Комплексные задания (7–9 классы) — с. 369
Задание 4 (8 класс). Виктор нашёл в Интернете информацию о необычном практическом способе рассуждений при доказательстве теоремы о сумме углов треугольника. В нём использовалось перегибание бумажной модели треугольника по некоторым линиям, как указано на рисунке 429. Если последовательно произвести сгибы бумажного треугольника, то все углы треугольника сойдутся в одной точке и образуют развёрнутый угол. Прежде чем рассказать на уроке геометрии о найденном способе рассуждений, Виктор решил выполнить указанные действия. К его удивлению, он не смог получить такой результат, как на рисунке: одна вершина треугольника накладывалась на противоположную сторону, а две другие стороны не удавалось совместить с ней.
1. Получится ли у вас согнуть бумажную модель треугольника таким способом, как указано на рисунке?
2. Что не учёл Виктор при выполнении первого сгиба?
3. Почему совместятся две вершины треугольника, как это показано на рисунке 429 (3)?
Обоснуйте ответ.
4. Назовите вид четырёхугольника, который получился на последнем шаге. Обоснуйте ответ.
5. Как изменятся рассуждения, если исходный треугольник будет прямоугольным?
6. Помогите Виктору составить список указаний для одноклассников, чтобы у них получилось сложить модель, представленную на рисунке.
7. Сформулируйте теорему, которую хотел доказать Виктор.
8. С какой целью Виктор, получив информацию из Интернета, решил выполнить указанные действия? [рисунок 429: четыре шага. 1: треугольник с отмеченными углами, проведены средняя линия и две перпендикулярные основанию линии; 2: верхняя часть согнута вниз на основание; 3: два боковых угла согнуты, на рисунке пронумерованы углы 1, 2; 4: три угла 1, 2, 3 сложены в точке основания и образуют развёрнутый угол]
Обозначения: основание AC, вершина B, BH высота, M и N середины AB и BC (MN средняя линия, MN ∥ AC и MN делит высоту BH пополам).
1. Да, получится, если соблюдать условия: основанием выбирается наибольшая сторона (тогда оба угла при ней острые и основание высоты H лежит внутри стороны AC), первый сгиб идёт по средней линии MN. Тогда вершина B ложится в точку H основания.
2. Виктор не учёл, как нужно выбрать линию первого сгиба и основание. Сгиб должен идти по прямой, параллельной основанию и проходящей через середину высоты BH (по средней линии), а основание надо брать так, чтобы высота лежала внутри треугольника. Иначе вершина попадает не на основание или на его продолжение, и остальные сгибы не совмещают вершины.
3. Сгиб по MN является осевой симметрией, прямая MN серединный перпендикуляр к отрезку BH, поэтому B ложится в H и MH = MB. Так как M середина AB, то MA = MB = MH, и треугольник AMH равнобедренный с основанием AH. Прямая MP, перпендикулярная AC (P основание перпендикуляра), в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, то есть серединным перпендикуляром к AH. Сгиб по MP (осевая симметрия) переводит A в H. Аналогично C переходит в H при сгибе по NQ (NQ ⊥ AC). Значит, все три вершины совмещаются в точке H.
4. Получился прямоугольник PQNM: стороны MP и NQ перпендикулярны AC, значит, они параллельны; MN ∥ AC ∥ PQ; следовательно, ∠PMN = 90° (MN ∥ PQ, а MP ⊥ PQ), и все углы прямые. Это прямоугольник.
5. Если треугольник прямоугольный, берём гипотенузу в качестве наибольшей стороны. Основание высоты H лежит внутри гипотенузы, рассуждения те же; угол при вершине прямого угла становится углом ∠MHN = 90°, а сумма трёх углов в точке H по-прежнему равна 180°. Если за основание взять катет, то высота совпадает с другим катетом, H совпадает с вершиной острого угла, и один из двух последних сгибов не нужен; способ работает, но вид складываемой модели меняется (углы при основании сразу сходятся в одной точке).
