§ 1. Вычисления и построения. 1. Среднее арифметическое — с. 16
1.12. Среднее арифметическое четырнадцати чисел равно 4,5, а среднее арифметическое шести других чисел — 2,75. Найдите среднее арифметическое этих двадцати чисел.
Сумма первых четырнадцати чисел: 4,5 · 14 = 63. Сумма шести других: 2,75 · 6 = 16,5. Сумма всех двадцати: 63 + 16,5 = 79,5. Среднее арифметическое: 79,5 : 20 = 3,975. Ответ: 3,975.
1.13. На первом участке трассы лыжник шёл 3 ч с некоторой скоростью, а на втором — 2 ч со скоростью 25 км/ч. Найдите скорость лыжника на первом участке трассы, если его средняя скорость на трассе равна 28 км/ч.
Всё время: 3 + 2 = 5 ч. Весь путь при средней скорости 28 км/ч: 28 · 5 = 140 км. Путь на втором участке: 25 · 2 = 50 км. Значит, на первом участке 140 – 50 = 90 км. Скорость на первом участке: 90 : 3 = 30 км/ч. Ответ: 30 км/ч.
1.14. Скорость теплохода по течению 20,8 км/ч, а против течения 14,4 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
Скорость по течению = собственная + течение, против течения = собственная – течение. Собственная скорость — среднее арифметическое этих двух: (20,8 + 14,4) : 2 = 35,2 : 2 = 17,6 км/ч. Скорость течения — половина разности: (20,8 – 14,4) : 2 = 6,4 : 2 = 3,2 км/ч. Проверка: 17,6 + 3,2 = 20,8; 17,6 – 3,2 = 14,4. Ответ: 17,6 км/ч и 3,2 км/ч.
1.15. Среднее арифметическое двух чисел равно 42. Чему равны эти числа, если одно из них в 2,5 раза меньше другого?
Сумма чисел: 42 · 2 = 84. Меньшее число — 1 часть, большее — 2,5 части, всего 3,5 части. Одна часть: 84 : 3,5 = 24 — меньшее число; большее: 24 · 2,5 = 60. Проверка: 24 + 60 = 84. Ответ: 24 и 60.
1.16. Вычислите. а) 35,5 : 5; 3,9 : 2; 6,3 : 10; 0,64 : 8; 0,7 : 100. б) 11 · 0,2; 1 · 0,1; 39 · 0,01; 31 · 0,4; 0,5 · 48. в) 0,7 : 5; 7 : 2; 23,23 : 23; 25,75 : 25; 0,9 : 18. г) 6,7 – 2,3; 6 – 0,02; 3,08 + 0,2; 2,54 + 0,06; 8,2 – 2,2.
а) 7,1; 1,95; 0,63; 0,08; 0,007. б) 2,2; 0,1; 0,39; 12,4; 24. в) 0,14; 3,5; 1,01; 1,03; 0,05. г) 4,4; 5,98; 3,28; 2,6; 6.
1.17. Найдите частное: а) 60 : 0,6; б) 0,9 : 0,3; в) 40 : 0,2; г) 100 : 0,1; д) 1000 : 0,01; е) 8 : 0,4; ж) 0,42 : 0,7; з) 0,1 : 0,01; и) 1 : 0,5.
Переносим запятую в делимом и делителе на одинаковое число знаков: а) 600 : 6 = 100; б) 9 : 3 = 3; в) 400 : 2 = 200; г) 1000 : 1 = 1000; д) 100 000 : 1 = 100 000; е) 80 : 4 = 20; ж) 4,2 : 7 = 0,6; з) 10 : 1 = 10; и) 10 : 5 = 2.
1.18. При покупке красных гвоздик в упаковках оказалось 35, 26, 39, 28, 20, 26, 29 цветов. Можно ли из всех этих цветов сделать 7 одинаковых букетов?
Всего цветов: 35 + 26 + 39 + 28 + 20 + 26 + 29 = 203. Проверим деление на 7: 203 : 7 = 29 (без остатка). Ответ: да, можно — получится 7 букетов по 29 гвоздик (число 29 — среднее арифметическое чисел в упаковках).
1.19. Как проще всего найти произведение: а) 7000 · 0,1; б) 600 · 0,2; в) 48 · 0,25; г) 32 · 0,125; д) 114 · 0,5?
Умножить на 0,1 — значит найти десятую часть, на 0,2 — пятую, на 0,25 — четвёртую, на 0,125 — восьмую, на 0,5 — половину. а) 7000 : 10 = 700; б) 600 : 5 = 120; в) 48 : 4 = 12; г) 32 : 8 = 4; д) 114 : 2 = 57.
1.20.
1. Может ли произведение двух чисел оказаться меньше: а) одного из множителей; б) обоих множителей?
Приведите примеры.
2. Может ли частное оказаться больше делимого?
Приведите примеры.
1) а) Да, если другой множитель меньше 1: 8 · 0,5 = 4, а 4 < 8. б) Да, если оба множителя меньше 1: 0,2 · 0,3 = 0,06, а 0,06 меньше и 0,2, и 0,3. 2) Да, если делитель меньше 1: 6 : 0,5 = 12, а 12 > 6; 0,3 : 0,1 = 3, а 3 > 0,3.
1.21. Папе, чтобы купить нужное количество материалов для починки забора, нужно определить его длину, но нет рулетки. Петя заметил, что расстояние между двумя соседними столбиками забора равно пяти его шагам, а столбиков всего 40. Чему равна длина забора, если один шаг мальчика 0,45 м?
Сколько решений имеет задача?
Расстояние между соседними столбиками: 5 · 0,45 = 2,25 м. Случай 1: забор не замкнут (прямой или ломаный с двумя концами). Тогда промежутков на один меньше, чем столбиков: 40 – 1 = 39, длина 2,25 · 39 = 87,75 м. Случай 2: забор замкнут (идёт по кругу, огораживая участок). Тогда промежутков столько же, сколько столбиков: 40, длина 2,25 · 40 = 90 м. Ответ: задача имеет два решения: 87,75 м (незамкнутый забор) и 90 м (замкнутый).
1.22. Найдите частное: а) 0,468 : 0,26; б) 0,9775 : 0,425; в) 3,648 : 4,56; г) 0,559 : 0,043; д) 50,02 : 41; е) 142,4 : 178.
Сдвигаем запятые вправо у делимого и делителя: а) 46,8 : 26 = 1,8; б) 977,5 : 425 = 2,3; в) 364,8 : 456 = 0,8; г) 559 : 43 = 13; д) 50,02 : 41 = 1,22; е) 142,4 : 178 = 0,8.
1.23. Найдите корень уравнения: а) 4,1x – 2,9x + 7,5 = 7,98; б) 7,8y – (5,6y + 10,6) = 3,7; в) (8,3 – z) · 4,9 = 5,88; г) (11,2 – p) · 4,5 = 31,5.
а) 1,2x + 7,5 = 7,98; 1,2x = 0,48; x = 0,4. б) 7,8y – 5,6y – 10,6 = 3,7; 2,2y = 14,3; y = 6,5. в) 8,3 – z = 5,88 : 4,9 = 1,2; z = 8,3 – 1,2 = 7,1. г) 11,2 – p = 31,5 : 4,5 = 7; p = 11,2 – 7 = 4,2. Ответ: а) 0,4; б) 6,5; в) 7,1; г) 4,2.