Глава 4. § 47. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии» — с. 154
§ 47. Задача для самостоятельного решения 1. Определите суммарную работу сил, которая будет совершена, если сила, равная 3 Н, поднимет груз массой 100 г на высоту 5 м.
На груз действуют сила F = 3 Н вверх и сила тяжести mg вниз. Суммарная работа равна алгебраической сумме работ: A = F·h − mg·h = (F − mg)·h.
m = 0,1 кг, g = 10 м/с²: mg = 1 Н.
A = (3 − 1) · 5 = 10 Дж.
Ответ: 10 Дж (положительна, груз получает кинетическую энергию).
Оговорка: при g = 9,8 м/с² получилось бы 10,1 Дж ≈ 10 Дж.
m = 0,1 кг, g = 10 м/с²: mg = 1 Н.
A = (3 − 1) · 5 = 10 Дж.
Ответ: 10 Дж (положительна, груз получает кинетическую энергию).
Оговорка: при g = 9,8 м/с² получилось бы 10,1 Дж ≈ 10 Дж.
§ 47. Задача для самостоятельного решения 2. Груз массой 97 кг перемещают с помощью верёвки с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности. Угол между верёвкой и этой поверхностью равен 30°. Коэффициент трения равен 0,2. Определите работу силы натяжения верёвки на пути 100 м.
Скорость постоянна, ускорения нет. Вдоль движения: F cos α − Fтр = 0; по вертикали: N + F sin α − mg = 0. Сила трения Fтр = μN = μ(mg − F sin α).
Отсюда F cos α = μ(mg − F sin α), F = μmg / (cos α + μ sin α).
F = 0,2 · 97 · 9,8 / (0,866 + 0,2 · 0,5) = 190 / 0,966 ≈ 197 Н.
Работа силы натяжения: A = F·s·cos α = 197 · 100 · 0,866 ≈ 1,70 · 10⁴ Дж = 17 кДж.
Ответ: ≈17 кДж.
Оговорка: принято g = 9,8 м/с²; при g = 10 м/с² получилось бы ≈17,4 кДж.
Отсюда F cos α = μ(mg − F sin α), F = μmg / (cos α + μ sin α).
F = 0,2 · 97 · 9,8 / (0,866 + 0,2 · 0,5) = 190 / 0,966 ≈ 197 Н.
Работа силы натяжения: A = F·s·cos α = 197 · 100 · 0,866 ≈ 1,70 · 10⁴ Дж = 17 кДж.
Ответ: ≈17 кДж.
Оговорка: принято g = 9,8 м/с²; при g = 10 м/с² получилось бы ≈17,4 кДж.
§ 47. Задача для самостоятельного решения 3. С какой скоростью двигался вагон массой 20 000 кг по горизонтальному пути, если при ударе о преграду каждая пружина буфера сжалась на 10 см?
Известно, что для сжатия пружины буфера на 1 см требуется сила 10 000 Н. Вагон имеет два буфера.
Кинетическая энергия вагона переходит в энергию упругой деформации двух пружин: mv²/2 = 2 · kx²/2 = kx².
Жёсткость: k = F0/x0 = 10 000 Н / 0,01 м = 1 · 10⁶ Н/м.
При x = 0,1 м: kx² = 10⁶ · 0,01 = 1 · 10⁴ Дж.
v = √(2kx²/m) = √(2 · 10⁴ / 2 · 10⁴) = 1 м/с.
Ответ: 1 м/с.
Жёсткость: k = F0/x0 = 10 000 Н / 0,01 м = 1 · 10⁶ Н/м.
При x = 0,1 м: kx² = 10⁶ · 0,01 = 1 · 10⁴ Дж.
v = √(2kx²/m) = √(2 · 10⁴ / 2 · 10⁴) = 1 м/с.
Ответ: 1 м/с.
§ 47. Задача для самостоятельного решения 4. Автомобиль, имеющий массу 1 т, трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь 20 м за время 2 с. Какую мощность при этом развивает двигатель автомобиля?
