Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. § 40. Сообщающиеся сосуды — с. 136
§ 40. Дополнительный вопрос 1. Используя рисунок 122, объясните, как работает шлюз.
[на рисунке 122: шлюз, судно в камере между воротами на разных уровнях воды]
[на рисунке 122: шлюз, судно в камере между воротами на разных уровнях воды]
Шлюз — это камера между верхним и нижним участками реки, отделённая от них воротами. Когда судно должно подняться вверх, в камеру из нижнего бьефа входит судно, ворота закрываются. Затем через водопропускные каналы в камеру впускают воду из верхнего бьефа. Камера и верхний бьеф являются сообщающимися сосудами, поэтому вода в камере поднимается до уровня верхнего бьефа вместе с судном. После выравнивания уровней открывают верхние ворота, и судно выходит на верхний участок реки. При спуске всё происходит наоборот: из камеры выпускают воду в нижний бьеф, уровень в камере понижается до уровня нижнего бьефа, открывают нижние ворота. Так суда обходят плотину гидроэлектростанции.
§ 40. Дополнительный вопрос 2. Что общего в принципе работы водопровода и шлюза?
Почему при малоэтажном строительстве напор воды на верхних этажах домов меньше, чем на нижних?
Общее: и водопровод, и шлюз основаны на законе сообщающихся сосудов. В водопроводе насос подаёт воду в водонапорную башню, расположенную выше домов; башня и трубы в домах — сообщающиеся сосуды, поэтому вода из кранов может бить вверх тем сильнее, чем ниже уровень крана относительно уровня воды в башне. В шлюзе камера и участки реки также сообщаются, и уровень воды выравнивается.
Напор на верхних этажах меньше, потому что давление воды в трубах определяется высотой столба воды от уровня воды в башне до крана: p = ρgh. Чем выше расположен кран, тем меньше h (расстояние от уровня в башне), поэтому давление и напор меньше. Например, при разнице высот 3 м (один этаж) давление отличается на ρgh = 1000 · 10 · 3 = 30 000 Па = 30 кПа.
Напор на верхних этажах меньше, потому что давление воды в трубах определяется высотой столба воды от уровня воды в башне до крана: p = ρgh. Чем выше расположен кран, тем меньше h (расстояние от уровня в башне), поэтому давление и напор меньше. Например, при разнице высот 3 м (один этаж) давление отличается на ρgh = 1000 · 10 · 3 = 30 000 Па = 30 кПа.
Упражнение 23. Задача 1. Будет ли уровень жидкостей одинаков, если в сосуды (см. рис. 121) налить ртуть, масло и воду?
[на рисунке 121: прибор из нескольких сообщающихся сосудов разной формы]
[на рисунке 121: прибор из нескольких сообщающихся сосудов разной формы]
Если налить в сосуды прибора разные жидкости, то уровни в них будут разными. Закон одинакового уровня справедлив только для однородной жидкости. Ртуть, масло и вода имеют разную плотность (13 600, 900 и 1000 кг/м³), а в сообщающихся сосудах давления жидкостей на уровне раздела равны: ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂. Значит, высота столба тем больше, чем меньше плотность. Столб масла будет самым высоким, воды — ниже в 1,1 раза, чем масла, а ртути — самым низким (в 15 раз ниже масла). Если же в каждый сосуд налить одну и ту же жидкость, уровни будут одинаковы. Кроме того, жидкости должны быть несмешивающимися и не взаимодействующими, иначе расположение будет другим.
Оговорка: в реальном приборе с тремя жидкостями слои могут располагаться по-разному в зависимости от порядка наливания; приведён общий вывод по закону сообщающихся сосудов.
Оговорка: в реальном приборе с тремя жидкостями слои могут располагаться по-разному в зависимости от порядка наливания; приведён общий вывод по закону сообщающихся сосудов.
Упражнение 23. Задача 2. Объясните, как работает водомерное стекло, показанное на рисунке 124. Подумайте, для чего используют водомерные стёкла.
