Глава 1. § 28. Закон сохранения механической энергии — с. 139
§ 28. Вопрос 1. Что называют механической энергией системы?
Механической энергией системы называют сумму кинетической и потенциальной энергий всех тел системы: E = Eк + Eп. Измеряется механическая энергия в джоулях (Дж).
§ 28. Вопрос 2. В чём заключается закон изменения механической энергии?
Изменение механической энергии замкнутой системы тел равно работе неконсервативных сил (например, сил трения), действующих внутри системы: (Eк2 + Eп2) – (Eк1 + Eп1) = Aнкс. Если эта работа отрицательна (сила трения), механическая энергия системы уменьшается.
§ 28. Вопрос 3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Запишите его в виде уравнения.
Механическая энергия замкнутой системы тел остаётся постоянной (сохраняется), если между телами системы действуют только консервативные силы (силы тяготения и упругости). Уравнение: Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2, где индексы 1 и 2 относятся к двум любым моментам времени. Для тела, движущегося вблизи Земли: mv₁²/2 + mgh₁ = mv₂²/2 + mgh₂.
§ 28. Вопрос 4. Может ли меняться с течением времени потенциальная или кинетическая энергия замкнутой системы?
Да, может. Потенциальная и кинетическая энергии замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, могут изменяться, переходя друг в друга: на сколько уменьшается энергия одного вида, на столько же увеличивается энергия другого вида. Неизменной остаётся только их сумма — механическая энергия. Например, у падающего шарика потенциальная энергия убывает, а кинетическая растёт.
§ 28. Вопрос для обсуждения. При спуске по канату рекомендуется двигаться, перехватывая его руками, а не скользя руками по поверхности каната. Почему?
При скольжении рук по канату действует сила трения скольжения. Потенциальная энергия человека уменьшается, но не вся она переходит в кинетическую: работа силы трения превращает механическую энергию во внутреннюю, и кожа рук сильно нагревается — можно получить ожог. К тому же при скольжении трудно управлять скоростью спуска. Когда канат перехватывают руками, руки в момент хвата не скользят по канату, нагревания практически нет, а скорость спуска остаётся небольшой и под контролем.
§ 28. Упражнение 27.
1. Решите рассмотренную в параграфе задачу (пример 2) без использования закона сохранения механической энергии.
Условие примера 2: мяч бросают вниз с высоты h₁ = 1,8 м со скоростью v₁ = 8 м/с; найти высоту h₂, на которую он отскочит после удара о землю (потери энергии не учитывать, g = 10 м/с²).
Этап 1. Падение вниз — равноускоренное движение с ускорением g. Скорость у земли: v² = v₁² + 2gh₁ = (8 м/с)² + 2·10 м/с²·1,8 м = 64 + 36 = 100 м²/с², v = 10 м/с.
Этап 2. Без потерь энергии мяч отскакивает с такой же по модулю скоростью v = 10 м/с, направленной вверх. Он движется вверх с ускорением g, направленным вниз, до остановки (v₂ = 0): h₂ = v²/(2g) = (10 м/с)²/(2·10 м/с²) = 5 м.
Ответ: h₂ = 5 м, как и при решении через закон сохранения энергии.
Этап 1. Падение вниз — равноускоренное движение с ускорением g. Скорость у земли: v² = v₁² + 2gh₁ = (8 м/с)² + 2·10 м/с²·1,8 м = 64 + 36 = 100 м²/с², v = 10 м/с.
Этап 2. Без потерь энергии мяч отскакивает с такой же по модулю скоростью v = 10 м/с, направленной вверх. Он движется вверх с ускорением g, направленным вниз, до остановки (v₂ = 0): h₂ = v²/(2g) = (10 м/с)²/(2·10 м/с²) = 5 м.
Ответ: h₂ = 5 м, как и при решении через закон сохранения энергии.
§ 28. Упражнение 27.
2. Оторвавшаяся от крыши сосулька падает с высоты h₀ = 36 м от земли. Какую скорость v она будет иметь на высоте h = 31 м?
