Глава 4. Работа и мощность. Энергия. § 53. Рычаг. Равновесие сил на рычаге — с. 187
§ 53. Вопрос 1. Что называют рычагом?
Приведите примеры рычагов.
Рычагом называют твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси (точки опоры). На рычаг действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси: одна — действующая (например, сила руки), другая — противодействующая (сила тяжести груза, сопротивление материала).
Примеры рычагов: лом, которым приподнимают тяжёлый камень; качели-балансир; ножницы и кусачки (два рычага на общей оси); гаечный ключ; весло; педаль велосипеда; дверь, вращающаяся на петлях; ручка колодезного ворота; рычажные весы.
Примеры рычагов: лом, которым приподнимают тяжёлый камень; качели-балансир; ножницы и кусачки (два рычага на общей оси); гаечный ключ; весло; педаль велосипеда; дверь, вращающаяся на петлях; ручка колодезного ворота; рычажные весы.
§ 53. Вопрос 2. Дайте определение плеча силы.
Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения (точки опоры) до прямой, вдоль которой действует сила (линии действия силы). Это расстояние измеряют по перпендикуляру, проведённому из точки опоры к линии действия силы. Плечо обозначают буквой l и в СИ измеряют в метрах. Чем больше плечо, тем сильнее сила поворачивает рычаг.
§ 53. Вопрос 3. Составьте правило нахождения плеча силы.
Чтобы найти плечо силы, нужно: 1) определить точку опоры (ось вращения) рычага; 2) провести через точку приложения силы прямую вдоль направления силы — линию действия силы (при необходимости продолжить стрелку силы); 3) из точки опоры опустить перпендикуляр на эту линию; 4) измерить длину этого перпендикуляра — она и есть плечо силы. Если сила перпендикулярна рычагу, плечом служит расстояние от опоры до точки приложения силы; если линия действия силы проходит через ось, плечо равно нулю.
§ 53. Вопрос 4. Сформулируйте правило равновесия рычага.
Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил: F₁/F₂ = l₂/l₁. Это значит, что к меньшему плечу нужно приложить большую силу, а к большему — меньшую. Например, если одно плечо в 3 раза длиннее другого, то сила на длинном плече в 3 раза меньше, чем на коротком. Эквивалентная запись: F₁l₁ = F₂l₂.
§ 53. Дополнительный вопрос 1. Когда палку держат в руках за концы, то её трудно переломить. Если же середину палки положить на подставку, то переломить палку будет легче. Почему?
Палка ломается там, где момент приложенных сил достаточно велик; для этого к ней должны быть приложены не две, а три силы, и одна из них (опора) должна действовать в самом месте излома. Когда середину палки кладут на подставку, получается рычаг с опорой в середине: каждая половина палки — рычаг с плечом l = L/2 (L — длина палки), а сила руки, нажимающей на конец, создаёт момент M = F·L/2. Опора надёжно создаёт противоположную силу точно в нужной точке, и можно нажать на конец всем весом руки или тела, поэтому момент получается большим и палка ломается.
Если держать палку руками за концы и ничем не упираться в её середину, силы рук образуют лишь пару сил с малым эффективным плечом, действующую вдоль палки и по небольшому отрезку; к тому же приходится сгибать палку мышцами рук, а не использовать опору. Поэтому сломать её гораздо труднее.
Оговорка: условие качественное, объяснение дано через момент силы и наличие опоры в месте излома.
Если держать палку руками за концы и ничем не упираться в её середину, силы рук образуют лишь пару сил с малым эффективным плечом, действующую вдоль палки и по небольшому отрезку; к тому же приходится сгибать палку мышцами рук, а не использовать опору. Поэтому сломать её гораздо труднее.
Оговорка: условие качественное, объяснение дано через момент силы и наличие опоры в месте излома.
§ 53. Дополнительный вопрос 2. Докажите, что равноплечий рычаг не даёт выигрыша в силе.
Условие равновесия рычага: F₁l₁ = F₂l₂. У равноплечего рычага плечи равны: l₁ = l₂ = l. Подставим: F₁l = F₂l. Разделим обе части равенства на l: F₁ = F₂. Следовательно, для удержания груза в равновесии нужно приложить к рычагу силу, равную силе, с которой груз действует на рычаг, то есть выигрыша в силе нет. Равноплечий рычаг (например, коромысло рычажных весов) лишь меняет точку и направление приложения силы.
Упражнение 34. Задача 1. К концам рычага, находящегося в равновесии, приложены вертикальные силы 25 и 15 Н. Длинное плечо рычага равно 15 см. Какова длина короткого плеча?
Дано: F₁ = 25 Н; F₂ = 15 Н; l₂ = 15 см (длинное плечо).
СИ: l₂ = 0,15 м.
Найти: l₁ (короткое плечо).
