Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. § 49. Плавание судов. Воздухоплавание — с. 171
Упражнение 31. Задача 1. Как изменится глубина погружения лодки, если в неё сядут ещё два человека?
Ответ объясните.
Глубина погружения лодки увеличится.
Лодка плавает, пока архимедова сила уравновешивает силу тяжести, действующую на лодку с грузом: F_А = F_тяж. Когда в лодку садятся ещё два человека, общий вес лодки возрастает. Чтобы вновь наступило равновесие, должна увеличиться и архимедова сила. Она равна F_А = ρ_ж·g·V_погр, где ρ_ж и g не меняются, значит, должен увеличиться объём погружённой части лодки V_погр. Лодка имеет определённую форму (площадь горизонтального сечения у ватерлинии), поэтому больший погружённый объём означает бо́льшую глубину погружения. Лодка осядет глубже, пока вытесненная вода снова не станет весить столько же, сколько лодка с людьми.
Лодка плавает, пока архимедова сила уравновешивает силу тяжести, действующую на лодку с грузом: F_А = F_тяж. Когда в лодку садятся ещё два человека, общий вес лодки возрастает. Чтобы вновь наступило равновесие, должна увеличиться и архимедова сила. Она равна F_А = ρ_ж·g·V_погр, где ρ_ж и g не меняются, значит, должен увеличиться объём погружённой части лодки V_погр. Лодка имеет определённую форму (площадь горизонтального сечения у ватерлинии), поэтому больший погружённый объём означает бо́льшую глубину погружения. Лодка осядет глубже, пока вытесненная вода снова не станет весить столько же, сколько лодка с людьми.
Упражнение 31. Задача 2. Сила тяжести, действующая на лодку, 50 000 кН. Какой объём воды вытесняет эта лодка?
Дано:
F_тяж = 50 000 кН = 5·10⁷ Н
ρ = 1000 кг/м³ (вода)
g = 10 Н/кг
Найти: V — ?
Решение:
Лодка плавает, поэтому архимедова сила равна силе тяжести: F_А = F_тяж.
Архимедова сила равна весу вытесненной воды: F_А = ρ·g·V.
Отсюда V = F_тяж / (ρ·g).
V = 5·10⁷ Н / (1000 кг/м³ · 10 Н/кг) = 5·10⁷ / 10⁴ м³ = 5·10³ м³ = 5000 м³.
Ответ: лодка вытесняет 5·10³ м³ (5000 м³) воды.
F_тяж = 50 000 кН = 5·10⁷ Н
ρ = 1000 кг/м³ (вода)
g = 10 Н/кг
Найти: V — ?
Решение:
Лодка плавает, поэтому архимедова сила равна силе тяжести: F_А = F_тяж.
Архимедова сила равна весу вытесненной воды: F_А = ρ·g·V.
Отсюда V = F_тяж / (ρ·g).
V = 5·10⁷ Н / (1000 кг/м³ · 10 Н/кг) = 5·10⁷ / 10⁴ м³ = 5·10³ м³ = 5000 м³.
Ответ: лодка вытесняет 5·10³ м³ (5000 м³) воды.
Упражнение 31. Задача 3*. Плот состоит из 12 сухих еловых брусьев. Длина каждого бруса 4 м, ширина 30 см, толщина 25 см. Можно ли на этом плоту переправить через реку автомашину весом 100 кН?
Дано:
n = 12
a = 4 м; b = 30 см = 0,3 м; c = 25 см = 0,25 м
P = 100 кН = 1·10⁵ Н
ρ_ели = 400 кг/м³ (сухая ель), ρ_воды = 1000 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: можно ли переправить автомашину.
Решение:
1) Объём плота: V = n·a·b·c = 12 · 4 м · 0,3 м · 0,25 м = 3,6 м³.
2) Масса плота: m = ρ_ели·V = 400 кг/м³ · 3,6 м³ = 1440 кг. Сила тяжести плота: F_тяж = m·g = 1440 кг · 10 Н/кг = 14 400 Н.
3) Наибольшая архимедова сила (плот погружён полностью): F_А = ρ_воды·g·V = 1000 кг/м³ · 10 Н/кг · 3,6 м³ = 36 000 Н.
4) Наибольший вес груза, который плот может нести: P_max = F_А − F_тяж = 36 000 Н − 14 400 Н = 21 600 Н ≈ 21,6 кН.