(Принять g = 10 м/с².)
Сопротивлением воздуха пренебрегаем, механическая энергия системы «сосулька — Земля» сохраняется. В начале (v₀ = 0): Eп = mgh₀. На высоте h: mgh + mv²/2. Тогда mgh₀ = mgh + mv²/2, откуда v = √(2g(h₀ – h)).
v = √(2·10 м/с²·(36 м – 31 м)) = √100 м²/с² = 10 м/с.
Ответ: v = 10 м/с.
v = √(2·10 м/с²·(36 м – 31 м)) = √100 м²/с² = 10 м/с.
Ответ: v = 10 м/с.
§ 28. Упражнение 27.
3. Шарик вылетает из детского пружинного пистолета вертикально вверх с начальной скоростью v₀ = 5 м/с. На какую высоту от места вылета он поднимется?
(Принять g = 10 м/с².)
В месте вылета потенциальную энергию принимаем равной нулю: Eк = mv₀²/2. В верхней точке скорость равна нулю, и вся энергия потенциальная: Eп = mgh. По закону сохранения энергии mv₀²/2 = mgh, откуда h = v₀²/(2g).
h = (5 м/с)²/(2·10 м/с²) = 25/20 м = 1,25 м.
Ответ: h = 1,25 м.
h = (5 м/с)²/(2·10 м/с²) = 25/20 м = 1,25 м.
Ответ: h = 1,25 м.
§ 28. Упражнение 27.
4. Один из мальчиков утверждал, что, спускаясь с горы высотой 20 м на лыжах, он развил скорость 100 км/ч. Правдоподобно ли его утверждение?
Наибольшая скорость получается, если трения нет и вся потенциальная энергия переходит в кинетическую: mgh = mv²/2, откуда v = √(2gh).
v = √(2·9,8 м/с²·20 м) ≈ 19,8 м/с ≈ 71 км/ч (при g ≈ 10 м/с² получилось бы 20 м/с = 72 км/ч).
Скорость 100 км/ч ≈ 27,8 м/с заведомо больше этого предельного значения; из-за трения и сопротивления воздуха реальная скорость ещё меньше. Значит, утверждение неправдоподобно (если только мальчик не стартовал с большой начальной скоростью, чего в условии нет).
Ответ: нет, неправдоподобно: не более 72 км/ч.
v = √(2·9,8 м/с²·20 м) ≈ 19,8 м/с ≈ 71 км/ч (при g ≈ 10 м/с² получилось бы 20 м/с = 72 км/ч).
Скорость 100 км/ч ≈ 27,8 м/с заведомо больше этого предельного значения; из-за трения и сопротивления воздуха реальная скорость ещё меньше. Значит, утверждение неправдоподобно (если только мальчик не стартовал с большой начальной скоростью, чего в условии нет).
Ответ: нет, неправдоподобно: не более 72 км/ч.
§ 28. Упражнение 27.
5. Сосулька массой 100 г падает с высоты 20 м. Чему равен её импульс в момент падения?
Какова её кинетическая энергия?
m = 0,1 кг, h = 20 м. Сопротивление воздуха не учитываем. По закону сохранения энергии mv²/2 = mgh, откуда скорость в момент падения v = √(2gh) = √(2·9,8·20) м/с ≈ 19,8 м/с.
Импульс p = mv = 0,1 кг·19,8 м/с ≈ 2,0 кг·м/с.
Кинетическая энергия Eк = mgh = 0,1 кг·9,8 м/с²·20 м ≈ 19,6 Дж ≈ 20 Дж.
Ответ: p ≈ 2 кг·м/с; Eк ≈ 20 Дж.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается v = 20 м/с, p = 2 кг·м/с, Eк = 20 Дж, что совпадает с ответами учебника.
Импульс p = mv = 0,1 кг·19,8 м/с ≈ 2,0 кг·м/с.
