Глава 4. § 39. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса» — с. 130
§ 39. Задача для самостоятельного решения 3. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты и вытекающие газы летят вслед за ракетой?
Будет. Реактивная сила определяется скоростью истечения газов относительно ракеты, а не относительно Земли. Рассмотрим малый промежуток Δt в системе отсчёта, движущейся вместе с ракетой в этот момент. Газ массой Δm выбрасывается назад со скоростью u относительно ракеты, поэтому ракета получает импульс, направленный вперёд: F = (Δm/Δt)u. Так как внешние силы пренебрежимо малы, закон сохранения импульса даёт ускорение ракеты вперёд: a = Fр/M.
То, что относительно Земли газы летят вперёд (их скорость v − u > 0, пока u < v), ничего не меняет: газ всё равно отброшен назад относительно ракеты и «толкает» её вперёд.
Ответ: да, скорость ракеты будет увеличиваться.
То, что относительно Земли газы летят вперёд (их скорость v − u > 0, пока u < v), ничего не меняет: газ всё равно отброшен назад относительно ракеты и «толкает» её вперёд.
Ответ: да, скорость ракеты будет увеличиваться.
§ 39. Задача для самостоятельного решения 4. Охотник стреляет с лёгкой надувной лодки. Определите скорость лодки после выстрела, если масса охотника 70 кг, масса дроби 35 г и средняя начальная скорость дробинок равна 320 м/с. Ствол ружья во время выстрела образует с горизонтом угол 60°.
Лодку считаем лёгкой (масса много меньше массы охотника), поэтому масса системы M ≈ 70 кг (охотник с лодкой и ружьём, до выстрела всё неподвижно). Вертикальные внешние силы (тяжесть, архимедова сила) уравновешены, по горизонтали сохраняется проекция импульса: 0 = m u cosα − M V, где m = 0,035 кг, u = 320 м/с, α = 60°.
V = m u cosα / M = 0,035 · 320 · 0,5 / 70 = 0,08 м/с.
Ответ: V = 0,08 м/с, лодка движется в сторону, противоположную горизонтальной составляющей скорости дроби.
V = m u cosα / M = 0,035 · 320 · 0,5 / 70 = 0,08 м/с.
Ответ: V = 0,08 м/с, лодка движется в сторону, противоположную горизонтальной составляющей скорости дроби.
§ 39. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Камень массой m₁ = 4 кг падает под углом 60° к горизонту со скоростью 10 м/с в тележку с песком, покоящуюся на горизонтальных рельсах (см. рис.). Чему равен импульс тележки с песком и камнем после падения камня?
[рисунок: камень m₁ летит по наклонной штриховой линии под углом α к горизонтальной штриховой линии вниз, в тележку с песком массой m₂, стоящую на горизонтальных рельсах]
[рисунок: камень m₁ летит по наклонной штриховой линии под углом α к горизонтальной штриховой линии вниз, в тележку с песком массой m₂, стоящую на горизонтальных рельсах]
Рельсы горизонтальны, поэтому по горизонтали внешних сил нет (трением пренебрегаем), и сохраняется проекция импульса системы на горизонтальную ось. Вертикальный импульс камня гасится реакцией рельсов (внешняя сила), он не сохраняется.
Горизонтальная составляющая импульса камня: p = m₁v cos60° = 4 кг · 10 м/с · 0,5 = 20 кг·м/с. До падения тележка покоилась, поэтому после падения импульс тележки с песком и камнем равен 20 кг·м/с и направлен горизонтально, по горизонтальной составляющей скорости камня.
Ответ: 20 кг·м/с.
Горизонтальная составляющая импульса камня: p = m₁v cos60° = 4 кг · 10 м/с · 0,5 = 20 кг·м/с. До падения тележка покоилась, поэтому после падения импульс тележки с песком и камнем равен 20 кг·м/с и направлен горизонтально, по горизонтальной составляющей скорости камня.
Ответ: 20 кг·м/с.
§ 39. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Снаряд, летящий с некоторой скоростью, разрывается на два осколка. Первый осколок летит под углом 90° к первоначальному направлению со скоростью 50 м/с, а второй — под углом 30° со скоростью 100 м/с. Определите отношение массы первого осколка к массе второго осколка.
При разрыве импульс сохраняется (внутренние силы много больше внешних). Первый осколок летит перпендикулярно первоначальному направлению, второй — под углом 30° к нему, но в противоположную сторону от перпендикуляра, иначе поперечные составляющие не скомпенсировались бы. Поперечные составляющие импульса снаряда до разрыва равны нулю, поэтому в проекции на перпендикуляр: m₁v₁ − m₂v₂ sin30° = 0.
m₁ · 50 = m₂ · 100 · 0,5 = m₂ · 50, откуда m₁/m₂ = 1.
