§ 1. Вычисления и построения. 1. Среднее арифметическое — с. 15
Вопросы к п. 1.
Что называют средним арифметическим нескольких чисел?
Как найти среднее арифметическое нескольких чисел?
Как найти среднюю скорость движения?
Приведите примеры средних арифметических величин.
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Чтобы его найти, надо сложить все числа и сумму разделить на их количество. Например, для 8, 9 и 4: (8 + 9 + 4) : 3 = 7. Средняя скорость движения равна частному от деления всего пройденного пути на всё время движения. Примеры средних величин: средняя урожайность, средняя производительность, средняя температура за неделю, средний балл по предмету, средняя рождаемость в городе.
1.1. Отметьте на координатной прямой числа 4 и 12. Найдите их среднее арифметическое и тоже отметьте его на координатной прямой. Какое предположение можно сделать?
Среднее арифметическое: (4 + 12) : 2 = 16 : 2 = 8. На координатной прямой точка 8 лежит ровно посередине между точками 4 и 12 (от 4 до 8 четыре единичных отрезка и от 8 до 12 тоже четыре). Предположение: среднее арифметическое двух чисел — это координата середины отрезка, соединяющего точки с этими координатами.
1.2. На рисунке 1.1 отрезки NM и NK равны. Найдите координату точки M. Найдите среднее арифметическое координат точек M и K.
Точка N имеет координату 11,5, точка K — 12,2, поэтому NK = 12,2 – 11,5 = 0,7. Так как NM = NK = 0,7 и M лежит левее N, то координата M равна 11,5 – 0,7 = 10,8. Среднее арифметическое координат M и K: (10,8 + 12,2) : 2 = 23 : 2 = 11,5. Ответ: M = 10,8; среднее арифметическое 11,5 — это координата точки N, середины отрезка MK.
1.3. Найдите среднее арифметическое чисел: а) 83,4 и 84,5; б) 0,2; 0,3 и 0,4; в) 2,23; 2,26; 2,34 и 2,07; г) 6,276; 5,864; 7,223; 9,106; 8,728 и 3,003.
а) (83,4 + 84,5) : 2 = 167,9 : 2 = 83,95. б) (0,2 + 0,3 + 0,4) : 3 = 0,9 : 3 = 0,3. в) (2,23 + 2,26 + 2,34 + 2,07) : 4 = 8,9 : 4 = 2,225. г) сумма 6,276 + 5,864 + 7,223 + 9,106 + 8,728 + 3,003 = 40,2; 40,2 : 6 = 6,7. Ответ: а) 83,95; б) 0,3; в) 2,225; г) 6,7.
1.4. В течение недели ноября ежедневно в 12 часов дня школьники записывали следующие показания термометра: 4,1; 3,8; 4,1; 4,2; 4,1; 4,0; 3,9 градусов тепла. Найдите среднюю температуру за эту неделю в 12 ч дня.
Сумма показаний: 4,1 + 3,8 + 4,1 + 4,2 + 4,1 + 4,0 + 3,9 = 28,2. Измерений 7 (по одному в день). Средняя температура: 28,2 : 7 = 4,028… ≈ 4,03 °C. Ответ: примерно 4,03 °C (около 4 градусов тепла).
1.5. У ученика за четверть по литературе стоят следующие оценки: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4. Найдите среднюю оценку ученика за четверть.
Сумма оценок: 5 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 5 + 4 = 42. Оценок 10. Средняя оценка: 42 : 10 = 4,2. Ответ: 4,2.
1.6. Чему равно среднее арифметическое чисел 42,43; 42,39; 42,64 и 42,57?
Округлите его до сотых.
Сумма: 42,43 + 42,39 + 42,64 + 42,57 = 170,03. Делим на 4: 170,03 : 4 = 42,5075 ≈ 42,51. Ответ: ≈ 42,51.
1.7. Пешеход шёл 2 ч со скоростью 5,2 км/ч, 2 ч со скоростью 4,8 км/ч и 1 ч со скоростью 4,5 км/ч. Чему равна средняя скорость пешехода на всём пути?
Путь: 5,2 · 2 + 4,8 · 2 + 4,5 · 1 = 10,4 + 9,6 + 4,5 = 24,5 (км). Время: 2 + 2 + 1 = 5 (ч). Средняя скорость: 24,5 : 5 = 4,9 (км/ч). Ответ: 4,9 км/ч.
1.8. Экскурсионный теплоход двигался 4,3 ч по озеру со скоростью 106,4 м/мин, затем 2,5 ч по реке со скоростью 24 км/ч, наконец, 1,2 ч по заливу со скоростью 10 км/ч. Найдите среднюю скорость движения теплохода на всём пути.
Переведём 106,4 м/мин в км/ч: 106,4 · 60 = 6384 м/ч = 6,384 км/ч. Пути: по озеру 6,384 · 4,3 = 27,4512 км; по реке 24 · 2,5 = 60 км; по заливу 10 · 1,2 = 12 км. Весь путь: 27,4512 + 60 + 12 = 99,4512 км. Всё время: 4,3 + 2,5 + 1,2 = 8 ч. Средняя скорость: 99,4512 : 8 = 12,4314 ≈ 12,43 км/ч. Ответ: примерно 12,43 км/ч.
1.9. Черепаха бежала 5 мин со скоростью 70,2 м/мин и 2 мин со скоростью 106,4 м/мин. Найдите среднюю скорость черепахи на пройденном за это время пути.
Путь: 70,2 · 5 + 106,4 · 2 = 351 + 212,8 = 563,8 (м). Время: 5 + 2 = 7 (мин). Средняя скорость: 563,8 : 7 = 80,54… ≈ 80,5 м/мин. Ответ: примерно 80,5 м/мин.
1.10. На первом поле вырастили 5264 ц помидоров, а на втором — 5425 ц. Найдите урожайность помидоров на каждом из этих полей и найдите среднюю урожайность на двух этих полях, если площадь первого поля равна 29 га, а второго — 33 га. Округлите результат до сотен. Предложите другой способ решения этой задачи.
Урожайность — это урожай с одного гектара. Первое поле: 5264 : 29 = 181,517… ≈ 181,52 ц/га. Второе поле: 5425 : 33 = 164,393… ≈ 164,39 ц/га. Средняя урожайность на двух полях: (5264 + 5425) : (29 + 33) = 10 689 : 62 = 172,403… ≈ 172,40 ц/га. Другой способ: взвесить урожайности по площадям: (181,517 · 29 + 164,394 · 33) : 62 = 10 689 : 62 — получается то же самое. Простое среднее двух урожайностей (181,52 + 164,39) : 2 ≈ 172,96 верным не будет — площади полей разные. Оговорка: в условии написано «до сотен»; по смыслу (результат около 172) скорее имелось в виду «до сотых», поэтому округление сделано до сотых; до сотен все три числа дали бы 200 ц/га.
1.11. Первое число равно 7. Чему равно второе число, если среднее арифметическое двух чисел равно 5,3?
Сумма двух чисел равна среднему арифметическому, умноженному на их количество: 5,3 · 2 = 10,6. Второе число: 10,6 – 7 = 3,6. Проверка: (7 + 3,6) : 2 = 5,3. Ответ: 3,6.