Ускорение из s = at²/2: a = 2s/t² = 2 · 20 / 4 = 10 м/с². Скорость в конце пути v = at = 20 м/с.
Сила тяги по второму закону Ньютона (сопротивлением пренебрегаем): F = ma = 1000 · 10 = 1 · 10⁴ Н.
Работа A = F·s = 10⁴ · 20 = 2 · 10⁵ Дж. Средняя мощность N = A/t = 2 · 10⁵ / 2 = 1 · 10⁵ Вт = 100 кВт.
Ответ: 100 кВт.
Оговорка: это средняя мощность за 2 с; мгновенная в конце разгона F·v = 200 кВт. Сопротивление движению не учтено, как в ответе учебника.
Сила тяги по второму закону Ньютона (сопротивлением пренебрегаем): F = ma = 1000 · 10 = 1 · 10⁴ Н.
Работа A = F·s = 10⁴ · 20 = 2 · 10⁵ Дж. Средняя мощность N = A/t = 2 · 10⁵ / 2 = 1 · 10⁵ Вт = 100 кВт.
Ответ: 100 кВт.
Оговорка: это средняя мощность за 2 с; мгновенная в конце разгона F·v = 200 кВт. Сопротивление движению не учтено, как в ответе учебника.
§ 47. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Груз массой 100 г привязан к нити длиной 1 м. Нить с грузом отвели от вертикали на угол 90° и отпустили. Чему равно центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует с вертикалью угол 60°?
Начальное положение — нить горизонтальна, скорость нулевая. При угле 60° с вертикалью груз опустился на h = l cos 60° = 1 · 0,5 = 0,5 м.
Закон сохранения энергии: mgh = mv²/2, v² = 2gh = 2 · 10 · 0,5 = 10 м²/с².
Центростремительное ускорение aц = v²/l = 10 / 1 = 10 м/с² (в общем виде aц = 2g cos 60° = g).
Ответ: 10 м/с².
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника; при 9,8 м/с² получилось бы 9,8 м/с².
Закон сохранения энергии: mgh = mv²/2, v² = 2gh = 2 · 10 · 0,5 = 10 м²/с².
Центростремительное ускорение aц = v²/l = 10 / 1 = 10 м/с² (в общем виде aц = 2g cos 60° = g).
Ответ: 10 м/с².
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника; при 9,8 м/с² получилось бы 9,8 м/с².
§ 47. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Брусок массой m1 = 600 г, движущийся со скоростью 2 м/с, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 200 г. Какой будет скорость первого бруска после столкновения?
Удар считайте центральным и абсолютно упругим.
При абсолютно упругом ударе сохраняются импульс и кинетическая энергия. Для неподвижного второго тела (v2 = 0) скорость первого после удара (см. решение задачи 4 параграфа): u1 = v1(m1 − m2)/(m1 + m2).
u1 = 2 · (0,6 − 0,2) / (0,6 + 0,2) = 2 · 0,4 / 0,8 = 1 м/с.
Проверка: u2 = 2m1v1/(m1 + m2) = 2 · 0,6 · 2 / 0,8 = 3 м/с; импульс 0,6 · 2 = 0,6 · 1 + 0,2 · 3 = 1,2 кг · м/с; энергия 1,2 Дж = 0,3 + 0,9 Дж.
Ответ: 1 м/с (брусок продолжает двигаться в прежнем направлении).
u1 = 2 · (0,6 − 0,2) / (0,6 + 0,2) = 2 · 0,4 / 0,8 = 1 м/с.
Проверка: u2 = 2m1v1/(m1 + m2) = 2 · 0,6 · 2 / 0,8 = 3 м/с; импульс 0,6 · 2 = 0,6 · 1 + 0,2 · 3 = 1,2 кг · м/с; энергия 1,2 Дж = 0,3 + 0,9 Дж.
Ответ: 1 м/с (брусок продолжает двигаться в прежнем направлении).