Глава 4. Работа и мощность. Энергия. § 51. Мощность. Единицы мощности — с. 181
§ 51. Вопрос 1. Дайте определение мощности.
Мощность — это физическая величина, которая характеризует быстроту совершения работы и равна отношению работы ко времени, за которое эта работа совершена. Чем большая работа совершается за единицу времени, тем больше мощность. Например, подъёмный кран мощнее ручной лебёдки, если он поднимает такой же груз на ту же высоту за меньшее время.
§ 51. Вопрос 2. Пользуясь определением мощности, запишите формулу для её расчёта.
По определению, чтобы найти мощность, нужно работу разделить на время, за которое она совершена: N = A / t. Здесь N — мощность, A — работа, t — время совершения работы. В СИ работу выражают в джоулях, время — в секундах, тогда мощность получается в ваттах.
§ 51. Вопрос 3. Какие единицы мощности вам известны?
Основная единица мощности в СИ — ватт (Вт), названная в честь Джеймса Уатта. 1 Вт — это такая мощность, при которой за 1 с совершается работа 1 Дж: 1 Вт = 1 Дж / 1 с = 1 Дж/с. Применяют также кратные и дольные единицы: 1 мВт = 0,001 Вт = 10⁻³ Вт; 1 кВт = 1000 Вт = 10³ Вт; 1 МВт = 1 000 000 Вт = 10⁶ Вт. Кроме того, иногда используют внесистемную единицу — лошадиную силу (л. с.): 1 л. с. ≈ 735,5 Вт; её чаще всего применяют для оценки мощности автомобильных двигателей.
§ 51. Вопрос 4. По какой формуле можно определить совершённую работу, зная мощность и время?
Из формулы N = A / t следует, что A = N · t: работа равна произведению мощности на время, в течение которого эта работа совершалась. Например, двигатель вентилятора мощностью 55 Вт за 30 мин (1800 с) совершает работу A = 55 Вт · 1800 с = 99 000 Дж = 99 кДж. Если мощность выражена в ваттах, а время в секундах, то работа получится в джоулях.
§ 51. Дополнительный вопрос. Груз поднимают вертикально вверх с постоянной скоростью. Как изменяется со временем совершаемая работа; развиваемая мощность?
При подъёме с постоянной скоростью v груз движется равномерно, поэтому сила, с которой его тянут, равна силе тяжести: F = mg, и она не меняется. Путь, пройденный грузом, растёт со временем пропорционально времени: h = vt. Значит, работа A = Fh = mgvt увеличивается прямо пропорционально времени (за каждую секунду совершается одна и та же дополнительная работа). Мощность N = A / t = mgv (или N = Fv) от времени не зависит: она остаётся постоянной, так как сила и скорость постоянны.
Упражнение 33. Задача 1. Выразите в ваттах следующие мощности: 20 мВт; 107 кВт; 5 МВт.
Дано: N₁ = 20 мВт; N₂ = 107 кВт; N₃ = 5 МВт.
Найти: N₁, N₂, N₃ в ваттах.
Решение: 1 мВт = 10⁻³ Вт, 1 кВт = 10³ Вт, 1 МВт = 10⁶ Вт.
N₁ = 20 · 10⁻³ Вт = 0,02 Вт.
N₂ = 107 · 10³ Вт = 107 000 Вт = 1,07 · 10⁵ Вт.
N₃ = 5 · 10⁶ Вт = 5 000 000 Вт.
Ответ: 0,02 Вт; 1,07 · 10⁵ Вт; 5 · 10⁶ Вт.
Найти: N₁, N₂, N₃ в ваттах.
Решение: 1 мВт = 10⁻³ Вт, 1 кВт = 10³ Вт, 1 МВт = 10⁶ Вт.
N₁ = 20 · 10⁻³ Вт = 0,02 Вт.
N₂ = 107 · 10³ Вт = 107 000 Вт = 1,07 · 10⁵ Вт.
N₃ = 5 · 10⁶ Вт = 5 000 000 Вт.
Ответ: 0,02 Вт; 1,07 · 10⁵ Вт; 5 · 10⁶ Вт.
Упражнение 33. Задача 2. Подъёмный кран равномерно поднимает бетонную плиту массой 500 кг на высоту 10 м. Какую работу совершает подъёмный кран?
Какова его мощность, если подъём длится 15 с?
Дано: m = 500 кг; h = 10 м; t = 15 с; g = 10 Н/кг.
Найти: A — ? N — ?
Решение: при равномерном подъёме сила, приложенная краном, равна силе тяжести плиты: F = mg. Работа крана A = Fh = mgh.
A = 500 кг · 10 Н/кг · 10 м = 50 000 Дж = 5 · 10⁴ Дж = 50 кДж.
Мощность N = A / t = 50 000 Дж / 15 с ≈ 3333 Вт ≈ 3,33 · 10³ Вт ≈ 3,3 кВт.
