Комплексные задания (7–9 классы) — с. 370
Задание 5 (9 класс). Мастер вырезал 3 детских деревянных вкладыша, используя одинаковые заготовки из бука, размером 6 см × 6 см. В центре он прикрепил держатель. Схематично вкладыши изображены на рисунке 430.
1. При изготовлении какого вкладыша он получил больше отходов?
2. Играя со вкладышами, ребёнок может поворачивать и вкладывать их в форму. Сколькими способами это можно сделать с каждым вкладышем?
Результаты занесите в таблицу. [рисунок 430: на клетчатой бумаге (клетка 1 см) три вкладыша с центром-держателем: а) квадрат с вершинами (4; 0), (0; 2), (2; 6), (6; 4) в системе координат с началом в левом верхнем углу заготовки; б) параллелограмм с вершинами (2; 0), (6; 0), (4; 6), (0; 6); в) шестиугольник с вершинами (0; 0), (6; 0), (5; 3), (6; 6), (0; 6), (1; 3)] Таблица: Вкладыши №1, №2, №3 и количество способов.
Данные берём по рисунку: заготовка 6 × 6 клеток, сторона клетки 1 см, площадь заготовки 36 см². Центр заготовки (3; 3) совпадает с держателем.
1. Отходы равны 36 см² минус площадь вкладыша.
Вкладыш №1 (квадрат): вершины (4; 0), (0; 2), (2; 6), (6; 4); сторона квадрата задаётся вектором (−4; 2), её квадрат 16 + 4 = 20, значит, площадь 20 см². Проверка: из квадрата 6 × 6 вычитаем четыре угловых прямоугольных треугольника с катетами 4 и 2 (площадь по 4): 36 − 16 = 20. Отходы 36 − 20 = 16 см².
Вкладыш №2 (параллелограмм): основание 4 см, высота 6 см, площадь 24 см²; отходы 12 см².
Вкладыш №3 (шестиугольник): прямоугольник 6 × 6 минус два треугольника с основанием 6 и высотой 1 (площадь по 3 см²): 36 − 6 = 30 см²; отходы 6 см².
Ответ: больше всего отходов при изготовлении вкладыша №1 (16 см²).
2. Вкладыш можно вложить в форму столько раз, сколько у фигуры поворотов вокруг центра, переводящих её в себя (поворот на 0°, 90°, 180°, 270° для квадрата и т. д.).
№1 квадрат с центром в точке (3; 3): повороты на 0°, 90°, 180°, 270°, всего 4 способа.
№2 параллелограмм (не ромб, не прямоугольник): центрально-симметричен, поворот на 180° переводит его в себя, других поворотов нет: 2 способа.
№3 шестиугольник: центрально-симметричен (вершины (0; 0) и (6; 6), (6; 0) и (0; 6), (5; 3) и (1; 3)), поворот на 90° не переводит в себя: 2 способа.
Таблица: Вкладыш №1: 4; Вкладыш №2: 2; Вкладыш №3: 2.
Оговорка: координаты вершин считаны с клетчатого рисунка; считаем только повороты в плоскости (без переворачивания вкладыша).
1. Отходы равны 36 см² минус площадь вкладыша.
Вкладыш №1 (квадрат): вершины (4; 0), (0; 2), (2; 6), (6; 4); сторона квадрата задаётся вектором (−4; 2), её квадрат 16 + 4 = 20, значит, площадь 20 см². Проверка: из квадрата 6 × 6 вычитаем четыре угловых прямоугольных треугольника с катетами 4 и 2 (площадь по 4): 36 − 16 = 20. Отходы 36 − 20 = 16 см².
Вкладыш №2 (параллелограмм): основание 4 см, высота 6 см, площадь 24 см²; отходы 12 см².
Вкладыш №3 (шестиугольник): прямоугольник 6 × 6 минус два треугольника с основанием 6 и высотой 1 (площадь по 3 см²): 36 − 6 = 30 см²; отходы 6 см².
Ответ: больше всего отходов при изготовлении вкладыша №1 (16 см²).
2. Вкладыш можно вложить в форму столько раз, сколько у фигуры поворотов вокруг центра, переводящих её в себя (поворот на 0°, 90°, 180°, 270° для квадрата и т. д.).
№1 квадрат с центром в точке (3; 3): повороты на 0°, 90°, 180°, 270°, всего 4 способа.
№2 параллелограмм (не ромб, не прямоугольник): центрально-симметричен, поворот на 180° переводит его в себя, других поворотов нет: 2 способа.
№3 шестиугольник: центрально-симметричен (вершины (0; 0) и (6; 6), (6; 0) и (0; 6), (5; 3) и (1; 3)), поворот на 90° не переводит в себя: 2 способа.
