21. Масштаб (упражнения 3.101–3.127) — с. 138
3.110. Вычислите. а) 320 + 180, : 20, · 6, − 80, · 13; б) 630 : 90, · 60, + 180, : 15, · 25; в) 3,5 + 4,5, : 10, − 0,3, · 17, + 2,5; г) 0,5 · 1,8, − 0,15, : 0,3, + 5,5, : 1,6.
а) 500; 25; 150; 70;
910. Ответ: 910.
б) 7; 420; 600; 40; 1000. Ответ: 1000.
в) 8; 0,8; 0,5; 8,5; 11. Ответ: 11.
г) 0,9; 0,75; 2,5; 8; 5. Ответ: 5.
Оговорка: последнее действие в а) прочитано как «· 13».
б) 7; 420; 600; 40; 1000. Ответ: 1000.
в) 8; 0,8; 0,5; 8,5; 11. Ответ: 11.
г) 0,9; 0,75; 2,5; 8; 5. Ответ: 5.
Оговорка: последнее действие в а) прочитано как «· 13».
3.111. Четыре пятых от четырёх пятых числа равны четырём пятым. Какое это число?
Пусть число x. 4/5 · (4/5 · x) = 4/5, 16/25 · x = 4/5, x = 4/5 : 16/25 = 4/5 · 25/16 = 5/4 = 1 1/4. Проверка: 4/5 · 5/4 = 1; 4/5 · 1 = 4/5. Ответ: 1 1/4.
3.112. От числителя и знаменателя дроби 17/39 отняли число и получили дробь, равную 4/15. Какое число отняли?
(17 − x) : (39 − x) = 4 : 15, 15 · (17 − x) = 4 · (39 − x), 255 − 15x = 156 − 4x, 99 = 11x, x = 9. Проверка: 8/30 = 4/15. Ответ: 9.
3.113. Составьте четыре пропорции из отношений: а) 27 : 3 и 72 : 9; б) 1,02 : 0,34 и 7,5 : 2,5; в) 3,6 · 36 и 5,4 · 24; г) 0,8 · 1,17 и 5,2 · 0,18.
а) Как напечатано, 27 : 3 = 9, а 72 : 9 = 8 — отношения не равны, пропорции составить нельзя. Если второе отношение 72 : 8 (= 9), то: 27 : 3 = 72 : 8; 72 : 8 = 27 : 3; 27 : 72 = 3 : 8; 3 : 27 = 8 : 72.
б) 1,02 : 0,34 = 3 и 7,5 : 2,5 = 3: 1,02 : 0,34 = 7,5 : 2,5; 7,5 : 2,5 = 1,02 : 0,34; 1,02 : 7,5 = 0,34 : 2,5; 7,5 : 1,02 = 2,5 : 0,34.
в) 3,6 · 36 = 5,4 · 24 = 129,6: 3,6 : 5,4 = 24 : 36; 3,6 : 24 = 5,4 : 36; 36 : 5,4 = 24 : 3,6; 36 : 24 = 5,4 : 3,6.
г) 0,8 · 1,17 = 5,2 · 0,18 = 0,936: 0,8 : 5,2 = 0,18 : 1,17; 0,8 : 0,18 = 5,2 : 1,17; 1,17 : 5,2 = 0,18 : 0,8; 1,17 : 0,18 = 5,2 : 0,8.
Оговорка: в а) возможна опечатка в учебнике (72 : 8 вместо 72 : 9).
б) 1,02 : 0,34 = 3 и 7,5 : 2,5 = 3: 1,02 : 0,34 = 7,5 : 2,5; 7,5 : 2,5 = 1,02 : 0,34; 1,02 : 7,5 = 0,34 : 2,5; 7,5 : 1,02 = 2,5 : 0,34.
в) 3,6 · 36 = 5,4 · 24 = 129,6: 3,6 : 5,4 = 24 : 36; 3,6 : 24 = 5,4 : 36; 36 : 5,4 = 24 : 3,6; 36 : 24 = 5,4 : 3,6.
г) 0,8 · 1,17 = 5,2 · 0,18 = 0,936: 0,8 : 5,2 = 0,18 : 1,17; 0,8 : 0,18 = 5,2 : 1,17; 1,17 : 5,2 = 0,18 : 0,8; 1,17 : 0,18 = 5,2 : 0,8.
Оговорка: в а) возможна опечатка в учебнике (72 : 8 вместо 72 : 9).
