Глава 4. § 46. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения — с. 151
§ 46. Вопрос 1. Является ли сила тяготения консервативной?
Почему?
Да, является. При перемещении тела массой m из точки A в точку B на расстояниях rA и rB от центра притягивающего тела массой M работа силы тяготения равна A = −GmM(1/rA − 1/rB). Она зависит только от начального и конечного расстояний и не зависит от формы траектории: на участках, перпендикулярных силе (по дуге окружности с центром в центре Земли), работа равна нулю. Следовательно, при перемещении по замкнутой траектории работа силы тяготения равна нулю — это признак консервативной силы.
§ 46. Вопрос 2. Какие физические величины остаются постоянными, а какие изменяются при расчёте второй космической скорости?
Постоянны: массы тела m и Земли M, гравитационная постоянная G, радиус Земли Rз и полная механическая энергия тела (неконсервативных сил нет, воздух не учитывается). Меняются расстояние r тела от центра Земли, скорость v, а вместе с ними кинетическая энергия mv²/2 и потенциальная энергия −GMm/r: при удалении кинетическая убывает, а потенциальная возрастает (до нуля на бесконечности). Минимальной считается скорость, при которой на бесконечности v = 0, поэтому полная энергия равна нулю: mvII²/2 − GMm/Rз = 0.
§ 46. Вопрос 3. Изменится ли значение второй космической скорости, если ракету запустить из глубокой шахты?
Вторая космическая скорость Земли vII = √(2GMз/Rз) = √(2gRз) ≈ 11,2 км/с определена для старта с поверхности Земли и не зависит ни от массы ракеты, ни от направления запуска. При старте из шахты, т. е. с меньшего расстояния до центра Земли, потенциальная энергия ракеты ниже (яма глубже), поэтому для выхода на бесконечность в начальной точке нужно сообщить большую скорость, чем 11,2 км/с, — ведь ракете надо подняться ещё и из шахты.
Оговорка: вопрос двусмысленный; принято, что вторая космическая скорость относится к старту с поверхности, а из шахты потребуется больше.
Оговорка: вопрос двусмысленный; принято, что вторая космическая скорость относится к старту с поверхности, а из шахты потребуется больше.
§ 46. Вопрос 4. Как изменится выражение для потенциальной энергии тела в поле тяготения, если за нулевой уровень её отсчёта взять поверхность Земли?
Потенциальная энергия определена с точностью до постоянной. Если принять Eп = 0 на поверхности (r = Rз), то к прежнему выражению −GMm/r надо прибавить константу GMm/Rз: Eп(r) = GMm(1/Rз − 1/r) = GMm(r − Rз)/(r·Rз). Теперь Eп ≥ 0 при r ≥ Rз, на бесконечности Eп = GMm/Rз = mgRз, а при небольшой высоте h над поверхностью Eп ≈ mgh. Разность потенциальных энергий в двух точках, а значит и работа силы тяготения, от выбора нуля не зависит.