5) Сравнение: 21,6 кН < 100 кН.
Ответ: нет, плот не удержит автомашину весом 100 кН: он может нести груз не более примерно 21,6 кН.
Оговорка: плотность сухой ели принята равной 400 кг/м³ (по таблице плотностей).
n = 12
a = 4 м; b = 30 см = 0,3 м; c = 25 см = 0,25 м
P = 100 кН = 1·10⁵ Н
ρ_ели = 400 кг/м³ (сухая ель), ρ_воды = 1000 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: можно ли переправить автомашину.
Решение:
1) Объём плота: V = n·a·b·c = 12 · 4 м · 0,3 м · 0,25 м = 3,6 м³.
2) Масса плота: m = ρ_ели·V = 400 кг/м³ · 3,6 м³ = 1440 кг. Сила тяжести плота: F_тяж = m·g = 1440 кг · 10 Н/кг = 14 400 Н.
3) Наибольшая архимедова сила (плот погружён полностью): F_А = ρ_воды·g·V = 1000 кг/м³ · 10 Н/кг · 3,6 м³ = 36 000 Н.
4) Наибольший вес груза, который плот может нести: P_max = F_А − F_тяж = 36 000 Н − 14 400 Н = 21 600 Н ≈ 21,6 кН.
5) Сравнение: 21,6 кН < 100 кН.
Ответ: нет, плот не удержит автомашину весом 100 кН: он может нести груз не более примерно 21,6 кН.
Оговорка: плотность сухой ели принята равной 400 кг/м³ (по таблице плотностей).
Упражнение 31. Задача 4. Прочный сосуд, заполненный сжатым воздухом, уравновешен на весах. Стеклянная трубка с краном пропущена через пробку сосуда. К её наружному концу привязана оболочка резинового шара (рис. 162, а). Если часть воздуха из сосуда перейдёт в оболочку и раздует её, то равновесие весов нарушится (рис. 162, б). Объясните почему. [на рисунке: рычажные весы; на левой чаше стеклянный сосуд с трубкой и краном, на правой гиря; а) шар спущен, весы в равновесии; б) шар надут, равновесие нарушено]
Весы уравновешены, когда равны силы, с которыми чаши давят на коромысло. На левую чашу действуют вес сосуда с воздухом и архимедова (выталкивающая) сила воздуха, но пока шар не надут, объём системы не меняется, и равновесие сохраняется.
Когда воздух из сосуда переходит в оболочку и раздувает её, масса воздуха и вес системы остаются прежними, но объём системы увеличивается на объём шара. На надутый шар действует дополнительная архимедова сила со стороны окружающего воздуха: F_А = ρ_возд·g·V_шара. Эта сила направлена вверх и уменьшает суммарную силу давления на левую чашу. Поэтому левая чаша становится «легче» и поднимается, а равновесие нарушается (перевешивает правая чаша с гирей).
Когда воздух из сосуда переходит в оболочку и раздувает её, масса воздуха и вес системы остаются прежними, но объём системы увеличивается на объём шара. На надутый шар действует дополнительная архимедова сила со стороны окружающего воздуха: F_А = ρ_возд·g·V_шара. Эта сила направлена вверх и уменьшает суммарную силу давления на левую чашу. Поэтому левая чаша становится «легче» и поднимается, а равновесие нарушается (перевешивает правая чаша с гирей).
Упражнение 31. Задача 5. Почему нарушилось равновесие весов, когда из-под колокола воздушного насоса откачивали воздух (рис. 163)?
Объясните наблюдаемое явление. [на рисунке: под стеклянным колоколом воздушного насоса рычажные весы: на одном конце коромысла большой полый шар, на другом маленькая гиря]
Перед откачиванием воздуха весы были уравновешены в воздухе. На большой полый шар в воздухе действует заметная архимедова сила F_А = ρ_возд·g·V₁, а на маленькую гирю такая же сила гораздо меньше, потому что объём гири V₂ мал. Равновесие в воздухе означало, что вес шара минус выталкивающая сила равен весу гири минус её выталкивающая сила.
Когда воздух откачивают, плотность воздуха под колоколом уменьшается, и архимедовы силы, действующие на оба тела, убывают. Но у большого шара она уменьшается сильнее (он вытеснял больше воздуха), чем у маленькой гири. Поэтому сила, тянущая вниз, у шара становится больше, и шар перевешивает: его конец коромысла опускается. В вакууме выталкивающей силы нет вовсе, и истинный вес шара оказывается больше веса гири, хотя в воздухе они уравновешивали друг друга.
