9. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю — с. 62
2.130. а) Каким должен быть знаменатель обыкновенной дроби, чтобы её можно было представить в виде десятичной? б) Какие дроби можно представить в виде десятичной дроби: 3/5, 12/25, 1/3, 7/12, 11/15, 6/24?
а) Несократимую дробь можно записать конечной десятичной дробью, если в разложении её знаменателя на простые множители есть только 2 и 5 (тогда знаменатель можно превратить в 10, 100, 1000 …). б) 3/5 (знаменатель 5) — можно: 0,6. 12/25 (25 = 5²) — можно: 0,48. 1/3 — нельзя (в знаменателе 3). 7/12 (12 = 2² · 3) — нельзя. 11/15 (15 = 3 · 5) — нельзя. 6/24 = 1/4 — можно: 0,25. Ответ: 3/5, 12/25, 6/24.
2.131. Запишите в виде десятичной дроби: а) 2/4, 2/5, 30/50; б) 1/4, 17/20, 9/25, 49/50; в) 3/8, 13/125, 161/250, 173/500.
Домножаем числитель и знаменатель до знаменателя 10, 100 или 1000. а) 2/4 = 1/2 = 0,5; 2/5 = 4/10 = 0,4; 30/50 = 6/10 = 0,6. б) 1/4 = 25/100 = 0,25; 17/20 = 85/100 = 0,85; 9/25 = 36/100 = 0,36; 49/50 = 98/100 = 0,98. в) 3/8 = 375/1000 = 0,375; 13/125 = 104/1000 = 0,104; 161/250 = 644/1000 = 0,644; 173/500 = 346/1000 = 0,346.
2.132. Запишите в виде: а) десятичной дроби 3/4, 7/50, 13/25, 1/8, 17/250, 101/200; б) обыкновенной несократимой дроби 0,3; 0,5; 0,25; 0,28; 0,45; 0,80; 0,04; 0,125; 0,25; 0,75; 0,765.
а) 3/4 = 0,75; 7/50 = 14/100 = 0,14; 13/25 = 52/100 = 0,52; 1/8 = 125/1000 = 0,125; 17/250 = 68/1000 = 0,068; 101/200 = 505/1000 = 0,505. б) 0,3 = 3/10; 0,5 = 1/2; 0,25 = 1/4; 0,28 = 28/100 = 7/25; 0,45 = 45/100 = 9/20; 0,80 = 80/100 = 4/5; 0,04 = 4/100 = 1/25; 0,125 = 125/1000 = 1/8; 0,25 = 1/4; 0,75 = 3/4; 0,765 = 765/1000 = 153/200.
2.133. Даны углы, равные 30°, 45°, 60°. Какую часть прямого угла составляют эти углы?
Прямой угол равен 90°. 30° : 90° = 1/3 прямого угла; 45° : 90° = 1/2; 60° : 90° = 2/3. Ответ: 1/3, 1/2 и 2/3 прямого угла.
2.134. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: а) 7/16 и 3/8; б) 9/20 и 21/60; в) 14/75 и 13/30; г) 17/20 и 7/25; д) 12/55 и 17/22; е) 25/42 и 55/147; ж) 13/750 и 7/450; з) 21/225 и 14/375.
Находим НОК знаменателей и дополнительные множители. а) НОК (16, 8) = 16: 7/16 и 6/16. б) НОК (20, 60) = 60: 27/60 и 21/60. в) НОК (75, 30) = 150: 28/150 и 65/150. г) НОК (20, 25) = 100: 85/100 и 28/100. д) НОК (55, 22) = 110: 24/110 и 85/110. е) 42 = 2 · 3 · 7, 147 = 3 · 7²; НОК = 2 · 3 · 7² = 294: 175/294 и 110/294. ж) 750 = 2 · 3 · 5³, 450 = 2 · 3² · 5²; НОК = 2 · 3² · 5³ = 2250: 39/2250 и 35/2250. з) 225 = 3² · 5², 375 = 3 · 5³; НОК = 3² · 5³ = 1125: 105/1125 и 42/1125.
2.135. Вычислите. а) 14 + 0,8; : 4; − 0,7; · 1,5. б) 3 − 0,5; : 0,5; + 2,1; · 3. в) 39 · 0,02; : 3,9; · 50; − 0,7; : 3. г) 4 : 0,5; · 1,2; − 5,2; : 0,4; − 6,7. д) 3 − 2,4; : 0,5; + 3,8; · 0,6; : 0,2.
а) 14,8; 3,7; 3; 4,5. б) 2,5; 5; 7,1; 21,3. в) 0,78; 0,2; 10; 9,3; 3,1. г) 8; 9,6; 4,4; 11; 4,3. д) 0,6; 1,2; 5; 3;
15. Ответ: а) 4,5; б) 21,3; в) 3,1; г) 4,3; д) 15.
2.136. Найдите число по схеме алгоритма, если x = 27; x = 45; x = 72. (Схема: x → : 9 → + 28 → вопрос «чётное число?»; если да: : 2 → + 47 → · 10; если нет: + 27 → : 2 → · 4.)
Сначала по общей части: x : 9, затем + 28, потом проверка на чётность. x = 27: 27 : 9 = 3; 3 + 28 = 31 — нечётное, идём по ветке «нет»: 31 + 27 = 58; 58 : 2 = 29; 29 · 4 = 116. x = 45: 45 : 9 = 5; 5 + 28 = 33 — нечётное: 33 + 27 = 60; 60 : 2 = 30; 30 · 4 = 120. x = 72: 72 : 9 = 8; 8 + 28 = 36 — чётное, ветка «да»: 36 : 2 = 18; 18 + 47 = 65; 65 · 10 = 650. Ответ: 116; 120; 650.
2.137. Сократите дробь: а) 120/224; б) 264/1540; в) 4050/486; г) 4455/4725.
Делим числитель и знаменатель на НОД. а) 120 = 2³ · 3 · 5, 224 = 2⁵ · 7: НОД = 8, дробь равна 15/28. б) 264 = 2³ · 3 · 11, 1540 = 2² · 5 · 7 · 11: НОД = 44, получаем 6/35. в) 4050 = 2 · 3⁴ · 5², 486 = 2 · 3⁵: НОД = 162, получаем 25/3 = 8 1/3. г) 4455 = 3⁵ · 5 · 11, 4725 = 3³ · 5² · 7: НОД = 135, получаем 33/35.
2.138. Найдите, на сколько процентов увеличится площадь поля прямоугольной формы, если длину поля увеличить на 20 %, а ширину — на 35 %.
Пусть длина a, ширина b, площадь ab. После увеличения длина 1,2a, ширина 1,35b, площадь 1,2 · 1,35 · ab = 1,62ab. Площадь стала 162 % от прежней, значит, увеличилась на 62 %. Ответ: на 62 %.
2.139. Вычислите, составив алгоритм вычисления на калькуляторе, значение выражения: а) 3,75 · (4,39 − 2,33); б) 7,2 / (6,34 + 17,66).
а) Алгоритм: 4,39 − 2,33 = 2,06, затем × 3,75 = 7,725. (Можно сохранить разность в памяти.) б) Алгоритм: сначала знаменатель 6,34 + 17,66 = 24, затем 7,2 : 24 = 0,3. Ответ: а) 7,725; б) 0,3.