[на рисунке 124: паровой котёл, сбоку соединённый двумя кранами с вертикальной стеклянной трубкой — водомерным стеклом; в котле вода внизу и пар вверху]
[на рисунке 124: паровой котёл, сбоку соединённый двумя кранами с вертикальной стеклянной трубкой — водомерным стеклом; в котле вода внизу и пар вверху]
Водомерное стекло — это вертикальная стеклянная трубка, соединённая нижним концом с водяным, а верхним с паровым пространством котла. Котёл и трубка представляют собой сообщающиеся сосуды, и вода в них стоит на одном уровне, поэтому по уровню воды в стекле можно судить об уровне воды в котле, который снаружи не виден. Краны нужны для включения, отключения и промывки трубки. Верхнее соединение с паровым пространством нужно, чтобы давление пара действовало на воду в стекле так же, как в котле. Водомерные стёкла применяют в паровых котлах, чтобы вовремя доливать воду: при падении уровня ниже допустимого котёл может перегреться и взорваться; также в баках с жидкостью, цистернах, отопительных системах.
Упражнение 23. Задача 3. Объясните действие артезианской скважины, изображённой в разрезе на рисунке 125. Слой 2 состоит из песка или другой породы, легко пропускающей воду. Слои 1 и 3, наоборот, водонепроницаемы.
[на рисунке 125: чашеобразно изогнутые пласты, наклонный водоносный слой 2 между непроницаемыми слоями 1 и 3; на возвышенности вода попадает в слой дождём, в низине пробурена скважина, из которой бьёт фонтан]
[на рисунке 125: чашеобразно изогнутые пласты, наклонный водоносный слой 2 между непроницаемыми слоями 1 и 3; на возвышенности вода попадает в слой дождём, в низине пробурена скважина, из которой бьёт фонтан]
Водоносный слой 2 зажат между водонепроницаемыми слоями 1 и 3 и изогнут в виде чаши. На возвышенности вода (дождей, снега) просачивается в слой 2 и заполняет его. Слой 2 с водой на возвышенности и скважина в низине — это сообщающиеся сосуды: вода в слое находится в замкнутом пространстве и стремится установиться на одном уровне с её уровнем на возвышенности. Давление воды в низине равно давлению столба высотой, равной разности высот между уровнем воды на возвышенности и точкой скважины: p = ρgh. Когда скважиной пробивают слой 1, вода под этим давлением поднимается по скважине и, если низина ниже уровня питающей области, бьёт фонтаном без помощи насоса. Именно так получают артезианские воды.
Упражнение 23. Задача 4. Используя формулу для определения давления столба жидкости p = ρgh, докажите, что в сообщающихся сосудах отношение высот столбов жидкости с разными плотностями (см. рис. 123) равно обратному отношению плотностей.
[на рисунке 123: U-образная трубка, в левом колене керосин, в правом вода; уровень AB — граница раздела жидкостей; столб керосина выше столба воды]
[на рисунке 123: U-образная трубка, в левом колене керосин, в правом вода; уровень AB — граница раздела жидкостей; столб керосина выше столба воды]
Дано: жидкости с плотностями ρ₁ и ρ₂ в сообщающихся сосудах (керосин и вода); h₁ и h₂ — высоты столбов над уровнем AB границы раздела.
Доказать: h₁/h₂ = ρ₂/ρ₁.
Доказательство:
Жидкости покоятся и не перетекают, поэтому давления столбов на уровне AB равны: p₁ = p₂.
Давление столба керосина p₁ = ρ₁gh₁, давление столба воды p₂ = ρ₂gh₂.
Из равенства ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂ сокращаем g: ρ₁h₁ = ρ₂h₂.
Отсюда h₁/h₂ = ρ₂/ρ₁, то есть отношение высот равно обратному отношению плотностей. Что и требовалось доказать.
Проверка числами: ρ₁ = 800 кг/м³ (керосин), ρ₂ = 1000 кг/м³ (вода): h₁/h₂ = 1000/800 = 1,25. Если высота столба воды 8 см, то столб керосина 10 см.
Доказать: h₁/h₂ = ρ₂/ρ₁.