Ответ: A = 5 · 10⁴ Дж = 50 кДж; N ≈ 3,33 · 10³ Вт.
Найти: A — ? N — ?
Решение: при равномерном подъёме сила, приложенная краном, равна силе тяжести плиты: F = mg. Работа крана A = Fh = mgh.
A = 500 кг · 10 Н/кг · 10 м = 50 000 Дж = 5 · 10⁴ Дж = 50 кДж.
Мощность N = A / t = 50 000 Дж / 15 с ≈ 3333 Вт ≈ 3,33 · 10³ Вт ≈ 3,3 кВт.
Ответ: A = 5 · 10⁴ Дж = 50 кДж; N ≈ 3,33 · 10³ Вт.
Упражнение 33. Задача 3. Определите мощность двигателя, равномерно поднимающего лифт массой 300 кг на высоту 12 м за 30 с.
Дано: m = 300 кг; h = 12 м; t = 30 с; g = 10 Н/кг.
Найти: N — ?
Решение: при равномерном подъёме сила тяги равна силе тяжести лифта: F = mg. Работа двигателя A = mgh, мощность N = A / t = mgh / t.
N = 300 кг · 10 Н/кг · 12 м / 30 с = 36 000 Дж / 30 с = 1200 Вт = 1,2 · 10³ Вт.
Ответ: N = 1,2 · 10³ Вт = 1,2 кВт.
Найти: N — ?
Решение: при равномерном подъёме сила тяги равна силе тяжести лифта: F = mg. Работа двигателя A = mgh, мощность N = A / t = mgh / t.
N = 300 кг · 10 Н/кг · 12 м / 30 с = 36 000 Дж / 30 с = 1200 Вт = 1,2 · 10³ Вт.
Ответ: N = 1,2 · 10³ Вт = 1,2 кВт.
Упражнение 33. Задача 4. Мощность двигателей трамвая «Витязь-М» равна 450 кВт. Какую работу совершат двигатели за 3 ч?
Дано: N = 450 кВт; t = 3 ч.
СИ: N = 450 000 Вт; t = 3 · 3600 с = 10 800 с.
Найти: A — ?
Решение: работа равна произведению мощности на время: A = Nt.
A = 450 000 Вт · 10 800 с = 4 860 000 000 Дж = 4,86 · 10⁹ Дж ≈ 4,9 ГДж.
Ответ: A ≈ 4,86 · 10⁹ Дж (около 4,9 ГДж).
СИ: N = 450 000 Вт; t = 3 · 3600 с = 10 800 с.
Найти: A — ?
Решение: работа равна произведению мощности на время: A = Nt.
A = 450 000 Вт · 10 800 с = 4 860 000 000 Дж = 4,86 · 10⁹ Дж ≈ 4,9 ГДж.
Ответ: A ≈ 4,86 · 10⁹ Дж (около 4,9 ГДж).
Упражнение 33. Задача 5*. Автомобиль равномерно движется со скоростью 40 м/с. Какова мощность двигателя, если сила сопротивления 1000 Н?
(Сила сопротивления складывается из силы трения качения и сопротивления воздуха.)
Дано: v = 40 м/с; F сопр = 1000 Н.
Найти: N — ?
Решение: автомобиль движется равномерно, поэтому сила тяги двигателя уравновешивает силу сопротивления: F = F сопр = 1000 Н. За время t автомобиль проходит путь s = vt, и работа силы тяги A = Fs = Fvt. Мощность N = A / t = Fv.
N = 1000 Н · 40 м/с = 40 000 Вт = 4 · 10⁴ Вт.
Ответ: N = 4 · 10⁴ Вт = 40 кВт.
Найти: N — ?
Решение: автомобиль движется равномерно, поэтому сила тяги двигателя уравновешивает силу сопротивления: F = F сопр = 1000 Н. За время t автомобиль проходит путь s = vt, и работа силы тяги A = Fs = Fvt. Мощность N = A / t = Fv.
N = 1000 Н · 40 м/с = 40 000 Вт = 4 · 10⁴ Вт.
Ответ: N = 4 · 10⁴ Вт = 40 кВт.
Упражнение 33. Задача 6*. Сколько тонн песка экскаватор мощностью 100 кВт поднимет на высоту 10 м за 1 ч?
Дано: N = 100 кВт; h = 10 м; t = 1 ч; g = 10 Н/кг.
СИ: N = 100 000 Вт = 10⁵ Вт; t = 3600 с.
Найти: m — ?
Решение: работа экскаватора за время t: A = Nt. Эта работа идёт на подъём песка: A = mgh. Приравниваем: Nt = mgh, откуда m = Nt / (gh).
m = 10⁵ Вт · 3600 с / (10 Н/кг · 10 м) = 3,6 · 10⁸ Дж / 100 Н = 3,6 · 10⁶ кг = 3600 т.
Ответ: m = 3,6 · 10⁶ кг = 3600 т (потерями энергии пренебрегаем).
