Комплексные задания (7–9 классы) — с. 368
Задание 1 (7 класс). Пётр хочет украсить открытку узором, который увидел на рисунке (рис. 426). Он испытывает затруднения с выполнением узора, не зная с чего начать. Единственное, что он понял, что окружности на рисунке как-то связаны.
1. Выразите радиусы всех окружностей через n, если диаметр большой окружности n см. 2. Опишите последовательность построений Петра, которые он должен выполнить для получения узора.
3. Перенесите рисунок на лист бумаги.
4. Предложите свой узор, состоящий из различных окружностей. [рисунок 426: большая окружность; внутри четыре больших цветных дуги спиральной формы и восемь малых окружностей, по две вдоль каждой из четырёх диагональных осей]
1. Большая окружность имеет диаметр n см, радиус n/2 см. По рисунку вдоль каждой из четырёх диагоналей (поворот на 90° переводит узор в себя) строятся: цветная окружность, проходящая через центр O и касающаяся большой окружности изнутри; её диаметр равен радиусу большой окружности, поэтому радиус n/4 см; внутри неё две малые окружности, диаметры которых вдвое меньше: радиус n/8 см (диаметры двух малых окружностей вместе составляют диаметр цветной). Итого: одна окружность радиуса n/2, четыре радиуса n/4, восемь радиуса n/8 (см).
2. Построение: 1) проводим окружность с центром O и радиусом n/2. 2. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра, делим пополам прямые углы биссектрисами: получаем четыре луча OP1, OP2, OP3, OP4 под углом 90° друг к другу, лежащие по диагоналям; P1, P2, P3, P4 точки пересечения лучей с окружностью. 3. Для каждого луча делим отрезок OPi пополам, получаем точку Mi; проводим окружность с центром Mi радиуса OMi = n/4 (она проходит через O и касается большой окружности в Pi). 4. Делим пополам отрезки OMi и MiPi; в середины ставим центр и проводим окружности радиуса n/8. 5. Стираем часть цветных окружностей, чтобы получилась спираль, и раскрашиваем.
3. Рисунок выполняем по шагам п. 2 циркулем и линейкой; для n = 12 см радиусы равны 6, 3 и 1,5 см. Схема показана на чертеже: красные окружности те, из которых образуется спираль.
4. Свой узор: большая окружность радиуса r, внутри три равные окружности радиуса r/2, проходящие через центр (центры на углах 120°), которые касаются большой окружности; между ними малые окружности радиуса r/4 и т. д. Любой узор из окружностей, радиусы которых заданы по правилу (делением радиуса пополам, на три части и так далее), подходит.
Оговорка: на рисунке в книге часть цветных окружностей стёрта, образуя спираль; радиусы определены по пропорциям рисунка (n/8, n/4, n/2), а какие именно дуги стирать, оставлено на усмотрение исполнителя.
2. Построение: 1) проводим окружность с центром O и радиусом n/2. 2. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра, делим пополам прямые углы биссектрисами: получаем четыре луча OP1, OP2, OP3, OP4 под углом 90° друг к другу, лежащие по диагоналям; P1, P2, P3, P4 точки пересечения лучей с окружностью. 3. Для каждого луча делим отрезок OPi пополам, получаем точку Mi; проводим окружность с центром Mi радиуса OMi = n/4 (она проходит через O и касается большой окружности в Pi). 4. Делим пополам отрезки OMi и MiPi; в середины ставим центр и проводим окружности радиуса n/8. 5. Стираем часть цветных окружностей, чтобы получилась спираль, и раскрашиваем.
3. Рисунок выполняем по шагам п. 2 циркулем и линейкой; для n = 12 см радиусы равны 6, 3 и 1,5 см. Схема показана на чертеже: красные окружности те, из которых образуется спираль.
4. Свой узор: большая окружность радиуса r, внутри три равные окружности радиуса r/2, проходящие через центр (центры на углах 120°), которые касаются большой окружности; между ними малые окружности радиуса r/4 и т. д. Любой узор из окружностей, радиусы которых заданы по правилу (делением радиуса пополам, на три части и так далее), подходит.