Доказательство:
Жидкости покоятся и не перетекают, поэтому давления столбов на уровне AB равны: p₁ = p₂.
Давление столба керосина p₁ = ρ₁gh₁, давление столба воды p₂ = ρ₂gh₂.
Из равенства ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂ сокращаем g: ρ₁h₁ = ρ₂h₂.
Отсюда h₁/h₂ = ρ₂/ρ₁, то есть отношение высот равно обратному отношению плотностей. Что и требовалось доказать.
Проверка числами: ρ₁ = 800 кг/м³ (керосин), ρ₂ = 1000 кг/м³ (вода): h₁/h₂ = 1000/800 = 1,25. Если высота столба воды 8 см, то столб керосина 10 см.
Упражнение 23. Задача 5. Изменится ли расположение жидкости (см. рис. 119), если поменять размер или форму одной из трубок?
Расположение жидкости не изменится: уровни по-прежнему будут одинаковыми. В сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне независимо от формы и размеров сосудов. Равновесие определяется равенством давлений на одном уровне: ρgh₁ = ρgh₂, откуда h₁ = h₂. В это равенство не входят ни площадь сечения, ни форма трубки. Если одну трубку сделать шире или изогнуть, то объём воды в ней станет другим, но высота столба, а значит, и давление на нижнем уровне, останутся прежними. Поэтому уровни в обеих трубках по-прежнему будут на одной высоте (при условии, что трубки достаточно широкие, чтобы не проявлялось поверхностное натяжение).
Упражнение 23. Задача 6*. В два сосуда налито разное количество воды (рис. 126). В каком сосуде давление воды на дно больше и на сколько, если h₁ = 48 см, а h₂ = 14 см?
Какой уровень воды установится в сосудах после того, как кран откроют, если диаметры сосудов различаются в 4 раза?
[на рисунке 126: слева узкий сосуд с высотой столба воды h₁, справа широкий сосуд с высотой столба воды h₂, внизу соединены трубкой с краном]
[на рисунке 126: слева узкий сосуд с высотой столба воды h₁, справа широкий сосуд с высотой столба воды h₂, внизу соединены трубкой с краном]
Дано:
h₁ = 48 см = 0,48 м
h₂ = 14 см = 0,14 м
d₁ : d₂ = 1 : 4
ρ = 1000 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: Δp — ?; h — ?
Решение:
1) Давление воды на дно:
p₁ = ρgh₁ = 1000 · 10 · 0,48 = 4800 Па;
p₂ = ρgh₂ = 1000 · 10 · 0,14 = 1400 Па.
Больше давление в первом сосуде (узком), оно больше на
Δp = p₁ − p₂ = ρg(h₁ − h₂) = 1000 · 10 · 0,34 = 3400 Па.
2) После открытия крана вода перетекает из первого сосуда во второй, пока уровни не сравняются (сообщающиеся сосуды). Диаметры различаются в 4 раза, значит, площади сечений различаются в 4² = 16 раз: S₂ = 16S₁. Объём воды не меняется:
S₁h₁ + S₂h₂ = (S₁ + S₂)h,
S₁ · 48 + 16S₁ · 14 = 17S₁ · h,
h = (48 + 224)/17 = 272/17 = 16 см = 0,16 м.
Ответ: давление больше в первом сосуде на 3400 Па; уровень установится на высоте 0,16 м (16 см).
h₁ = 48 см = 0,48 м
h₂ = 14 см = 0,14 м
d₁ : d₂ = 1 : 4
ρ = 1000 кг/м³
g = 10 Н/кг
Найти: Δp — ?; h — ?
Решение:
1) Давление воды на дно:
p₁ = ρgh₁ = 1000 · 10 · 0,48 = 4800 Па;
p₂ = ρgh₂ = 1000 · 10 · 0,14 = 1400 Па.
Больше давление в первом сосуде (узком), оно больше на
Δp = p₁ − p₂ = ρg(h₁ − h₂) = 1000 · 10 · 0,34 = 3400 Па.