6. Указания: 1) вырежьте остроугольный (или прямоугольный) треугольник и выберите наибольшую сторону основанием; 2) отметьте углы цифрами 1, 2, 3; 3) проведите высоту из вершины на основание (сложите треугольник так, чтобы основание наложилось на себя, и разогните); 4) перегните вершину на основание в точку основания высоты, сгиб должен идти по средней линии; 5) перегните левый угол так, чтобы его вершина попала в ту же точку основания, сгиб перпендикулярен основанию; 6) то же с правым углом; 7) убедитесь, что три угла лежат рядом в одной точке основания и образуют развёрнутый угол.
7. Теорема: сумма углов треугольника равна 180°.
8. Цель: на практике проверить, как работает способ, и разобраться, при каких условиях (выбор основания, положение линии сгиба) он действует, чтобы потом обоснованно рассказать о нём в классе. Опытная проверка помогает увидеть идею доказательства, но не заменяет строгого доказательства: нужно показать, почему вершины совпадают (п. 3 и 4).
Оговорка: рисунок 429 нечёткий, шаги сгибов восстановлены по описанию и общей схеме.
1. Да, получится, если соблюдать условия: основанием выбирается наибольшая сторона (тогда оба угла при ней острые и основание высоты H лежит внутри стороны AC), первый сгиб идёт по средней линии MN. Тогда вершина B ложится в точку H основания.
2. Виктор не учёл, как нужно выбрать линию первого сгиба и основание. Сгиб должен идти по прямой, параллельной основанию и проходящей через середину высоты BH (по средней линии), а основание надо брать так, чтобы высота лежала внутри треугольника. Иначе вершина попадает не на основание или на его продолжение, и остальные сгибы не совмещают вершины.
3. Сгиб по MN является осевой симметрией, прямая MN серединный перпендикуляр к отрезку BH, поэтому B ложится в H и MH = MB. Так как M середина AB, то MA = MB = MH, и треугольник AMH равнобедренный с основанием AH. Прямая MP, перпендикулярная AC (P основание перпендикуляра), в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, то есть серединным перпендикуляром к AH. Сгиб по MP (осевая симметрия) переводит A в H. Аналогично C переходит в H при сгибе по NQ (NQ ⊥ AC). Значит, все три вершины совмещаются в точке H.
4. Получился прямоугольник PQNM: стороны MP и NQ перпендикулярны AC, значит, они параллельны; MN ∥ AC ∥ PQ; следовательно, ∠PMN = 90° (MN ∥ PQ, а MP ⊥ PQ), и все углы прямые. Это прямоугольник.
5. Если треугольник прямоугольный, берём гипотенузу в качестве наибольшей стороны. Основание высоты H лежит внутри гипотенузы, рассуждения те же; угол при вершине прямого угла становится углом ∠MHN = 90°, а сумма трёх углов в точке H по-прежнему равна 180°. Если за основание взять катет, то высота совпадает с другим катетом, H совпадает с вершиной острого угла, и один из двух последних сгибов не нужен; способ работает, но вид складываемой модели меняется (углы при основании сразу сходятся в одной точке).
6. Указания: 1) вырежьте остроугольный (или прямоугольный) треугольник и выберите наибольшую сторону основанием; 2) отметьте углы цифрами 1, 2, 3; 3) проведите высоту из вершины на основание (сложите треугольник так, чтобы основание наложилось на себя, и разогните); 4) перегните вершину на основание в точку основания высоты, сгиб должен идти по средней линии; 5) перегните левый угол так, чтобы его вершина попала в ту же точку основания, сгиб перпендикулярен основанию; 6) то же с правым углом; 7) убедитесь, что три угла лежат рядом в одной точке основания и образуют развёрнутый угол.
7. Теорема: сумма углов треугольника равна 180°.
8. Цель: на практике проверить, как работает способ, и разобраться, при каких условиях (выбор основания, положение линии сгиба) он действует, чтобы потом обоснованно рассказать о нём в классе. Опытная проверка помогает увидеть идею доказательства, но не заменяет строгого доказательства: нужно показать, почему вершины совпадают (п. 3 и 4).
Оговорка: рисунок 429 нечёткий, шаги сгибов восстановлены по описанию и общей схеме.