Глава 2. Электрические явления. § 44. Последовательное соединение проводников — с. 164
§ 44. Вопрос 1. Какое соединение проводников называют последовательным?
Начертите схему такого соединения.
Последовательным называют такое соединение, при котором проводники включены друг за другом: конец первого проводника соединён с началом второго, конец второго — с началом третьего и так далее. В цепи нет разветвлений, поэтому электрический ток может идти только по одному пути, проходя поочерёдно через все проводники. Примером служит ёлочная гирлянда из лампочек. Схема: источник тока, ключ и два резистора R₁ и R₂, включённые в один замкнутый контур (см. рисунок).
§ 44. Вопрос 2. Какая физическая величина одинакова для всех проводников, соединённых последовательно?
Объясните почему.
При последовательном соединении одинакова сила тока: I = I₁ = I₂ = … Причина в том, что в цепи нет разветвлений, а электрические заряды нигде не накапливаются и не исчезают (закон сохранения электрического заряда). Какой заряд за некоторое время проходит через поперечное сечение первого проводника, такой же заряд за то же время проходит через сечение второго и любого другого проводника. Заряд за единицу времени — это и есть сила тока, поэтому она во всех последовательно соединённых проводниках одинакова.
§ 44. Вопрос 3. Как найти напряжение на участке цепи, состоящем из последовательно соединённых проводников, зная напряжение на каждом?
Напряжение на участке цепи, состоящем из последовательно соединённых проводников, равно сумме напряжений на каждом из них: U = U₁ + U₂ + … Это следует из того, что работа электрического поля по перемещению заряда через весь участок складывается из работ на отдельных проводниках. Например, если на одной лампе 2 В, а на другой 4 В, то на обеих вместе 6 В.
§ 44. Вопрос 4. Как найти общее сопротивление последовательно соединённых проводников, зная сопротивление каждого?
Общее сопротивление последовательно соединённых проводников равно сумме сопротивлений каждого из них: R = R₁ + R₂ + … Вывод: U = U₁ + U₂, по закону Ома U = IR, U₁ = IR₁, U₂ = IR₂, а ток один и тот же, поэтому IR = IR₁ + IR₂, откуда R = R₁ + R₂. Смысл результата: последовательное соединение равносильно увеличению длины проводника, а чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление. Поэтому общее сопротивление больше сопротивления любого из проводников.
§ 44. Дополнительный вопрос. При исследовании электрической цепи ученик установил, что сила тока в одном резисторе равна 2 А, напряжение на его концах 4 В. На другом резисторе напряжение 10 В, сила тока 2 А. Он измерил напряжение на двух резисторах, и оно оказалось равным 14 В. Можно ли сказать, что резисторы соединены последовательно?
Проверим признаки последовательного соединения.
1) Сила тока одинакова: в первом резисторе 2 А, во втором тоже 2 А.
2) Общее напряжение равно сумме напряжений: U₁ + U₂ = 4 В + 10 В = 14 В, и именно это значение ученик получил на двух резисторах.
3) Сопротивления: R₁ = U₁/I₁ = 4 В / 2 А = 2 Ом, R₂ = U₂/I₂ = 10 В / 2 А = 5 Ом. Общее сопротивление R = U/I = 14 В / 2 А = 7 Ом = R₁ + R₂, что согласуется с законом сложения сопротивлений при последовательном соединении.
При параллельном соединении напряжения на резисторах были бы одинаковыми, а здесь они разные (4 В и 10 В), и сила тока в общей части цепи была бы суммой токов, а не равнялась каждому из них.
Ответ: да, все измерения соответствуют последовательному соединению резисторов.
Оговорка: строго говоря, такое совпадение — убедительный, но косвенный довод; окончательно убедиться можно, проследив путь тока по проводам.
1) Сила тока одинакова: в первом резисторе 2 А, во втором тоже 2 А.
2) Общее напряжение равно сумме напряжений: U₁ + U₂ = 4 В + 10 В = 14 В, и именно это значение ученик получил на двух резисторах.
3) Сопротивления: R₁ = U₁/I₁ = 4 В / 2 А = 2 Ом, R₂ = U₂/I₂ = 10 В / 2 А = 5 Ом. Общее сопротивление R = U/I = 14 В / 2 А = 7 Ом = R₁ + R₂, что согласуется с законом сложения сопротивлений при последовательном соединении.
При параллельном соединении напряжения на резисторах были бы одинаковыми, а здесь они разные (4 В и 10 В), и сила тока в общей части цепи была бы суммой токов, а не равнялась каждому из них.
Ответ: да, все измерения соответствуют последовательному соединению резисторов.
Оговорка: строго говоря, такое совпадение — убедительный, но косвенный довод; окончательно убедиться можно, проследив путь тока по проводам.
Упражнение 36. Задача 1. Участок электрической цепи содержит три резистора сопротивлением 10, 20 и 30 Ом, соединённых последовательно. Найдите силу тока в каждом резисторе и напряжение на концах каждого участка цепи, если напряжение на втором резисторе равно 40 В.
