Глава II. §4. п.12 Что такое функция — с. 57
261. По озеру плавала яхта. Расстояние s (в километрах), на которое удалялась яхта от базы, менялось с течением времени движения t (в минутах). Изменение s в зависимости от t показано на рисунке 19. На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин; через 1 ч 20 мин; через 2 ч 30 мин?
Какова область определения рассматриваемой функции? [рисунок 19: график s(t); по оси t — минуты, по оси s — километры]
Переведём время в минуты: 1 ч 20 мин = 80 мин, 2 ч 30 мин = 150 мин. Для каждого значения t находим на графике точку и читаем её ординату.
t = 20 мин: s = 4 км.
t = 80 мин: s = 9 км.
t = 150 мин: s = 0, яхта вернулась на базу.
График начинается в точке t = 0 и заканчивается в точке t = 150, поэтому область определения — все значения t от 0 до 150 минут: 0 ≤ t ≤ 150.
Ответ: 4 км; 9 км; 0 км; 0 ≤ t ≤ 150.
t = 20 мин: s = 4 км.
t = 80 мин: s = 9 км.
t = 150 мин: s = 0, яхта вернулась на базу.
График начинается в точке t = 0 и заканчивается в точке t = 150, поэтому область определения — все значения t от 0 до 150 минут: 0 ≤ t ≤ 150.
Ответ: 4 км; 9 км; 0 км; 0 ≤ t ≤ 150.
262. На рисунке 20 показано изменение высоты сосны y (в метрах) в зависимости от её возраста x (в годах). Найдите: а) высоту сосны в возрасте 10; 40; 90; 120 лет; б) на сколько выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет; от 70 до 120 лет. [рисунок 20: график y(x)]
Значения читаем по графику: от нужной точки оси x поднимаемся до кривой и смотрим на ось y.
а) В 10 лет высота около 5 м; в 40 лет — около 17,5 м; в 90 лет — около 27,5 м; в 120 лет — 30 м.
б) В 20 лет высота 10 м, в 60 лет — около 22,5 м: сосна выросла примерно на 22,5 − 10 = 12,5 м. В 70 лет высота около 25 м, в 120 лет — 30 м: рост 30 − 25 = 5 м.
Ответ: а) ≈ 5 м; ≈ 17,5 м; ≈ 27,5 м; 30 м; б) ≈ 12,5 м; ≈ 5 м.
Оговорка: значения сняты с графика приближённо.
а) В 10 лет высота около 5 м; в 40 лет — около 17,5 м; в 90 лет — около 27,5 м; в 120 лет — 30 м.
б) В 20 лет высота 10 м, в 60 лет — около 22,5 м: сосна выросла примерно на 22,5 − 10 = 12,5 м. В 70 лет высота около 25 м, в 120 лет — 30 м: рост 30 − 25 = 5 м.
Ответ: а) ≈ 5 м; ≈ 17,5 м; ≈ 27,5 м; 30 м; б) ≈ 12,5 м; ≈ 5 м.
Оговорка: значения сняты с графика приближённо.
263. Каждому натуральному числу n ставится в соответствие остаток r от деления этого числа на 4. а) Найдите r, если n равно 13, 34, 43, 100. б) В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент. в) Какова область определения этой функции? г) Какие числа служат значениями функции?
а) 13 = 4·3 + 1, r = 1. 34 = 4·8 + 2, r = 2. 43 = 4·10 + 3, r = 3. 100 = 4·25, r = 0.
б) Аргумент — натуральное число n (независимая переменная); r — функция от n.
в) Область определения — все натуральные числа.
г) Остаток от деления на 4 меньше 4 и неотрицателен, поэтому значениями функции служат числа 0, 1, 2, 3.
Ответ: а) 1; 2; 3; 0; б) n; в) все натуральные числа; г) 0, 1, 2, 3.
б) Аргумент — натуральное число n (независимая переменная); r — функция от n.
в) Область определения — все натуральные числа.
г) Остаток от деления на 4 меньше 4 и неотрицателен, поэтому значениями функции служат числа 0, 1, 2, 3.
Ответ: а) 1; 2; 3; 0; б) n; в) все натуральные числа; г) 0, 1, 2, 3.