Глава 3. § 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость» — с. 104
§ 32. Задача для самостоятельного решения 1. Определите длительность года на Венере. Среднее расстояние от Венеры до Солнца 1,08 · 10⁸ км, а от Земли до Солнца 1,49 · 10⁸ км.
Для планет, обращающихся вокруг Солнца, из второго закона Ньютона и закона тяготения следует третий закон Кеплера: T²/r³ = 4π²/(GM_С) = const, то есть T₁²/T₂² = r₁³/r₂³. Для Венеры (В) и Земли (З): T_В = T_З · (r_В/r_З)^(3/2).
T_В = 365 сут · (1,08/1,49)^(3/2) = 365 · (0,7248)^(1,5) = 365 · 0,617 ≈ 225 сут.
Ответ: год на Венере длится примерно 225 земных суток.
T_В = 365 сут · (1,08/1,49)^(3/2) = 365 · (0,7248)^(1,5) = 365 · 0,617 ≈ 225 сут.
Ответ: год на Венере длится примерно 225 земных суток.
§ 32. Задача для самостоятельного решения 2. Какой импульс силы подействовал на спутник массой 1 т, если спутник перешёл с орбиты радиусом R₃ + h на орбиту радиусом R₃ + 2h, где высота h равна 200 км?
Импульс силы (равнодействующей) равен изменению импульса спутника: F·Δt = m(v₂ − v₁). Скорость на круговой орбите радиусом r: v = √(GM₃/r) = R₃·√(g/r) (так как GM₃ = gR₃²). Берём R₃ = 6,4·10⁶ м, g = 9,8 м/с².
v₁ = √(9,8 · (6,4·10⁶)² / 6,6·10⁶) = √(6,08·10⁷) ≈ 7,80·10³ м/с (r₁ = 6,6·10⁶ м).
v₂ = √(9,8 · (6,4·10⁶)² / 6,8·10⁶) = √(5,90·10⁷) ≈ 7,68·10³ м/с (r₂ = 6,8·10⁶ м).
m(v₂ − v₁) = 1000 · (7,68·10³ − 7,80·10³) ≈ −1,16·10⁵ кг·м/с.
Знак «минус» означает, что импульс силы направлен против начальной скорости спутника; модуль импульса ≈ 1,2·10⁵ Н·с.
Ответ: ≈ 1,2·10⁵ Н·с по модулю (1,16·10⁵ Н·с).
Оговорка: в ответах учебника 1,19·10⁵ Н·с; при R₃ = 6,4·10⁶ м и g = 9,8 м/с² получается 1,16·10⁵ Н·с, расхождение около 3 %.
v₁ = √(9,8 · (6,4·10⁶)² / 6,6·10⁶) = √(6,08·10⁷) ≈ 7,80·10³ м/с (r₁ = 6,6·10⁶ м).
v₂ = √(9,8 · (6,4·10⁶)² / 6,8·10⁶) = √(5,90·10⁷) ≈ 7,68·10³ м/с (r₂ = 6,8·10⁶ м).
m(v₂ − v₁) = 1000 · (7,68·10³ − 7,80·10³) ≈ −1,16·10⁵ кг·м/с.
Знак «минус» означает, что импульс силы направлен против начальной скорости спутника; модуль импульса ≈ 1,2·10⁵ Н·с.
Ответ: ≈ 1,2·10⁵ Н·с по модулю (1,16·10⁵ Н·с).
Оговорка: в ответах учебника 1,19·10⁵ Н·с; при R₃ = 6,4·10⁶ м и g = 9,8 м/с² получается 1,16·10⁵ Н·с, расхождение около 3 %.
§ 32. Задача для самостоятельного решения 3. Астероид вращается вокруг Солнца с периодом, равным 410 сут. Определите расстояние от астероида до Солнца.
Используем третий закон Кеплера для астероида и Земли (обе орбиты считаем круговыми): T_а²/r_а³ = T_З²/r_З³, откуда r_а = r_З · (T_а/T_З)^(2/3). Берём r_З = 1,496·10¹¹ м, T_З = 365 сут.
r_а = 1,496·10¹¹ · (410/365)^(2/3) = 1,496·10¹¹ · (1,123)^(0,667) = 1,496·10¹¹ · 1,08 ≈ 1,62·10¹¹ м.