СИ: N = 100 000 Вт = 10⁵ Вт; t = 3600 с.
Найти: m — ?
Решение: работа экскаватора за время t: A = Nt. Эта работа идёт на подъём песка: A = mgh. Приравниваем: Nt = mgh, откуда m = Nt / (gh).
m = 10⁵ Вт · 3600 с / (10 Н/кг · 10 м) = 3,6 · 10⁸ Дж / 100 Н = 3,6 · 10⁶ кг = 3600 т.
Ответ: m = 3,6 · 10⁶ кг = 3600 т (потерями энергии пренебрегаем).
Задание 37. При подъёме тела массой m на высоту h совершается работа A = mgh, так как сила, необходимая для подъёма, равна mg, путь равен h. Если подъём осуществляется n раз, то работа A = nmgh. Руководствуясь этими соображениями, измерьте мощность, которую вы развиваете при двадцатикратном подъёме выбранного вами груза. Проделайте измерения для грузов массой 1; 2; 5 кг, поднимая их равномерно на высоту вытянутой руки. В качестве груза можно использовать стопку книг, пачку соли, двухлитровую бутылку с водой. Выдвиньте гипотезу, почему ваши результаты зависят от массы груза, который вы поднимаете.
Ход выполнения.
1. Подготовьте груз 1 кг (пачка соли), 2 кг (двухлитровая бутылка с водой), 5 кг (стопка книг в пакете), секундомер и линейку или рулетку.
2. Измерьте высоту h, на которую поднимается груз: от положения руки, опущенной вниз, до положения вытянутой вверх руки (или от пола до вытянутой руки). У типичного ученика h ≈ 1,6 м.
3. Включите секундомер и равномерно, без рывков, поднимите груз 1 кг двадцать раз (n = 20); зафиксируйте время t.
4. Повторите опыт для грузов 2 кг и 5 кг, делая между опытами паузу для отдыха.
5. Рассчитайте работу A = nmgh (g = 10 Н/кг) и мощность N = A / t.
Типичные результаты (h = 1,6 м, n = 20; значения зависят от человека и условий опыта).
Груз 1 кг: A = 20 · 1 кг · 10 Н/кг · 1,6 м = 320 Дж; t = 30 с; N = 320 Дж / 30 с ≈ 10,7 Вт.
Груз 2 кг: A = 20 · 2 · 10 · 1,6 = 640 Дж; t = 34 с; N = 640 / 34 ≈ 18,8 Вт.
Груз 5 кг: A = 20 · 5 · 10 · 1,6 = 1600 Дж; t = 70 с; N = 1600 / 70 ≈ 22,9 Вт.
Гипотеза. Мощность растёт с увеличением массы груза, но не пропорционально ей: масса выросла в 5 раз, а мощность — лишь примерно в 2 раза. Причины: при большей массе подъём идёт медленнее, мышцы быстрее утомляются, приходится делать паузы; при малой массе заметную долю времени занимают движения руки и опускание груза, которые в расчёт не входят, поэтому полезная мощность получается малой. Кроме того, человек совершает работу не только над грузом, но и по перемещению собственной руки, а мощность мышц ограничена: существует оптимальная нагрузка, при которой развиваемая мощность наибольшая.
Вывод: мощность, развиваемая при подъёме груза, зависит от его массы; в опыте она составила около 11 Вт, 19 Вт и 23 Вт — то есть десятки ватт, как у небольшого вентилятора.
Оговорка: числовые значения получены для типичного ученика и могут отличаться.
Типичные результаты (h = 1,6 м, n = 20; значения зависят от человека и условий опыта).
Груз 1 кг: A = 20 · 1 кг · 10 Н/кг · 1,6 м = 320 Дж; t = 30 с; N = 320 Дж / 30 с ≈ 10,7 Вт.
Груз 2 кг: A = 20 · 2 · 10 · 1,6 = 640 Дж; t = 34 с; N = 640 / 34 ≈ 18,8 Вт.
Груз 5 кг: A = 20 · 5 · 10 · 1,6 = 1600 Дж; t = 70 с; N = 1600 / 70 ≈ 22,9 Вт.
Гипотеза. Мощность растёт с увеличением массы груза, но не пропорционально ей: масса выросла в 5 раз, а мощность — лишь примерно в 2 раза. Причины: при большей массе подъём идёт медленнее, мышцы быстрее утомляются, приходится делать паузы; при малой массе заметную долю времени занимают движения руки и опускание груза, которые в расчёт не входят, поэтому полезная мощность получается малой. Кроме того, человек совершает работу не только над грузом, но и по перемещению собственной руки, а мощность мышц ограничена: существует оптимальная нагрузка, при которой развиваемая мощность наибольшая.
Вывод: мощность, развиваемая при подъёме груза, зависит от его массы; в опыте она составила около 11 Вт, 19 Вт и 23 Вт — то есть десятки ватт, как у небольшого вентилятора.
Оговорка: числовые значения получены для типичного ученика и могут отличаться.