(Вдоль первоначального направления: (m₁ + m₂)v = m₂ · 100 cos30°, что определяет скорость снаряда.)
Ответ: m₁/m₂ = 1.
m₁ · 50 = m₂ · 100 · 0,5 = m₂ · 50, откуда m₁/m₂ = 1.
(Вдоль первоначального направления: (m₁ + m₂)v = m₂ · 100 cos30°, что определяет скорость снаряда.)
Ответ: m₁/m₂ = 1.
§ 39. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Пуля, летящая горизонтально со скоростью, равной 200 м/с, пробивает брусок, находящийся на горизонтальной поверхности, и вылетает из него со скоростью, равной 50 м/с. Масса бруска в 15 раз больше массы пули. Определите коэффициент трения между бруском и поверхностью, если известно, что брусок сместился на расстояние, равное 10 м.
Пробивание бруска кратковременно, поэтому импульс системы пуля–брусок сохраняется: mv₀ = mv + MV, M = 15m. Тогда V = m(v₀ − v)/M = (200 − 50)/15 = 10 м/с.
Далее брусок скользит и останавливается под действием силы трения: Ma = μMg, a = μg. Из v² = 2as (конечная скорость 0): V² = 2μgs, откуда μ = V² / (2gs) = 100 / (2 · 10 · 10) = 0,5.
Ответ: μ = 0,5.
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника.
Далее брусок скользит и останавливается под действием силы трения: Ma = μMg, a = μg. Из v² = 2as (конечная скорость 0): V² = 2μgs, откуда μ = V² / (2gs) = 100 / (2 · 10 · 10) = 0,5.
Ответ: μ = 0,5.
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника.
§ 39. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. Снаряд выпущен из пушки вертикально вверх со скоростью 400 м/с. В наивысшей точке подъёма он разорвался на два осколка, причём оба осколка упали вблизи точки выстрела. Первый упал со скоростью, в 2 раза большей начальной, а второй — через 80 с после разрыва. Определите отношение масс осколков.
Оба осколка упали вблизи точки выстрела, поэтому их скорости после разрыва направлены вертикально. В высшей точке скорость снаряда равна нулю, значит, импульс системы нулевой: m₁u₁ = m₂u₂, и осколки летят в противоположные стороны. Высота подъёма H = v₀²/(2g) = 400² / 20 = 8000 м (g = 10 м/с²).
Первый осколок падает со скоростью v₁ = 2v₀ = 800 м/с. Из закона сохранения энергии v₁² = u₁² + 2gH = u₁² + v₀²: u₁ = √(800² − 400²) ≈ 693 м/с, осколок летит вниз.
Второй осколок падает через t = 80 с, что больше времени свободного падения с высоты H (√(2H/g) = 40 с), поэтому он брошен вверх. Из −H = u₂t − gt²/2: u₂ = (gt²/2 − H)/t = (32000 − 8000)/80 = 300 м/с.
m₁/m₂ = u₂/u₁ = 300/693 = √3/4 ≈ 0,43.
Ответ: m₁/m₂ ≈ 0,43.
Оговорка: в ответах учебника 3/8 = 0,375; такой результат получается, если принять начальную скорость первого осколка u₁ = 800 м/с, то есть за 2v₀ взять скорость сразу после разрыва, а не скорость падения. По условию («упал со скоростью») верно прочтение, принятое выше.
Первый осколок падает со скоростью v₁ = 2v₀ = 800 м/с. Из закона сохранения энергии v₁² = u₁² + 2gH = u₁² + v₀²: u₁ = √(800² − 400²) ≈ 693 м/с, осколок летит вниз.
Второй осколок падает через t = 80 с, что больше времени свободного падения с высоты H (√(2H/g) = 40 с), поэтому он брошен вверх. Из −H = u₂t − gt²/2: u₂ = (gt²/2 − H)/t = (32000 − 8000)/80 = 300 м/с.
m₁/m₂ = u₂/u₁ = 300/693 = √3/4 ≈ 0,43.
Ответ: m₁/m₂ ≈ 0,43.
Оговорка: в ответах учебника 3/8 = 0,375; такой результат получается, если принять начальную скорость первого осколка u₁ = 800 м/с, то есть за 2v₀ взять скорость сразу после разрыва, а не скорость падения. По условию («упал со скоростью») верно прочтение, принятое выше.