Дано: R₁ = 10 Ом; R₂ = 20 Ом; R₃ = 30 Ом; соединение последовательное; U₂ = 40 В.
Найти: I₁, I₂, I₃; U₁, U₃ (и U).
Решение. При последовательном соединении I₁ = I₂ = I₃ = I. По закону Ома для второго резистора I = U₂/R₂ = 40 В / 20 Ом = 2 А.
Напряжения на остальных резисторах: U₁ = IR₁ = 2 А · 10 Ом = 20 В; U₃ = IR₃ = 2 А · 30 Ом = 60 В.
Напряжение на всём участке: U = U₁ + U₂ + U₃ = 20 В + 40 В + 60 В = 120 В. Проверка: R = 10 + 20 + 30 = 60 Ом, U = IR = 2 А · 60 Ом = 120 В.
Ответ: сила тока в каждом резисторе 2 А; U₁ = 20 В, U₂ = 40 В, U₃ = 60 В; на всём участке 120 В.
Найти: I₁, I₂, I₃; U₁, U₃ (и U).
Решение. При последовательном соединении I₁ = I₂ = I₃ = I. По закону Ома для второго резистора I = U₂/R₂ = 40 В / 20 Ом = 2 А.
Напряжения на остальных резисторах: U₁ = IR₁ = 2 А · 10 Ом = 20 В; U₃ = IR₃ = 2 А · 30 Ом = 60 В.
Напряжение на всём участке: U = U₁ + U₂ + U₃ = 20 В + 40 В + 60 В = 120 В. Проверка: R = 10 + 20 + 30 = 60 Ом, U = IR = 2 А · 60 Ом = 120 В.
Ответ: сила тока в каждом резисторе 2 А; U₁ = 20 В, U₂ = 40 В, U₃ = 60 В; на всём участке 120 В.
Упражнение 36. Задача 2. Сколько одинаковых резисторов было соединено последовательно, если каждый из них имеет сопротивление 100 Ом, а их общее сопротивление равно 700 Ом?
Дано: R₁ = 100 Ом; R = 700 Ом.
Найти: n.
Решение. При последовательном соединении n одинаковых резисторов R = nR₁, откуда n = R / R₁ = 700 Ом / 100 Ом = 7.
Ответ: 7 резисторов.
Найти: n.
Решение. При последовательном соединении n одинаковых резисторов R = nR₁, откуда n = R / R₁ = 700 Ом / 100 Ом = 7.
Ответ: 7 резисторов.
Упражнение 36. Задача 3. Общее сопротивление трёх обмоток телефонных реле, соединённых последовательно, равно 3200 Ом. Сопротивление одной из них равно 600 Ом, другой — 1200 Ом. Вычислите сопротивление третьей обмотки.
Дано: R = 3200 Ом; R₁ = 600 Ом; R₂ = 1200 Ом.
Найти: R₃.
Решение. При последовательном соединении R = R₁ + R₂ + R₃, откуда R₃ = R − R₁ − R₂ = 3200 Ом − 600 Ом − 1200 Ом = 1400 Ом.
Ответ: R₃ = 1400 Ом.
Найти: R₃.
Решение. При последовательном соединении R = R₁ + R₂ + R₃, откуда R₃ = R − R₁ − R₂ = 3200 Ом − 600 Ом − 1200 Ом = 1400 Ом.
Ответ: R₃ = 1400 Ом.
Упражнение 36. Задача 4*. Сила тока в электрической цепи, содержащей проводник сопротивлением 12 Ом, равна 0,06 А. После того как к проводнику последовательно присоединили стальной провод площадью поперечного сечения 1 мм², сила тока в цепи стала 0,04 А. Определите длину провода. Удельное сопротивление стали 0,12 Ом · мм²/м.
Дано: R₁ = 12 Ом; I₁ = 0,06 А; S = 1 мм²; I₂ = 0,04 А; ρ = 0,12 Ом · мм²/м.
Найти: l.
Решение. Напряжение источника не меняется. До присоединения провода U = I₁R₁ = 0,06 А · 12 Ом = 0,72 В.
После присоединения сопротивление цепи R = U / I₂ = 0,72 В / 0,04 А = 18 Ом. Так как соединение последовательное, R = R₁ + R_ст, поэтому сопротивление стального провода R_ст = 18 Ом − 12 Ом = 6 Ом.
Из формулы R = ρl/S длина l = R_ст · S / ρ = 6 Ом · 1 мм² / (0,12 Ом · мм²/м) = 50 м.
Ответ: l = 50 м.
Найти: l.
Решение. Напряжение источника не меняется. До присоединения провода U = I₁R₁ = 0,06 А · 12 Ом = 0,72 В.
После присоединения сопротивление цепи R = U / I₂ = 0,72 В / 0,04 А = 18 Ом. Так как соединение последовательное, R = R₁ + R_ст, поэтому сопротивление стального провода R_ст = 18 Ом − 12 Ом = 6 Ом.
Из формулы R = ρl/S длина l = R_ст · S / ρ = 6 Ом · 1 мм² / (0,12 Ом · мм²/м) = 50 м.
Ответ: l = 50 м.