Темы рефератов (для 7–9 классов) — с. 367
9. Радикальная ось двух окружностей, радикальный центр трёх окружностей [2, пп. 49—51].
План реферата.
1) Степень точки относительно окружности: p(M) = MO² − R².
2) Радикальная ось двух окружностей: множество точек, имеющих равные степени; она прямая, перпендикулярная линии центров.
3) Построение радикальной оси (для пересекающихся окружностей общая хорда; для касающихся общая касательная).
4) Радикальный центр трёх окружностей: радикальные оси пересекаются в одной точке (или параллельны).
5) Применения: построение радикальной оси, задачи о пересечении трёх окружностей.
1) Степень точки относительно окружности: p(M) = MO² − R².
2) Радикальная ось двух окружностей: множество точек, имеющих равные степени; она прямая, перпендикулярная линии центров.
3) Построение радикальной оси (для пересекающихся окружностей общая хорда; для касающихся общая касательная).
4) Радикальный центр трёх окружностей: радикальные оси пересекаются в одной точке (или параллельны).
5) Применения: построение радикальной оси, задачи о пересечении трёх окружностей.
10. Вневписанные окружности [2, п. 61; 1, п. 117].
План реферата.
1) Определение: вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других.
2) Построение: центр лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
3) Радиусы: r_a = S/(p − a) и аналогично r_b, r_c; связь 1/r = 1/r_a + 1/r_b + 1/r_c.
4) Длины касательных от вершины до точек касания равны полупериметру p.
5) Площадь через радиусы и примеры.
1) Определение: вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других.
2) Построение: центр лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
3) Радиусы: r_a = S/(p − a) и аналогично r_b, r_c; связь 1/r = 1/r_a + 1/r_b + 1/r_c.
4) Длины касательных от вершины до точек касания равны полупериметру p.
5) Площадь через радиусы и примеры.
11. Теорема Морли [3, п. 28; 1, п. 146].
План реферата.
1) Формулировка: точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника образуют равносторонний треугольник.
2) Историческая справка (Фрэнк Морли, 1899).
3) Доказательство (обратным построением): исходя из равностороннего треугольника и произвольных углов строят треугольник с данными углами, а затем показывают, что он подобен исходному.
4) Иллюстрации и построение на чертеже.
5) Замечания о том, что трисекция угла циркулем и линейкой невозможна, но теорема о построенных точках верна.
1) Формулировка: точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника образуют равносторонний треугольник.
2) Историческая справка (Фрэнк Морли, 1899).
3) Доказательство (обратным построением): исходя из равностороннего треугольника и произвольных углов строят треугольник с данными углами, а затем показывают, что он подобен исходному.
4) Иллюстрации и построение на чертеже.
5) Замечания о том, что трисекция угла циркулем и линейкой невозможна, но теорема о построенных точках верна.
12. Использование движений при решении задач [3, п. 44; 1, п. 163].
План реферата.
1) Повторение: центральная и осевая симметрии, параллельный перенос, поворот.
2) Свойства движений и их композиции.
3) Применения к доказательству (равенство отрезков, параллельность, перпендикулярность).
4) Применения к построению (метод переноса, поворота, симметрии).
5) Задачи на экстремумы (кратчайший путь с отражением).
1) Повторение: центральная и осевая симметрии, параллельный перенос, поворот.
2) Свойства движений и их композиции.
3) Применения к доказательству (равенство отрезков, параллельность, перпендикулярность).
4) Применения к построению (метод переноса, поворота, симметрии).
5) Задачи на экстремумы (кратчайший путь с отражением).
13. Центральное подобие и его применения (теорема Наполеона, прямая и окружность Эйлера, прямая Симcона) [3, пп. 45—48; 1, пп. 164—167].
План реферата.
1) Центральное подобие (гомотетия): определение, свойства (прямая переходит в параллельную, углы сохраняются, длины умножаются на |k|).
2) Применение к прямой и окружности Эйлера (гомотетия с центром в центроиде и коэффициентом −1/2).
3) Теорема Наполеона: равносторонние треугольники, построенные на сторонах треугольника, имеют центры, образующие равносторонний треугольник; доказательство через поворот или гомотетию.
4) Прямая Симсона: связь с гомотетией (при гомотетии с центром P и коэффициентом 2 основания переходят в точки, лежащие на окружности и т. д.).
5) Вывод о полезности метода.
1) Центральное подобие (гомотетия): определение, свойства (прямая переходит в параллельную, углы сохраняются, длины умножаются на |k|).
2) Применение к прямой и окружности Эйлера (гомотетия с центром в центроиде и коэффициентом −1/2).
3) Теорема Наполеона: равносторонние треугольники, построенные на сторонах треугольника, имеют центры, образующие равносторонний треугольник; доказательство через поворот или гомотетию.
4) Прямая Симсона: связь с гомотетией (при гомотетии с центром P и коэффициентом 2 основания переходят в точки, лежащие на окружности и т. д.).
5) Вывод о полезности метода.
14. Инверсия и её применения (теорема Птолемея и обратная ей, формула Эйлера для квадрата расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника, теорема Фейербаха, задача Аполлония) [3, пп. 49—53; 1, пп. 168—175].
План реферата.
1) Определение инверсии с центром O и радиусом r: точка M переходит в M' на луче OM, OM·OM' = r²; основные свойства (окружности и прямые переходят в окружности и прямые, сохраняется величина угла между кривыми).
2) Теорема Птолемея и обратная ей через инверсию: инверсия с центром в вершине вписанного четырёхугольника переводит описанную окружность в прямую.
3) Формула Эйлера d² = R² − 2Rr: доказательство через инверсию относительно вписанной окружности.
4) Теорема Фейербаха: окружность Эйлера касается вписанной и вневписанных окружностей.
5) Задача Аполлония: построение окружности, касающейся трёх данных окружностей, с помощью инверсии.
1) Определение инверсии с центром O и радиусом r: точка M переходит в M' на луче OM, OM·OM' = r²; основные свойства (окружности и прямые переходят в окружности и прямые, сохраняется величина угла между кривыми).
2) Теорема Птолемея и обратная ей через инверсию: инверсия с центром в вершине вписанного четырёхугольника переводит описанную окружность в прямую.
3) Формула Эйлера d² = R² − 2Rr: доказательство через инверсию относительно вписанной окружности.
4) Теорема Фейербаха: окружность Эйлера касается вписанной и вневписанных окружностей.
5) Задача Аполлония: построение окружности, касающейся трёх данных окружностей, с помощью инверсии.