Таблица: Вкладыш №1: 4; Вкладыш №2: 2; Вкладыш №3: 2.
Оговорка: координаты вершин считаны с клетчатого рисунка; считаем только повороты в плоскости (без переворачивания вкладыша).
Задание 6 (7—9 класс). Более двадцати веков, начиная с III века до н. э., математики всего мира пытались доказать утверждение, сформулированное древнегреческим учёным Евклидом в «Началах» и известное как пятый постулат (см. Приложение 2 на с. 380). При доказательстве «разрешалось» применять только аксиомы, указанные в «Началах», или их следствия (теоремы). Все попытки обосновать пятый постулат были безуспешны, так как использовалось какое-либо другое утверждение, которое само доказывалось с помощью пятого постулата.
1. В каком веке математики «осознали», что пятый постулат невозможно получить как следствие из аксиом Евклида?
2. Евклид называл прямым тот угол, который равен своему смежному. Противоречит ли определение прямого угла, данное Евклидом, тому определению, которое приведено в учебнике?
Ответ объясните.
3. Рассмотрите рисунки 431, а–в и выберите тот, который подходит для иллюстрации пятого постулата.
4. Набор аксиом Евклида стал основой для аксиоматики, на которой строится курс геометрии, изучаемый в школе. Правда, вместо пятого постулата используется эквивалентное утверждение, известное как аксиома параллельных прямых: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». Сформулируйте какое-либо утверждение, при доказательстве которого используется аксиома параллельных прямых. [рисунок 431, а–в: две прямые a и b пересечены секущей c, отмечены углы α и β, подпись α + β < 180°; на рисунке а) α и β с разных сторон от секущей; б) α и β внутренние углы по одну сторону от секущей; в) α расположен вне полосы между прямыми]
1. В XIX веке. Н. И. Лобачевский (первое сообщение 1826 г., публикация 1829 г.), а также Я. Бойяи и К. Гаусс построили геометрию, в которой пятый постулат не выполняется, но аксиомы Евклида остальные верны; тем самым стало ясно, что пятый постулат от остальных аксиом независим и доказан быть не может.
2. Нет, не противоречит. Угол, равный смежному, обозначим x; смежные углы в сумме дают 180°, поэтому x + x = 180°, x = 90°. Следовательно, определение Евклида задаёт тот же угол, что и школьное определение (угол в 90°). Определения равносильны.
3. Пятый постулат: если две прямые a и b пересечены третьей прямой c и сумма внутренних односторонних углов α + β меньше 180°, то прямые a и b пересекаются, причём по ту сторону от секущей, где эти углы. Внутренние односторонние углы лежат между прямыми a и b по одну сторону от секущей. На рисунке а) углы расположены по разные стороны от секущей, на рисунке в) угол α находится вне полосы между прямыми. На рисунке б) оба угла внутренние и лежат по одну сторону от секущей. Ответ: рисунок б).
4. Например: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны (теорема, обратная признаку параллельности). Доказательство: пусть a ∥ b, секущая c, ∠1 и ∠2 накрест лежащие. Если ∠1 ≠ ∠2, построим через точку пересечения c и b прямую b′, образующую с c угол, равный ∠1 (накрест лежащие). По признаку b′ ∥ a. Тогда через одну точку проходят две различные прямые b и b′, параллельные a, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, ∠1 = ∠2.
Другие примеры: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую; две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой; сумма углов треугольника равна 180°.
2. Нет, не противоречит. Угол, равный смежному, обозначим x; смежные углы в сумме дают 180°, поэтому x + x = 180°, x = 90°. Следовательно, определение Евклида задаёт тот же угол, что и школьное определение (угол в 90°). Определения равносильны.
3. Пятый постулат: если две прямые a и b пересечены третьей прямой c и сумма внутренних односторонних углов α + β меньше 180°, то прямые a и b пересекаются, причём по ту сторону от секущей, где эти углы. Внутренние односторонние углы лежат между прямыми a и b по одну сторону от секущей. На рисунке а) углы расположены по разные стороны от секущей, на рисунке в) угол α находится вне полосы между прямыми. На рисунке б) оба угла внутренние и лежат по одну сторону от секущей. Ответ: рисунок б).
4. Например: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны (теорема, обратная признаку параллельности). Доказательство: пусть a ∥ b, секущая c, ∠1 и ∠2 накрест лежащие. Если ∠1 ≠ ∠2, построим через точку пересечения c и b прямую b′, образующую с c угол, равный ∠1 (накрест лежащие). По признаку b′ ∥ a. Тогда через одну точку проходят две различные прямые b и b′, параллельные a, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, ∠1 = ∠2.
Другие примеры: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую; две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой; сумма углов треугольника равна 180°.