Оговорка: на рисунке в книге часть цветных окружностей стёрта, образуя спираль; радиусы определены по пропорциям рисунка (n/8, n/4, n/2), а какие именно дуги стирать, оставлено на усмотрение исполнителя.
Задание 2 (7–8 класс). На рисунке 427 изображены хорды окружности, имеющие общую точку.
1. Не проводя измерений, запишите хорды в порядке убывания их длин. Поясните свои действия.
2. Дополните рисунок хордой с концом в точке М, имеющей длину меньше любой из изображённых на рисунке хорд.
3. Начертите хорду такой же длины, как и MF, не используя измерение длины. [рисунок 427: окружность с центром O; из точки M проведены хорды MA, MB (диаметр, проходящий через O), MC, MD, MF; точки A, B, C, D, F расположены на окружности по порядку от верхней левой к нижней]
1. Хорда MB проходит через центр O, это диаметр, он самая длинная хорда окружности. Для остальных хорд используем, что хорда MX тем длиннее, чем ближе её конец X к точке B, то есть чем меньше расстояние от центра O до хорды (и чем больше центральный угол MOX при MO = OX = R: в равнобедренных треугольниках MOX с одинаковыми боковыми сторонами основание MX больше, если угол при вершине O больше). На рисунке от B по окружности точки идут в порядке A, C, D, F, причём A ближе всех к B (она выше B), затем C, D, F. Значит, ∠MOB = 180° > ∠MOA > ∠MOC > ∠MOD > ∠MOF и MB > MA > MC > MD > MF.
Ответ: MB, MA, MC, MD, MF.
2. Выберем на меньшей дуге MF точку K (между M и F) так, что центральный угол MOK меньше угла MOF; тогда MK < MF и MK меньше любой из изображённых хорд (MF самая короткая). Проводим хорду MK.
3. Построение: раствор циркуля ставим на M и F (циркуль только переносит длину, не измеряя её). Проводим окружность (дугу) с центром M радиуса MF. Она пересекает данную окружность в точке F и в ещё одной точке F′. Хорда MF′ искомая, MF′ = MF, как радиусы одной окружности. (Хорда MF′ симметрична MF относительно диаметра MB.)
Оговорка: порядок точек A, C, D, F определён по рисунку.
Ответ: MB, MA, MC, MD, MF.
2. Выберем на меньшей дуге MF точку K (между M и F) так, что центральный угол MOK меньше угла MOF; тогда MK < MF и MK меньше любой из изображённых хорд (MF самая короткая). Проводим хорду MK.
3. Построение: раствор циркуля ставим на M и F (циркуль только переносит длину, не измеряя её). Проводим окружность (дугу) с центром M радиуса MF. Она пересекает данную окружность в точке F и в ещё одной точке F′. Хорда MF′ искомая, MF′ = MF, как радиусы одной окружности. (Хорда MF′ симметрична MF относительно диаметра MB.)
Оговорка: порядок точек A, C, D, F определён по рисунку.
Задание 3 (8 класс). В питомнике цветы выращивают на круглых клумбах. Анна стоит в центре клумбы. Для посадки цветов требуется разделить клумбу на части: в зависимости от количества частей она сможет посадить разные виды цветов. Для деления клумбы у неё есть 5 шаблонов (рис. 428) с углом α: 30°, 45°, 60°, 75°, 90°.
1. При делении клумбы требуется применить только один шаблон. Сколькими шаблонами Анна сможет воспользоваться?
2. Анна выбирает только один шаблон. Какое максимальное количество разных видов цветов сможет высадить Анна?
3. Анна хочет посадить 5 видов цветов, используя деление клумбы на неравные части с помощью разных шаблонов. Какими шаблонами она может воспользоваться? [рисунок 428: круг с центром A и пять шаблонов в форме секторов с углами 30°, 45°, 60°, 75°, 90°]
Полный угол вокруг центра равен 360°. Шаблон с углом α делит клумбу на равные части без остатка, если 360° делится на α.
