Глава I. §1. п.3 Выражения с переменными — с. 18
55. Прочитайте, пользуясь терминами «сумма», «разность», «произведение» и «частное», выражение: а) mx; б) 10 + ab; в) (a + 5)x; г) m − 8a; д) 2x + 1; е) a/b + c; ж) ab + bc; з) (a − b)(a + b).
а) произведение чисел m и x.
б) сумма числа 10 и произведения a и b.
в) произведение суммы чисел a и 5 и числа x.
г) разность числа m и произведения 8 и a.
д) сумма произведения 2 и x и числа 1.
е) сумма частного a и b и числа c.
ж) сумма произведения a и b и произведения b и c.
з) произведение разности чисел a и b и суммы чисел a и b.
б) сумма числа 10 и произведения a и b.
в) произведение суммы чисел a и 5 и числа x.
г) разность числа m и произведения 8 и a.
д) сумма произведения 2 и x и числа 1.
е) сумма частного a и b и числа c.
ж) сумма произведения a и b и произведения b и c.
з) произведение разности чисел a и b и суммы чисел a и b.
56. Запишите в виде выражения: а) сумму чисел b и c; б) разность чисел a и m; в) квадрат числа x; г) куб числа y; д) сумму числа x и произведения чисел a и b; е) разность числа m и частного чисел x и y; ж) произведение суммы чисел a и b и числа c; з) произведение числа a и суммы чисел x и y.
а) b + c.
б) a − m.
в) x².
г) y³.
д) x + ab.
е) m − x/y.
ж) (a + b)c.
з) a(x + y).
б) a − m.
в) x².
г) y³.
д) x + ab.
е) m − x/y.
ж) (a + b)c.
з) a(x + y).
57. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) 5y + 2; б) 18/y; в) 1/(x − 7); г) (m − 1)/4; д) 7a/(3 + a); е) 2b/(10 − b)?
Выражение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю.
а) 5y + 2 — при любом y.
б) 18/y — при y ≠ 0.
в) x − 7 ≠ 0, то есть при x ≠ 7.
г) знаменатель 4 ≠ 0 — при любом m.
д) 3 + a ≠ 0, то есть при a ≠ −3.
е) 10 − b ≠ 0, то есть при b ≠ 10.
а) 5y + 2 — при любом y.
б) 18/y — при y ≠ 0.
в) x − 7 ≠ 0, то есть при x ≠ 7.
г) знаменатель 4 ≠ 0 — при любом m.
д) 3 + a ≠ 0, то есть при a ≠ −3.
е) 10 − b ≠ 0, то есть при b ≠ 10.
58. Какое из выражений 14/a², 14/(a² + 1) или 14/(a² − 1) имеет смысл при любом значении a?
Дробь имеет смысл, если знаменатель не равен нулю.
14/a²: при a = 0 знаменатель равен 0 — смысла нет.
14/(a² + 1): a² ≥ 0, поэтому a² + 1 ≥ 1 > 0 при любом a — смысл есть всегда.
14/(a² − 1): при a = 1 или a = −1 знаменатель равен 0 — смысла нет.
Ответ: 14/(a² + 1).
14/a²: при a = 0 знаменатель равен 0 — смысла нет.
14/(a² + 1): a² ≥ 0, поэтому a² + 1 ≥ 1 > 0 при любом a — смысл есть всегда.
14/(a² − 1): при a = 1 или a = −1 знаменатель равен 0 — смысла нет.
Ответ: 14/(a² + 1).
59. Составьте формулу числа: а) кратного 5; б) кратного 10; в) кратного 101.
Число, кратное k, имеет вид kn, где n — целое число.
а) m = 5n.
б) m = 10n.
в) m = 101n.
В каждом случае n — целое число.
а) m = 5n.
б) m = 10n.
в) m = 101n.
В каждом случае n — целое число.
60. Напишите формулу числа, кратного 7. Найдите по этой формуле два трёхзначных числа, кратных 7.
Формула: m = 7n, где n — целое число.
Трёхзначные числа получаем при подходящих n: при n = 15 имеем 7 · 15 = 105; при n = 20 имеем 7 · 20 = 140.
Ответ: m = 7n; например, 105 и 140.
Трёхзначные числа получаем при подходящих n: при n = 15 имеем 7 · 15 = 105; при n = 20 имеем 7 · 20 = 140.
Ответ: m = 7n; например, 105 и 140.
61. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.
1. Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
2. Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3. Проведите доказательство.
1) Примеры. Третий десяток: 23 + 1 = 24 делится на 6; 29 + 1 = 30 делится на 6. Седьмой десяток: 61 − 1 = 60 делится на 6; 67 − 1 = 66 делится на 6.
2) Число 6 = 2 · 3. Поэтому нужно показать, что одно из чисел p − 1 и p + 1 делится и на 2, и на 3.
3) Доказательство. Пусть p — простое число, p ≥ 5. Оно нечётно, поэтому p − 1 и p + 1 — чётные числа. Из трёх подряд идущих чисел p − 1, p, p + 1 ровно одно делится на 3. Число p простое и больше 3, на 3 не делится, значит, на 3 делится p − 1 или p + 1. Это число чётное и кратное 3, а значит, кратно 6, так как 2 и 3 взаимно просты. Что и требовалось доказать.
2) Число 6 = 2 · 3. Поэтому нужно показать, что одно из чисел p − 1 и p + 1 делится и на 2, и на 3.
3) Доказательство. Пусть p — простое число, p ≥ 5. Оно нечётно, поэтому p − 1 и p + 1 — чётные числа. Из трёх подряд идущих чисел p − 1, p, p + 1 ровно одно делится на 3. Число p простое и больше 3, на 3 не делится, значит, на 3 делится p − 1 или p + 1. Это число чётное и кратное 3, а значит, кратно 6, так как 2 и 3 взаимно просты. Что и требовалось доказать.
62. Найдите число, если известно, что: а) 3% этого числа равны 1,8; б) 85% этого числа равны 17; в) 130% этого числа равны 3,9; г) 6,2% этого числа равны 9,3.
Число находим делением значения на дробь, соответствующую процентам.
а) 1,8 : 0,03 = 60.
б) 17 : 0,85 = 20.
в) 3,9 : 1,3 = 3.
г) 9,3 : 0,062 = 9300 : 62 = 150.
а) 1,8 : 0,03 = 60.
б) 17 : 0,85 = 20.
в) 3,9 : 1,3 = 3.
г) 9,3 : 0,062 = 9300 : 62 = 150.
63. После того как из бидона отлили 30% молока, в нём осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?
Осталось 100% − 30% = 70% первоначального количества, это 14 л.
14 : 0,7 = 20 (л).
Ответ: 20 л.
14 : 0,7 = 20 (л).
Ответ: 20 л.