Глава 4. § 42. Примеры решения задач по теме «Кинетическая энергия и её изменение» — с. 139
§ 42. Задача для самостоятельного решения 1. Мяч массой 1 кг падает с высоты 2 м. Определите изменение кинетической энергии мяча на первой и второй половинах пути.
По теореме об изменении кинетической энергии ΔEк равно работе силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). На каждой половине пути мяч проходит h/2 = 1 м в направлении силы тяжести, значит, A = mg·h/2. Принимаем g = 10 м/с².
ΔEк1 = ΔEк2 = 1 кг · 10 м/с² · 1 м = 10 Дж.
Изменение энергии на обеих половинах пути одинаково, так как сила тяжести постоянна. Полное изменение mgh = 20 Дж.
Ответ: на первой и на второй половинах пути кинетическая энергия возрастает на 10 Дж (при g = 9,8 м/с² — на 9,8 Дж).
Оговорка: в ответах учебника указано «5 Дж; 5 Дж»; по расчёту с h/2 = 1 м получается 10 Дж на каждой половине пути (5 Дж получилось бы при высоте 1 м), проверено дважды.
ΔEк1 = ΔEк2 = 1 кг · 10 м/с² · 1 м = 10 Дж.
Изменение энергии на обеих половинах пути одинаково, так как сила тяжести постоянна. Полное изменение mgh = 20 Дж.
Ответ: на первой и на второй половинах пути кинетическая энергия возрастает на 10 Дж (при g = 9,8 м/с² — на 9,8 Дж).
Оговорка: в ответах учебника указано «5 Дж; 5 Дж»; по расчёту с h/2 = 1 м получается 10 Дж на каждой половине пути (5 Дж получилось бы при высоте 1 м), проверено дважды.
§ 42. Задача для самостоятельного решения 2. Человек сначала несёт груз массой 4 кг до шкафа, а затем ставит его на шкаф, подняв груз на высоту 1 м. Определите работу силы тяжести, действующей на груз при его перемещении.
Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты. При горизонтальном перемещении сила тяжести перпендикулярна перемещению, и A₁ = 0. При подъёме на h = 1 м сила тяжести направлена против перемещения: A₂ = −mgh. Принимаем g = 10 м/с².
A = A₁ + A₂ = −4 кг · 10 м/с² · 1 м = −40 Дж.
Ответ: A = −40 Дж (при g = 9,8 м/с² получилось бы −39 Дж).
A = A₁ + A₂ = −4 кг · 10 м/с² · 1 м = −40 Дж.
Ответ: A = −40 Дж (при g = 9,8 м/с² получилось бы −39 Дж).
§ 42. Задача для самостоятельного решения 3. Скорость тела массой 2 кг изменяется согласно уравнению vₓ = 5 + 4t + 2t². Определите работу сил, действующих на тело в течение первых четырёх секунд.
Работа всех сил равна изменению кинетической энергии: A = m·v₂²/2 − m·v₁²/2.
Начальная скорость при t = 0: v₁ = 5 м/с. Через 4 с: v₂ = 5 + 4·4 + 2·16 = 5 + 16 + 32 = 53 м/с.
A = 2 · (53² − 5²) / 2 = 2809 − 25 = 2784 Дж ≈ 2800 Дж.
Ответ: A ≈ 2,8·10³ Дж (2784 Дж).
Начальная скорость при t = 0: v₁ = 5 м/с. Через 4 с: v₂ = 5 + 4·4 + 2·16 = 5 + 16 + 32 = 53 м/с.
A = 2 · (53² − 5²) / 2 = 2809 − 25 = 2784 Дж ≈ 2800 Дж.
Ответ: A ≈ 2,8·10³ Дж (2784 Дж).
§ 42. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Чему равен тормозной путь автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30 м/с по горизонтальной дороге?
Коэффициент трения скольжения между дорогой и шинами автомобиля равен 0,3.
Автомобиль тормозит до остановки с заблокированными колёсами, поэтому на него действует сила трения скольжения Fтр = μmg, работа которой отрицательна. По теореме об изменении кинетической энергии: 0 − mv²/2 = −μmg·s. Отсюда s = v² / (2μg). Принимаем g = 10 м/с².
s = 30² / (2 · 0,3 · 10) = 900 / 6 = 150 м.
Ответ: 150 м.
s = 30² / (2 · 0,3 · 10) = 900 / 6 = 150 м.
Ответ: 150 м.
§ 42. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. На столе закреплена доска длиной l = 0,9 м. На доске у её левого торца лежит небольшой брусок. Коэффициент трения скольжения бруска о доску μ = 0,5. Какую минимальную скорость v₀ нужно сообщить бруску, чтобы он соскользнул с правого торца доски?
Минимальной будет такая скорость, при которой брусок доходит до правого торца и там останавливается (его конечная скорость равна нулю). На бруске совершает работу только сила трения скольжения: A = −μmg·l. По теореме об изменении кинетической энергии: 0 − mv₀²/2 = −μmgl. Отсюда v₀ = √(2μgl). Принимаем g = 10 м/с².
v₀ = √(2 · 0,5 · 10 · 0,9) = √9 = 3 м/с.