2) После открытия крана вода перетекает из первого сосуда во второй, пока уровни не сравняются (сообщающиеся сосуды). Диаметры различаются в 4 раза, значит, площади сечений различаются в 4² = 16 раз: S₂ = 16S₁. Объём воды не меняется:
S₁h₁ + S₂h₂ = (S₁ + S₂)h,
S₁ · 48 + 16S₁ · 14 = 17S₁ · h,
h = (48 + 224)/17 = 272/17 = 16 см = 0,16 м.
Ответ: давление больше в первом сосуде на 3400 Па; уровень установится на высоте 0,16 м (16 см).
Задание 29. Изготовьте модель фонтана.
Материалы: две пластиковые бутылки (1,5 л), гибкая прозрачная трубка длиной около 60 см (подойдёт трубка от капельницы), пластилин, шило, ёмкость с водой, штатив или стопка книг.
Ход работы.
1. В пробке одной бутылки (бутылка 1, «верхний бак») проделываем отверстие шилом и вставляем конец трубки, место соединения герметично промазываем пластилином.
2. Другой конец трубки пропускаем через пробку или край другой бутылки (бутылка 2, «чаша фонтана»): в нижней части её боковой стенки делаем отверстие и вставляем в него трубку, также уплотняем пластилином. Верхний конец трубки внутри бутылки 2 должен выходить вертикально вверх и быть сужен (нагреть и вытянуть кончик трубки или вставить кончик пипетки), чтобы получилось сопло.
3. Бутылку 1 наполняем водой, закрываем пробкой с трубкой (или оставляем открытой, если трубка вставлена снизу), поднимаем на высоту около 50—60 см над бутылкой 2 с помощью стопки книг или штатива.
4. Вода из бутылки 1 по трубке поступает к соплу и бьёт вверх из бутылки 2; стекая, она собирается в бутылке 2, которую периодически опорожняем.
Результат. Струя поднимается примерно на 30—40 см, то есть почти до уровня воды в верхней бутылке; чем выше поднят бак, тем выше фонтан.
Объяснение. Верхний бак и сопло — сообщающиеся сосуды. Давление воды у сопла p = ρgh, где h — разность уровней воды в баке и в сопле. Под этим давлением вода выталкивается вверх и стремится подняться на высоту уровня в баке, но из-за трения в трубке и сопротивления воздуха поднимается несколько ниже. По мере вытекания воды уровень в баке падает, и фонтан ослабевает.
Оговорка: высота струи зависит от размеров конструкции и диаметра сопла.
Ход работы.
1. В пробке одной бутылки (бутылка 1, «верхний бак») проделываем отверстие шилом и вставляем конец трубки, место соединения герметично промазываем пластилином.
2. Другой конец трубки пропускаем через пробку или край другой бутылки (бутылка 2, «чаша фонтана»): в нижней части её боковой стенки делаем отверстие и вставляем в него трубку, также уплотняем пластилином. Верхний конец трубки внутри бутылки 2 должен выходить вертикально вверх и быть сужен (нагреть и вытянуть кончик трубки или вставить кончик пипетки), чтобы получилось сопло.
3. Бутылку 1 наполняем водой, закрываем пробкой с трубкой (или оставляем открытой, если трубка вставлена снизу), поднимаем на высоту около 50—60 см над бутылкой 2 с помощью стопки книг или штатива.
4. Вода из бутылки 1 по трубке поступает к соплу и бьёт вверх из бутылки 2; стекая, она собирается в бутылке 2, которую периодически опорожняем.
Результат. Струя поднимается примерно на 30—40 см, то есть почти до уровня воды в верхней бутылке; чем выше поднят бак, тем выше фонтан.
Объяснение. Верхний бак и сопло — сообщающиеся сосуды. Давление воды у сопла p = ρgh, где h — разность уровней воды в баке и в сопле. Под этим давлением вода выталкивается вверх и стремится подняться на высоту уровня в баке, но из-за трения в трубке и сопротивления воздуха поднимается несколько ниже. По мере вытекания воды уровень в баке падает, и фонтан ослабевает.
Оговорка: высота струи зависит от размеров конструкции и диаметра сопла.