(gh).
Ответ: скорость бруска больше, так как часть энергии диска идёт на его вращение.
Диск: энергия делится между поступательным и вращательным движением: mgh = mv²/2 + Iω²/2 = mv²/2 + mv²/4 = 3mv²/4 (I = mR²/2, ω = v/R), откуда v = √(4gh/3) ≈ 1,15·√(gh), что меньше √(2gh) ≈ 1,41·√(gh).
Ответ: скорость бруска больше, так как часть энергии диска идёт на его вращение.
§ 49. Вопрос 5. В течение 0,1 с по касательной к ободу вращающегося колеса радиусом 30 см действовала сила, равная 10 Н. Чему равно изменение момента импульса колеса?
Момент силы относительно оси колеса M = Fr, так как сила направлена по касательной и плечо равно радиусу. По основному закону динамики вращения M = ΔL/Δt, откуда ΔL = MΔt = F·r·Δt = 10 Н · 0,3 м · 0,1 с = 0,3 кг·м²/с.
Ответ: ΔL = 0,3 кг·м²/с.
Ответ: ΔL = 0,3 кг·м²/с.