Ответ: ≈ 1,6·10¹¹ м (около 1,08 а. е.).
r_а = 1,496·10¹¹ · (410/365)^(2/3) = 1,496·10¹¹ · (1,123)^(0,667) = 1,496·10¹¹ · 1,08 ≈ 1,62·10¹¹ м.
Ответ: ≈ 1,6·10¹¹ м (около 1,08 а. е.).
§ 32. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Чему равен радиус кольца Сатурна, в котором частицы движутся со скоростью 10 км/с?
Масса Сатурна 5,7 · 10²⁶ кг.
Частицы кольца движутся по круговым орбитам под действием притяжения Сатурна: mv²/r = GmM/r², откуда r = GM/v².
r = 6,67·10⁻¹¹ · 5,7·10²⁶ / (10⁴)² = 3,80·10¹⁶ / 10⁸ ≈ 3,8·10⁸ м.
Ответ: ≈ 3,8·10⁸ м.
r = 6,67·10⁻¹¹ · 5,7·10²⁶ / (10⁴)² = 3,80·10¹⁶ / 10⁸ ≈ 3,8·10⁸ м.
Ответ: ≈ 3,8·10⁸ м.
§ 32. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Среднее расстояние от планеты Земля до Солнца составляет 149,6 млн км, а от планеты Юпитер до Солнца — 778,3 млн км. Чему равно отношение v₃/v_Ю линейных скоростей этих двух планет при их движении вокруг Солнца, если считать их орбиты окружностями?
Для круговой орбиты вокруг Солнца v = √(GM_С/r), поэтому v₃/v_Ю = √(r_Ю/r₃) = √(778,3/149,6) = √5,203 ≈ 2,28.
Ответ: v₃/v_Ю ≈ 2,3.
Ответ: v₃/v_Ю ≈ 2,3.
§ 32. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Среднее расстояние от Солнца до планеты Уран составляет 2875,03 млн км, а до планеты Земля — 149,6 млн км. Чему приблизительно равна средняя линейная скорость планеты Уран при её движении вокруг Солнца, если известно, что средняя скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца составляет 30 км/с?
Скорость на круговой орбите v = √(GM_С/r), поэтому v_У/v_З = √(r_З/r_У). Тогда v_У = 30 км/с · √(149,6/2875,03) = 30 · √0,05204 = 30 · 0,2281 ≈ 6,84 км/с.
Ответ: ≈ 6,8 км/с.
Ответ: ≈ 6,8 км/с.
§ 32. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. Средняя плотность некоторой планеты равна средней плотности планеты Земля, а радиус этой планеты в 2 раза больше радиуса Земли. Определите отношение первой космической скорости на этой планете к первой космической скорости на Земле v_п/v₃.
Первая космическая скорость v₁ = √(GM/R). Масса планеты M = ρ·(4/3)πR³, поэтому v₁ = √(G · (4/3)πρR²) = R·√((4/3)πGρ). При одинаковой плотности v₁ пропорциональна радиусу, значит v_п/v₃ = R_п/R₃ = 2.
Ответ: 2.
Ответ: 2.
§ 32. Образец заданий ЕГЭ, задание 5. С какой скоростью движутся частицы, входящие в наиболее плотное кольцо Сатурна, если известно, что период их обращения примерно совпадает с периодом вращения Сатурна вокруг своей оси и составляет 10 ч 40 мин?
Масса Сатурна равна 5,7 · 10²⁶ кг.
Период T = 10 ч 40 мин = 38 400 с. Для круговой орбиты mv²/r = GmM/r² и v = 2πr/T, откуда r = vT/(2π). Подставляем: v² = GM/r = 2πGM/(vT), то есть v³ = 2πGM/T.
v = ∛(2π · 6,67·10⁻¹¹ · 5,7·10²⁶ / 38 400) = ∛(2,39·10¹⁷ / 3,84·10⁴) = ∛(6,22·10¹²) ≈ 1,84·10⁴ м/с.
Ответ: ≈ 18 400 м/с (около 18,4 км/с).
v = ∛(2π · 6,67·10⁻¹¹ · 5,7·10²⁶ / 38 400) = ∛(2,39·10¹⁷ / 3,84·10⁴) = ∛(6,22·10¹²) ≈ 1,84·10⁴ м/с.
Ответ: ≈ 18 400 м/с (около 18,4 км/с).