Решение: Большая сила приложена к короткому плечу. По правилу равновесия рычага F₁/F₂ = l₂/l₁, откуда l₁ = F₂l₂/F₁.
l₁ = 15 Н · 0,15 м / 25 Н = 0,09 м = 9 см.
Проверка: 25 Н · 0,09 м = 2,25 Н·м; 15 Н · 0,15 м = 2,25 Н·м — моменты равны.
Ответ: длина короткого плеча 0,09 м (9 см).
СИ: l₂ = 0,15 м.
Найти: l₁ (короткое плечо).
Решение: Большая сила приложена к короткому плечу. По правилу равновесия рычага F₁/F₂ = l₂/l₁, откуда l₁ = F₂l₂/F₁.
l₁ = 15 Н · 0,15 м / 25 Н = 0,09 м = 9 см.
Проверка: 25 Н · 0,09 м = 2,25 Н·м; 15 Н · 0,15 м = 2,25 Н·м — моменты равны.
Ответ: длина короткого плеча 0,09 м (9 см).
Упражнение 34. Задача 2. На концы рычага действуют вертикальные силы 8 и 40 Н. Длина рычага 90 см. Где расположена точка опоры, если рычаг находится в равновесии?
Выполните рисунок.
Дано: F₁ = 8 Н; F₂ = 40 Н; L = 90 см.
СИ: L = 0,9 м.
Найти: положение опоры — l₁ и l₂.
Решение: Пусть l₁ — плечо силы F₁, l₂ — плечо силы F₂. Тогда l₁ + l₂ = L. Условие равновесия: F₁l₁ = F₂l₂, откуда l₁/l₂ = F₂/F₁ = 40/8 = 5, то есть l₁ = 5l₂.
Подставим: 5l₂ + l₂ = 0,9 м; 6l₂ = 0,9 м; l₂ = 0,15 м (15 см); l₁ = 0,9 м − 0,15 м = 0,75 м (75 см).
Проверка: 8 Н · 0,75 м = 6 Н·м; 40 Н · 0,15 м = 6 Н·м.
Ответ: опора расположена на расстоянии 0,15 м (15 см) от конца, к которому приложена сила 40 Н (и 0,75 м от конца с силой 8 Н). Рисунок: рычаг с опорой вблизи конца с большей силой.
СИ: L = 0,9 м.
Найти: положение опоры — l₁ и l₂.
Решение: Пусть l₁ — плечо силы F₁, l₂ — плечо силы F₂. Тогда l₁ + l₂ = L. Условие равновесия: F₁l₁ = F₂l₂, откуда l₁/l₂ = F₂/F₁ = 40/8 = 5, то есть l₁ = 5l₂.
Подставим: 5l₂ + l₂ = 0,9 м; 6l₂ = 0,9 м; l₂ = 0,15 м (15 см); l₁ = 0,9 м − 0,15 м = 0,75 м (75 см).
Проверка: 8 Н · 0,75 м = 6 Н·м; 40 Н · 0,15 м = 6 Н·м.
Ответ: опора расположена на расстоянии 0,15 м (15 см) от конца, к которому приложена сила 40 Н (и 0,75 м от конца с силой 8 Н). Рисунок: рычаг с опорой вблизи конца с большей силой.
Упражнение 34. Задача 3. На рычаге уравновешены две гири разной массы, но изготовленные из одного материала. Изменится ли равновесие рычага, если обе гири поместить в воду?
Равновесие не нарушится. Пусть гири имеют объёмы V₁ и V₂, плотность материала ρ, плечи l₁ и l₂. В воздухе: ρV₁g·l₁ = ρV₂g·l₂, то есть V₁l₁ = V₂l₂.
В воде на каждую гирю действует вверх выталкивающая сила FА = ρвVg, поэтому сила, действующая на рычаг, равна F = (ρ − ρв)Vg. Условие равновесия: (ρ − ρв)V₁g·l₁ = (ρ − ρв)V₂g·l₂. Сократив общий множитель (ρ − ρв)g, получаем то же равенство V₁l₁ = V₂l₂, которое выполнялось в воздухе.
Причина: обе силы (тяжести и архимедова) пропорциональны объёму тела, поэтому обе гири «теряют» одну и ту же долю веса.
Ответ: равновесие сохранится (при условии, что гири из материала плотнее воды и рычаг не касается воды).
В воде на каждую гирю действует вверх выталкивающая сила FА = ρвVg, поэтому сила, действующая на рычаг, равна F = (ρ − ρв)Vg. Условие равновесия: (ρ − ρв)V₁g·l₁ = (ρ − ρв)V₂g·l₂. Сократив общий множитель (ρ − ρв)g, получаем то же равенство V₁l₁ = V₂l₂, которое выполнялось в воздухе.
Причина: обе силы (тяжести и архимедова) пропорциональны объёму тела, поэтому обе гири «теряют» одну и ту же долю веса.
Ответ: равновесие сохранится (при условии, что гири из материала плотнее воды и рычаг не касается воды).