1. 360 : 30 = 12; 360 : 45 = 8; 360 : 60 = 6; 360 : 90 = 4; 360 : 75 = 4,8 не целое. Значит, на равные части без остатка клумбу делят четыре шаблона: 30°, 45°, 60°, 90°. Ответ: четырьмя шаблонами. (Шаблон 75° даёт четыре сектора по 75° и остаток 60°, то есть тоже разбиение, но части неравные.)
2. Число частей: 12 (30°), 8 (45°), 6 (60°), 4 (90°). Наибольшее число частей, а значит и видов цветов, при шаблоне 30°. Ответ: 12 видов. (Для шаблона 75°: 4 части по 75° и одна в 60°, всего 5 частей.)
3. Нужно 5 неравных частей, в сумме дающих 360°, причём шаблоны разные. Сумма всех пяти шаблонов 30° + 45° + 60° + 75° + 90° = 300°, остаток 60° дал бы шестую часть, равную одной из уже имеющихся, поэтому все пять шаблонов не подходят. Берём четыре разных шаблона, а пятую часть получаем как остаток 360° минус их сумма. Перебор наборов: без 30°: 45, 60, 75, 90, сумма 270°, остаток 90°, равен одной из частей, не подходит; без 45°: 30, 60, 75, 90, сумма 255°, остаток 105°, все части различны, подходит; без 60°: 30, 45, 75, 90, сумма 240°, остаток 120°, подходит; без 75°: 30, 45, 60, 90, сумма 225°, остаток 135°, подходит; без 90°: 30, 45, 60, 75, сумма 210°, остаток 150°, подходит.
Ответ: любые четыре шаблона, кроме набора 45°, 60°, 75°, 90° (то есть, не использующих шаблон 30°); например 30°, 45°, 60°, 75° и остаток 150°.
Оговорка: в пункте 1 считаем деление на равные части; в пункте 3 пятая часть получается остатком, а не шаблоном.
1. 360 : 30 = 12; 360 : 45 = 8; 360 : 60 = 6; 360 : 90 = 4; 360 : 75 = 4,8 не целое. Значит, на равные части без остатка клумбу делят четыре шаблона: 30°, 45°, 60°, 90°. Ответ: четырьмя шаблонами. (Шаблон 75° даёт четыре сектора по 75° и остаток 60°, то есть тоже разбиение, но части неравные.)
2. Число частей: 12 (30°), 8 (45°), 6 (60°), 4 (90°). Наибольшее число частей, а значит и видов цветов, при шаблоне 30°. Ответ: 12 видов. (Для шаблона 75°: 4 части по 75° и одна в 60°, всего 5 частей.)
3. Нужно 5 неравных частей, в сумме дающих 360°, причём шаблоны разные. Сумма всех пяти шаблонов 30° + 45° + 60° + 75° + 90° = 300°, остаток 60° дал бы шестую часть, равную одной из уже имеющихся, поэтому все пять шаблонов не подходят. Берём четыре разных шаблона, а пятую часть получаем как остаток 360° минус их сумма. Перебор наборов: без 30°: 45, 60, 75, 90, сумма 270°, остаток 90°, равен одной из частей, не подходит; без 45°: 30, 60, 75, 90, сумма 255°, остаток 105°, все части различны, подходит; без 60°: 30, 45, 75, 90, сумма 240°, остаток 120°, подходит; без 75°: 30, 45, 60, 90, сумма 225°, остаток 135°, подходит; без 90°: 30, 45, 60, 75, сумма 210°, остаток 150°, подходит.
Ответ: любые четыре шаблона, кроме набора 45°, 60°, 75°, 90° (то есть, не использующих шаблон 30°); например 30°, 45°, 60°, 75° и остаток 150°.
Оговорка: в пункте 1 считаем деление на равные части; в пункте 3 пятая часть получается остатком, а не шаблоном.