Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. § 39. Расчёт давления жидкости на дно и стенки сосуда — с. 132
Упражнение 22. Задача 3. В ёмкости, наполненной нефтью до верха, на расстоянии 140 см от крышки имеется кран (рис. 116). Определите давление на кран.
[на рисунке: цилиндрическая закрытая ёмкость с краном на боковой стенке вблизи нижней части]
[на рисунке: цилиндрическая закрытая ёмкость с краном на боковой стенке вблизи нижней части]
Дано:
h = 140 см = 1,4 м
ρ = 800 кг/м³ (плотность нефти по таблице)
g = 10 Н/кг
Найти: p — ?
Решение:
Ёмкость заполнена нефтью до верха, поэтому глубина крана равна расстоянию от крышки: h = 1,4 м.
p = ρgh = 800 кг/м³ · 10 Н/кг · 1,4 м = 11 200 Па = 1,12 · 10⁴ Па.
Ответ: p ≈ 11,2 кПа.
h = 140 см = 1,4 м
ρ = 800 кг/м³ (плотность нефти по таблице)
g = 10 Н/кг
Найти: p — ?
Решение:
Ёмкость заполнена нефтью до верха, поэтому глубина крана равна расстоянию от крышки: h = 1,4 м.
p = ρgh = 800 кг/м³ · 10 Н/кг · 1,4 м = 11 200 Па = 1,12 · 10⁴ Па.
Ответ: p ≈ 11,2 кПа.
Упражнение 22. Задача 4*. Сосуд, имеющий форму, показанную на рисунке 117, заполнен водой. Рассчитайте давление на каждую из четырёх пробок.
[на рисунке: сосуд заполнен водой до верха (высота 2 м); пробка 1 в потолке левой выступающей части на глубине 1 м; пробка 2 в потолке правой выступающей части на глубине 1,5 м; пробки 3 и 4 в дне на глубине 2 м]
[на рисунке: сосуд заполнен водой до верха (высота 2 м); пробка 1 в потолке левой выступающей части на глубине 1 м; пробка 2 в потолке правой выступающей части на глубине 1,5 м; пробки 3 и 4 в дне на глубине 2 м]
Дано:
ρ = 1000 кг/м³
g = 10 Н/кг
h₁ = 1 м, h₂ = 1,5 м, h₃ = h₄ = 2 м (глубины отсчитываются от верхнего уровня воды)
Найти: p₁, p₂, p₃, p₄ — ?
Решение:
Давление в жидкости зависит только от глубины точки (p = ρgh), а не от формы сосуда и направления поверхности пробки.
p₁ = 1000 · 10 · 1 = 10 000 Па = 1 · 10⁴ Па;
p₂ = 1000 · 10 · 1,5 = 15 000 Па = 1,5 · 10⁴ Па;
p₃ = p₄ = 1000 · 10 · 2 = 20 000 Па = 2 · 10⁴ Па.
Ответ: p₁ = 10 кПа; p₂ = 15 кПа; p₃ = p₄ = 20 кПа.
ρ = 1000 кг/м³
g = 10 Н/кг
h₁ = 1 м, h₂ = 1,5 м, h₃ = h₄ = 2 м (глубины отсчитываются от верхнего уровня воды)
Найти: p₁, p₂, p₃, p₄ — ?
Решение:
Давление в жидкости зависит только от глубины точки (p = ρgh), а не от формы сосуда и направления поверхности пробки.
p₁ = 1000 · 10 · 1 = 10 000 Па = 1 · 10⁴ Па;
p₂ = 1000 · 10 · 1,5 = 15 000 Па = 1,5 · 10⁴ Па;
p₃ = p₄ = 1000 · 10 · 2 = 20 000 Па = 2 · 10⁴ Па.
Ответ: p₁ = 10 кПа; p₂ = 15 кПа; p₃ = p₄ = 20 кПа.
Упражнение 22. Задача 5. В сосуд налиты две несмешивающиеся жидкости, одна поверх другой. Высота каждого слоя 3 см. Найдите давление жидкости на расстоянии 2 см от дна сосуда, если внизу находится вода, а сверху — машинное масло.
Дано:
h₁ = 3 см = 0,03 м (слой масла)
h₂ = 3 см − 2 см = 1 см = 0,01 м (слой воды выше точки)
ρ₁ = 900 кг/м³ (машинное масло)
ρ₂ = 1000 кг/м³ (вода)
g = 10 Н/кг
Найти: p — ?
Решение:
Вода слоем 3 см лежит на дне, точка находится на 2 см выше дна, то есть на 1 см ниже границы раздела жидкостей. Над точкой расположены 3 см масла и 1 см воды. Давление в точке равно сумме давлений этих слоёв:
p = ρ₁gh₁ + ρ₂gh₂ = 900 · 10 · 0,03 + 1000 · 10 · 0,01 = 270 + 100 = 370 Па.
Ответ: p = 370 Па.
h₁ = 3 см = 0,03 м (слой масла)
h₂ = 3 см − 2 см = 1 см = 0,01 м (слой воды выше точки)
ρ₁ = 900 кг/м³ (машинное масло)
ρ₂ = 1000 кг/м³ (вода)
g = 10 Н/кг
Найти: p — ?
Решение:
Вода слоем 3 см лежит на дне, точка находится на 2 см выше дна, то есть на 1 см ниже границы раздела жидкостей. Над точкой расположены 3 см масла и 1 см воды. Давление в точке равно сумме давлений этих слоёв:
p = ρ₁gh₁ + ρ₂gh₂ = 900 · 10 · 0,03 + 1000 · 10 · 0,01 = 270 + 100 = 370 Па.
Ответ: p = 370 Па.