Ответ: v₀ = 3 м/с.
v₀ = √(2 · 0,5 · 10 · 0,9) = √9 = 3 м/с.
Ответ: v₀ = 3 м/с.
§ 42. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Пуля летит горизонтально со скоростью v₀ = 150 м/с, пробивает стоящий на горизонтальной поверхности льда брусок и движется в прежнем направлении со скоростью 1/3 v₀. Масса бруска в 10 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между бруском и льдом μ = 0,1. На какое расстояние s переместится брусок к моменту, когда его скорость уменьшится на 10 %?
1) Пробивание бруска происходит за очень малое время, поэтому внешними силами (трением) можно пренебречь и применить закон сохранения импульса для системы «пуля + брусок». Пусть масса пули m, бруска M = 10m, скорость бруска после удара u: m·v₀ = m·v₀/3 + 10m·u. Тогда u = (2v₀/3) / 10 = v₀/15 = 150/15 = 10 м/с.
2) После удара брусок скользит по льду с замедлением, работает сила трения μMg. Его скорость уменьшается на 10 %: v = 0,9u = 9 м/с.
3) Теорема об изменении кинетической энергии: M·v²/2 − M·u²/2 = −μMg·s. Отсюда s = (u² − v²) / (2μg). Принимаем g = 10 м/с².
s = (100 − 81) / (2 · 0,1 · 10) = 19 / 2 = 9,5 м.
Ответ: s = 9,5 м.
2) После удара брусок скользит по льду с замедлением, работает сила трения μMg. Его скорость уменьшается на 10 %: v = 0,9u = 9 м/с.
3) Теорема об изменении кинетической энергии: M·v²/2 − M·u²/2 = −μMg·s. Отсюда s = (u² − v²) / (2μg). Принимаем g = 10 м/с².
s = (100 − 81) / (2 · 0,1 · 10) = 19 / 2 = 9,5 м.
Ответ: s = 9,5 м.
§ 42. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. Бруски с массами m и 3m скользят по горизонтальной поверхности доски навстречу друг другу. Скорость каждого бруска перед абсолютно неупругим ударом равна по модулю v = 3 м/с. Коэффициент трения скольжения между брусками и доской μ = 0,2. На какое расстояние переместятся слипшиеся бруски к моменту, когда их общая скорость уменьшится на 40 %?
1) Удар абсолютно неупругий и очень короткий, поэтому для проекции на ось, направленную вдоль скорости бруска 3m: 3m·v − m·v = (m + 3m)·u. Отсюда u = 2mv / 4m = v/2 = 1,5 м/с.
2) Затем слипшиеся бруски (масса 4m) скользят с трением, и их скорость уменьшается на 40 %: v′ = 0,6u = 0,9 м/с.
3) Теорема об изменении кинетической энергии: 4m·v′²/2 − 4m·u²/2 = −μ·4m·g·s. Отсюда s = (u² − v′²) / (2μg). Принимаем g = 10 м/с².
s = (2,25 − 0,81) / (2 · 0,2 · 10) = 1,44 / 4 = 0,36 м.
Ответ: s = 0,36 м.
2) Затем слипшиеся бруски (масса 4m) скользят с трением, и их скорость уменьшается на 40 %: v′ = 0,6u = 0,9 м/с.
3) Теорема об изменении кинетической энергии: 4m·v′²/2 − 4m·u²/2 = −μ·4m·g·s. Отсюда s = (u² − v′²) / (2μg). Принимаем g = 10 м/с².
s = (2,25 − 0,81) / (2 · 0,2 · 10) = 1,44 / 4 = 0,36 м.
Ответ: s = 0,36 м.
§ 42. Образец заданий ЕГЭ, задание 5. В тело массой 4,8 кг, лежащее на гладком участке горизонтальной поверхности, попадает снаряд массой 0,2 кг, летящий под углом 60° к горизонту со скоростью 40 м/с, и застревает в нём. Попав на шероховатую часть поверхности, тело проходит до остановки путь, равный 12 см. Определите коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью.
1) На гладком участке горизонтальные внешние силы отсутствуют, поэтому сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы «тело + снаряд»: m·v·cos60° = (M + m)·u, где m = 0,2 кг, M = 4,8 кг. Отсюда u = 0,2 · 40 · 0,5 / 5 = 0,8 м/с.
2) На шероховатой части работает сила трения μ(M + m)g: 0 − (M + m)·u²/2 = −μ(M + m)g·s. Отсюда μ = u² / (2gs). Принимаем g = 10 м/с².
μ = 0,64 / (2 · 10 · 0,12) = 0,64 / 2,4 ≈ 0,27.
Ответ: μ ≈ 0,27.
2) На шероховатой части работает сила трения μ(M + m)g: 0 − (M + m)·u²/2 = −μ(M + m)g·s. Отсюда μ = u² / (2gs). Принимаем g = 10 м/с².
μ = 0,64 / (2 · 10 · 0,12) = 0,64 / 2,4 ≈ 0,27.
Ответ: μ ≈ 0,27.