Кинетическая энергия Eк = mgh = 0,1 кг·9,8 м/с²·20 м ≈ 19,6 Дж ≈ 20 Дж.
Ответ: p ≈ 2 кг·м/с; Eк ≈ 20 Дж.
Оговорка: при g = 10 м/с² получается v = 20 м/с, p = 2 кг·м/с, Eк = 20 Дж, что совпадает с ответами учебника.
§ 28. Упражнение 27.
6. Пластилиновый шарик сталкивается с таким же шариком, движущимся навстречу ему с такой же скоростью (рис. 95). Чему равна скорость шариков после столкновения?
Чему равно изменение кинетической энергии шариков в результате их столкновения?
[рисунок 95: два пластилиновых шарика на горизонтальной поверхности движутся навстречу друг другу: m₁ = 20 г, v₁ = 2 м/с (стрелка вправо); m₂ = 20 г, v₂ = 2 м/с (стрелка влево)]
Столкновение абсолютно неупругое, шарики слипаются. Применим закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную по скорости первого шарика: m₁v₁ – m₂v₂ = (m₁ + m₂)u. Так как m₁ = m₂ и v₁ = v₂, левая часть равна нулю, поэтому u = 0: после столкновения шарики остановятся.
Кинетическая энергия до столкновения: Eк1 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = 2·0,02 кг·(2 м/с)²/2 = 0,08 Дж. После столкновения Eк2 = 0.
Изменение кинетической энергии ΔEк = Eк2 – Eк1 = 0 – 0,08 Дж = –0,08 Дж = –80 мДж.
Кинетическая энергия уменьшилась на 0,08 Дж: она перешла во внутреннюю энергию шариков (они немного нагрелись, деформировались).
Ответ: скорость шариков после столкновения равна 0; ΔEк = –0,08 Дж.
Столкновение абсолютно неупругое, шарики слипаются. Применим закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную по скорости первого шарика: m₁v₁ – m₂v₂ = (m₁ + m₂)u. Так как m₁ = m₂ и v₁ = v₂, левая часть равна нулю, поэтому u = 0: после столкновения шарики остановятся.
Кинетическая энергия до столкновения: Eк1 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = 2·0,02 кг·(2 м/с)²/2 = 0,08 Дж. После столкновения Eк2 = 0.
Изменение кинетической энергии ΔEк = Eк2 – Eк1 = 0 – 0,08 Дж = –0,08 Дж = –80 мДж.
Кинетическая энергия уменьшилась на 0,08 Дж: она перешла во внутреннюю энергию шариков (они немного нагрелись, деформировались).
Ответ: скорость шариков после столкновения равна 0; ΔEк = –0,08 Дж.
§ 28. Задание 9. Придумайте способ определения скорости вытекания воды из шланга.
Способ основан на движении тела, брошенного горизонтально. Расположим шланг горизонтально на высоте h над землёй (над полом) так, чтобы струя вылетала горизонтально. Измерим рулеткой высоту h выходного отверстия над землёй и дальность s — горизонтальное расстояние от отверстия до места падения струи.
Время падения струи t = √(2h/g); по горизонтали вода движется равномерно, поэтому скорость вытекания v = s/t = s·√(g/(2h)).
Например, при h = 0,8 м и s = 2 м: t = 0,4 с, v = 5 м/с.
Другой способ: подставить ведро известного объёма V, засечь по часам время наполнения t и измерить площадь S сечения выходного отверстия: v = V/(St).
Оговорка: задание допускает разные способы; приведены два из них.
Время падения струи t = √(2h/g); по горизонтали вода движется равномерно, поэтому скорость вытекания v = s/t = s·√(g/(2h)).
Например, при h = 0,8 м и s = 2 м: t = 0,4 с, v = 5 м/с.
Другой способ: подставить ведро известного объёма V, засечь по часам время наполнения t и измерить площадь S сечения выходного отверстия: v = V/(St).
Оговорка: задание допускает разные способы; приведены два из них.