Задания 1–6 — Глава 4. § 45. Закон сохранения энергии в механике

Полной механической энергией системы называют сумму кинетической и потенциальной энергий всех тел, входящих в систему: E = Eк + Eп. Например, для тела массой m, поднятого над землёй на высоту h и движущегося со скоростью v, E = mv²/2 + mgh; для груза на пружине к этому добавляется потенциальная энергия деформации kx²/2. Единица энергии в СИ — джоуль (Дж). Полная механическая энергия изолированной системы с консервативными силами остаётся постоянной.

Может. Изменение механической энергии системы равно работе внешних неконсервативных сил (и сил трения). Если внешние силы не совершают работы (например, они перпендикулярны перемещению, как сила реакции опоры при движении по гладкой поверхности) либо их суммарная работа равна нулю, то ΔE = 0 и механическая энергия сохраняется. Сохраняется она и тогда, когда внешняя сила консервативна и её потенциальная энергия включена в Eп системы (так сила тяжести в системе «тело — Земля» учитывается через mgh).

Сопротивление воздуха не учитываем, нулевой уровень потенциальной энергии — поверхность земли.
Потенциальная энергия Eп = mgh — прямая, проходящая через начало координат: при h = 0 равна 0, при h = H равна mgH.
Полная энергия сохраняется: E = mgH = const — горизонтальная прямая.
Кинетическая энергия Eк = E − Eп = mg(H − h) — убывающая прямая: при h = H равна 0 (начальная скорость нулевая), при h = 0 равна mgH.
Графики Eп и Eк пересекаются при h = H/2, где Eк = Eп = mgH/2; в любой точке Eк + Eп = mgH.
Оговорка: тело считается падающим без начальной скорости.

Механическая энергия системы сохраняется, если система замкнута (изолирована), а все силы, действующие между её телами, консервативны — это силы тяжести, упругости, всемирного тяготения. Силы трения и сопротивления, а также другие неконсервативные силы отсутствуют, либо их работа равна нулю. Тогда Δ(Eк + Eп) = 0, и E = Eк + Eп = const. Допустимы и внешние силы, если их работа равна нулю.

Работа силы трения зависит от формы траектории и, в частности, не равна нулю на замкнутой траектории. Сила трения направлена против скорости, поэтому её работа всегда отрицательна: чем длиннее путь, тем больше потеря энергии (A = −Fтр·s). У консервативной силы работа по замкнутому контуру равна нулю, а для силы трения она отлична от нуля. Поэтому для силы трения нельзя ввести потенциальную энергию.

Механическая энергия системы при действии сил трения убывает. Она не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию тел: тела нагреваются, возрастает кинетическая энергия хаотического движения их молекул (и частично энергия взаимодействия молекул). Сумма механической и внутренней энергий сохраняется — в этом состоит общий закон сохранения и превращения энергии.

Сопротивления нет, механическая энергия сохраняется. В наивысшей точке (H = 20 м) скорость равна нулю: E = mgH. На высоте h = 10 м: mv²/2 + mgh = mgH, откуда v = √(2g(H − h)).
При g = 10 м/с²: v = √(2 · 10 · 10) = √200 ≈ 14,1 м/с (при g = 9,8 м/с² получилось бы 14 м/с).
Масса тела на результат не влияет.
Ответ: 3) 14,1 м/с.

Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости. Если скорость уменьшилась вдвое, энергия стала в 4 раза меньше: Eк2 = 20 / 4 = 5 Дж.
Убыль механической энергии пошла на нагревание: Q = Eк1 − Eк2 = 20 − 5 = 15 Дж.
Ответ: 2) 15 Дж.

Скорость свободного падения с высоты h: v0 = √(2gh) = √(2 · 10 · 20) = 20 м/с (g = 10 м/с²).
Скорость мяча на 20 % меньше: v = 0,8 · v0 = 16 м/с.
Импульс p = mv = 0,2 кг · 16 м/с = 3,2 кг · м/с.
Ответ: 3) 3,2 кг · м/с.
Оговорка: при g = 9,8 м/с² получилось бы ≈3,17 кг · м/с — тот же вариант 3).