Задание 28. Пункт 1. Возьмите пластиковую бутылку объёмом 1,5—2 л (или высокий сосуд). На одной вертикали проткните несколько отверстий. Заполните бутылку водой. Наблюдайте за вытекающими струями. Зарисуйте или сфотографируйте наблюдаемую картину. Объясните её.
Ход опыта. Бутылку ставим на край стола или в раковину и прокалываем в боковой стенке три отверстия одинакового размера, одно над другим, например на глубинах 6, 12 и 18 см от уровня воды (уровень поддерживаем, доливая воду; отверстия на время заклеиваем пальцем или скотчем). Заполняем бутылку на 24 см, убираем скотч и наблюдаем.
Наблюдение (рисунок): из каждого отверстия вытекает струя, изгибающаяся вниз. В начале каждой струи вода вылетает горизонтально; чем ниже отверстие, тем больше начальная скорость струи и тем сильнее она «бьёт»: расчёт по формуле v = √(2gh) даёт при h = 6, 12, 18 см скорости около 1,1; 1,5 и 1,9 м/с. Дальность падения на стол при высоте слоя воды 24 см: верхняя струя около 21 см, средняя около 24 см, нижняя около 21 см (самая дальняя у среднего отверстия, так как нижняя струя падает с малой высоты).
Объяснение. Давление жидкости p = ρgh растёт с глубиной. На нижнем отверстии давление воды на стенку больше, поэтому вода выталкивается из него с большей скоростью. По закону Паскаля давление в жидкости передаётся по всем направлениям, в том числе на боковую стенку, поэтому струи бьют в стороны. По мере вытекания уровень воды снижается, давление уменьшается и струи слабеют.
Оговорка: числовые значения приведены для типичных размеров и зависят от диаметра отверстий и уровня воды.
Наблюдение (рисунок): из каждого отверстия вытекает струя, изгибающаяся вниз. В начале каждой струи вода вылетает горизонтально; чем ниже отверстие, тем больше начальная скорость струи и тем сильнее она «бьёт»: расчёт по формуле v = √(2gh) даёт при h = 6, 12, 18 см скорости около 1,1; 1,5 и 1,9 м/с. Дальность падения на стол при высоте слоя воды 24 см: верхняя струя около 21 см, средняя около 24 см, нижняя около 21 см (самая дальняя у среднего отверстия, так как нижняя струя падает с малой высоты).
Объяснение. Давление жидкости p = ρgh растёт с глубиной. На нижнем отверстии давление воды на стенку больше, поэтому вода выталкивается из него с большей скоростью. По закону Паскаля давление в жидкости передаётся по всем направлениям, в том числе на боковую стенку, поэтому струи бьют в стороны. По мере вытекания уровень воды снижается, давление уменьшается и струи слабеют.
Оговорка: числовые значения приведены для типичных размеров и зависят от диаметра отверстий и уровня воды.
Задание 28. Пункт 2. Возьмите пластиковую бутылку. Отрежьте её дно и отвинтите крышку. По диаметру горлышка вырежьте кружочек из плотной бумаги или тонкого картона. Через центр кружочка проденьте нить с узелком на конце. Длина нити должна быть больше высоты бутылки. Нить пропустите через бутылку. Удерживая кружок прижатым к горлышку с помощью нити, опустите бутылку в воду, горлышком вниз. Отпустите нить. Вы заметите, что кружок удерживается на месте за счёт давления воды снизу. Тонкой струёй по стенке наливайте воду в бутылку, не меняя её положения. Заметьте, при какой высоте столба воды в бутылке кружок отпадёт от неё. Что демонстрирует этот опыт?
Ход выполнения. Бутылку без дна опускаем горлышком вниз в широкий сосуд с водой так, чтобы кружок, прижатый нитью к горлышку, оказался на глубине около 10 см. Отпускаем нить: кружок не падает, его снизу прижимает вода. Затем осторожно наливаем воду в бутылку по стенке. Кружок отпадает, когда уровень воды внутри бутылки становится почти равным уровню воды в большом сосуде, то есть высота столба в бутылке достигает примерно 10 см (в опыте обычно 10—11 см; небольшая разница возникает из-за веса кружка и неточности отсчёта). Если поднять бутылку, глубина кружка уменьшится, и он отпадёт при меньшей высоте столба.
Объяснение. Снизу на кружок давит вода сосуда: p₁ = ρgh₁, где h₁ — глубина кружка. Сверху давит вода из бутылки: p₂ = ρgh₂, где h₂ — высота налитого столба. Пока p₁ > p₂, кружок прижат. При h₂ = h₁ давления уравниваются и кружок отпадает.
Вывод. Опыт показывает, что давление жидкости на данной глубине зависит только от плотности жидкости и глубины (p = ρgh), одинаково на любой глубине во всех направлениях (в том числе снизу вверх), и не зависит от формы сосуда: давление определяется высотой столба, а не количеством воды.
Оговорка: глубина погружения в опыте выбирается произвольно, указанные числа типичные.
Объяснение. Снизу на кружок давит вода сосуда: p₁ = ρgh₁, где h₁ — глубина кружка. Сверху давит вода из бутылки: p₂ = ρgh₂, где h₂ — высота налитого столба. Пока p₁ > p₂, кружок прижат. При h₂ = h₁ давления уравниваются и кружок отпадает.
Вывод. Опыт показывает, что давление жидкости на данной глубине зависит только от плотности жидкости и глубины (p = ρgh), одинаково на любой глубине во всех направлениях (в том числе снизу вверх), и не зависит от формы сосуда: давление определяется высотой столба, а не количеством воды.
Оговорка: глубина погружения в опыте выбирается произвольно, указанные числа типичные.