Когда воздух откачивают, плотность воздуха под колоколом уменьшается, и архимедовы силы, действующие на оба тела, убывают. Но у большого шара она уменьшается сильнее (он вытеснял больше воздуха), чем у маленькой гири. Поэтому сила, тянущая вниз, у шара становится больше, и шар перевешивает: его конец коромысла опускается. В вакууме выталкивающей силы нет вовсе, и истинный вес шара оказывается больше веса гири, хотя в воздухе они уравновешивали друг друга.
Упражнение 31. Задача 6. Определите подъёмную силу наполненного водородом аэростата объёмом 1000 м³, оболочка которого весит 2000 Н.
Дано:
V = 1000 м³
P_об = 2000 Н
ρ_возд = 1,3 кг/м³
ρ_водорода = 0,09 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: F_подъёмная — ?
Решение:
Подъёмная сила равна разности архимедовой силы и суммы весов водорода и оболочки:
F_под = F_А − P_Н₂ − P_об.
Архимедова сила (вес вытесненного воздуха): F_А = ρ_возд·g·V = 1,3 кг/м³ · 10 Н/кг · 1000 м³ = 13 000 Н.
Вес водорода: P_Н₂ = ρ_Н₂·g·V = 0,09 кг/м³ · 10 Н/кг · 1000 м³ = 900 Н.
F_под = 13 000 Н − 900 Н − 2000 Н = 10 100 Н ≈ 10 кН.
Ответ: подъёмная сила аэростата примерно 10 кН (≈ 1·10⁴ Н).
V = 1000 м³
P_об = 2000 Н
ρ_возд = 1,3 кг/м³
ρ_водорода = 0,09 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: F_подъёмная — ?
Решение:
Подъёмная сила равна разности архимедовой силы и суммы весов водорода и оболочки:
F_под = F_А − P_Н₂ − P_об.
Архимедова сила (вес вытесненного воздуха): F_А = ρ_возд·g·V = 1,3 кг/м³ · 10 Н/кг · 1000 м³ = 13 000 Н.
Вес водорода: P_Н₂ = ρ_Н₂·g·V = 0,09 кг/м³ · 10 Н/кг · 1000 м³ = 900 Н.
F_под = 13 000 Н − 900 Н − 2000 Н = 10 100 Н ≈ 10 кН.
Ответ: подъёмная сила аэростата примерно 10 кН (≈ 1·10⁴ Н).
Упражнение 31. Задача 7. Определите объём воздушного шара, наполненного гелием, если подъёмная сила шара равна 240 Н.
Дано:
F_под = 240 Н
ρ_возд = 1,3 кг/м³
ρ_гелия = 0,18 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: V — ?
Решение:
Подъёмная сила шара (весом оболочки пренебрегаем) равна разности архимедовой силы и веса гелия:
F_под = ρ_возд·g·V − ρ_гелия·g·V = (ρ_возд − ρ_гелия)·g·V.
Отсюда V = F_под / ((ρ_возд − ρ_гелия)·g).
V = 240 Н / ((1,3 − 0,18) кг/м³ · 10 Н/кг) = 240 / 11,2 м³ ≈ 21,4 м³.
Ответ: V ≈ 21,4 м³.
Оговорка: плотности воздуха и гелия взяты округлённо (1,3 и 0,18 кг/м³); при других табличных значениях результат немного отличается.
F_под = 240 Н
ρ_возд = 1,3 кг/м³
ρ_гелия = 0,18 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: V — ?
Решение:
Подъёмная сила шара (весом оболочки пренебрегаем) равна разности архимедовой силы и веса гелия:
F_под = ρ_возд·g·V − ρ_гелия·g·V = (ρ_возд − ρ_гелия)·g·V.
Отсюда V = F_под / ((ρ_возд − ρ_гелия)·g).
V = 240 Н / ((1,3 − 0,18) кг/м³ · 10 Н/кг) = 240 / 11,2 м³ ≈ 21,4 м³.
Ответ: V ≈ 21,4 м³.
Оговорка: плотности воздуха и гелия взяты округлённо (1,3 и 0,18 кг/м³); при других табличных значениях результат немного отличается.
Упражнение 31. Задача 8*. В романе Ж. Верна описана подводная лодка «Наутилус» с просторными кабинетами, залами и каютой. Почему современные подводные лодки не обладают такими просторными помещениями?
Подводная лодка погружается и всплывает, меняя среднюю плотность, и под водой должна выдерживать огромное давление. Давление воды растёт с глубиной: p = ρ·g·h, на глубине 100 м оно около 10⁶ Па (10 атмосфер), а на сотнях метров ещё больше. Чтобы корпус не сплющило, его делают очень прочным: цилиндрической формы (так давление распределяется равномерно), с толстыми стальными стенками и с поперечными переборками и рёбрами жёсткости. Большие залы с широкими пролётами и плоскими перекрытиями такое давление не выдержали бы, потому что огромные плоские стены и потолки легко прогнутся. Кроме того, чем больше объём корпуса, тем больше водоизмещение и нужна более мощная энергетическая установка, а внутри размещаются торпедные аппараты, аккумуляторы или реактор, двигатели, балластные цистерны. Поэтому помещения современных подводных лодок тесные и разделены прочными переборками.
Задание 35. Пункт 1. Изготовьте модель корабля или лодки. Для этого возьмите пластиковую бутылку с закрытой крышкой. Определите, какой максимальный груз может принять «на борт» ваш «корабль».
Что нужно: пластиковая бутылка с крышкой (например, 0,5 л), широкая ёмкость с водой (таз, ванночка), мелкие грузы известной массы (монеты, металлические гайки, гирьки), весы или таблица масс монет.
Ход выполнения.
1) Ополоснуть бутылку, плотно закрыть крышкой. Аккуратно вырезать в боковой стенке бутылки широкое окно (отверстие для «груза»), оставив крышку закрытой. Окно нужно вырезать в верхней части бутылки, чтобы нижняя часть оставалась целой и вытесняла воду.
2) Налить в таз воды и положить «корабль» отверстием вверх. Бутылка плавает: сила тяжести уравновешена архимедовой силой.
3) Постепенно класть в «корабль» грузы (по одной монете или гайке), следя за тем, чтобы нижний край окна оставался над водой. Фиксировать момент, когда вода начинает заливать «корабль».
4) Записать общую массу груза, при которой судно ещё держится на воде, например 120 г.
Расчёт для проверки. Если масса пустой модели 20 г, а объём погружённой части до края окна около 140 см³ (0,00014 м³), то наибольшая архимедова сила F_А = ρ·g·V = 1000 · 10 · 0,00014 = 1,4 Н. Вес модели 0,2 Н, значит, максимальный вес груза 1,4 − 0,2 = 1,2 Н, то есть масса груза около 120 г.
Вывод: наибольший груз определяется водоизмещением: чем больший объём вытесняет «корабль» до предельной осадки, тем больше груз он принимает.
Оговорка: числовые значения зависят от размеров и формы бутылки и могут отличаться.
Ход выполнения.
1) Ополоснуть бутылку, плотно закрыть крышкой. Аккуратно вырезать в боковой стенке бутылки широкое окно (отверстие для «груза»), оставив крышку закрытой. Окно нужно вырезать в верхней части бутылки, чтобы нижняя часть оставалась целой и вытесняла воду.
2) Налить в таз воды и положить «корабль» отверстием вверх. Бутылка плавает: сила тяжести уравновешена архимедовой силой.
3) Постепенно класть в «корабль» грузы (по одной монете или гайке), следя за тем, чтобы нижний край окна оставался над водой. Фиксировать момент, когда вода начинает заливать «корабль».
4) Записать общую массу груза, при которой судно ещё держится на воде, например 120 г.
Расчёт для проверки. Если масса пустой модели 20 г, а объём погружённой части до края окна около 140 см³ (0,00014 м³), то наибольшая архимедова сила F_А = ρ·g·V = 1000 · 10 · 0,00014 = 1,4 Н. Вес модели 0,2 Н, значит, максимальный вес груза 1,4 − 0,2 = 1,2 Н, то есть масса груза около 120 г.
Вывод: наибольший груз определяется водоизмещением: чем больший объём вытесняет «корабль» до предельной осадки, тем больше груз он принимает.
Оговорка: числовые значения зависят от размеров и формы бутылки и могут отличаться.