3.114. Сколько: а) метров в 1 мм; б) аров в 1 м²; в) суток в 1 ч; г) литров в 1 см³?
а) 1 мм = 0,001 м.
б) 1 а = 100 м², значит 1 м² = 0,01 а.
в) 1 сут = 24 ч, значит 1 ч = 1/24 сут.
г) 1 л = 1000 см³, значит 1 см³ = 0,001 л.
б) 1 а = 100 м², значит 1 м² = 0,01 а.
в) 1 сут = 24 ч, значит 1 ч = 1/24 сут.
г) 1 л = 1000 см³, значит 1 см³ = 0,001 л.
3.115. Объём призмы в 3 раза больше объёма пирамиды, у которой высота и основание равны высоте и основанию призмы (рис. 3.8). Найдите объём четырёхугольной пирамиды, в основании которой прямоугольник со сторонами 3/4 м и 8/9 м, а высота равна 9 м.
Площадь основания: 3/4 · 8/9 = 2/3 м². Объём призмы с таким основанием и высотой: 2/3 · 9 = 6 м³. Объём пирамиды в 3 раза меньше: 6 : 3 = 2 м³. Ответ: 2 м³.
3.116. Для приготовления гарнира из 0,2 кг гречневой крупы нужно взять 600 мл воды. Сколько воды потребуется, чтобы приготовить гарнир из 0,7 кг крупы?
Количество воды прямо пропорционально массе крупы. 0,2 : 0,7 = 600 : x, x = 0,7 · 600 : 0,2 = 2100 мл = 2,1 л. Ответ: 2100 мл (2,1 л).
3.117. С первого поля площадью 4,5 га собрали 15,3 т ячменя. Какова площадь второго поля, если при одинаковой урожайности с него собрали 18,7 т ячменя?
Площадь прямо пропорциональна собранной массе. 4,5 : x = 15,3 : 18,7, x = 4,5 · 18,7 : 15,3 = 84,15 : 15,3 = 5,5 га. Ответ: 5,5 га.
3.118. Постройте развёрнутый угол и проведите внутри него из вершины два луча, угол между которыми 144°. Закрасьте угол между этими лучами. Какая часть развёрнутого угла окажется закрашенной и какая часть останется незакрашенной?
Развёрнутый угол равен 180°. Закрашенная часть: 144 : 180 = 4/5 развёрнутого угла. Незакрашенная: 1 − 4/5 = 1/5 (36° — на рисунке два угла по 18°, но лучи можно провести и несимметрично: важно, что вместе остаётся 36°).
3.119.
1. Сумма двух чисел равна 6,5. Найдите эти числа, если меньшее число равно 1/4 большего числа.
2. Разность двух чисел равна 3,2. Найдите эти числа, если меньшее число равно 1/3 большего числа.
1) Пусть большее число состоит из 4 частей, меньшее — из 1 части; всего 5 частей = 6,5. Одна часть 6,5 : 5 = 1,3 — меньшее число; большее 1,3 · 4 = 5,2.
2) Большее — 3 части, меньшее — 1 часть; разность 2 части = 3,2, часть 1,6. Меньшее 1,6, большее 4,8.
Ответ: 1) 5,2 и 1,3; 2) 4,8 и 1,6.
2) Большее — 3 части, меньшее — 1 часть; разность 2 части = 3,2, часть 1,6. Меньшее 1,6, большее 4,8.
Ответ: 1) 5,2 и 1,3; 2) 4,8 и 1,6.
3.120. Решите пропорцию:
1. (2 7/12) / (6 1/5) = y / 2,2;
2. (2 3/4) / (4 1/8) = 1,6 / t.
1) 2 7/12 : 6 1/5 = 31/12 · 5/31 = 5/12. y = 2,2 · 5/12 = 11/12.
2) 2 3/4 : 4 1/8 = 11/4 · 8/33 = 2/3. 2/3 = 1,6 : t, t = 1,6 · 3/2 = 2,4 = 2 2/5.
Ответ: 1) y = 11/12; 2) t = 2 2/5.
2) 2 3/4 : 4 1/8 = 11/4 · 8/33 = 2/3. 2/3 = 1,6 : t, t = 1,6 · 3/2 = 2,4 = 2 2/5.
Ответ: 1) y = 11/12; 2) t = 2 2/5.
3.121. Найдите по карте расстояние от Москвы до Екатеринбурга.
Задание выполняется по карте атласа или карте России в учебнике: измеряем линейкой расстояние между точками (в сантиметрах) и умножаем на число километров в 1 см по масштабу карты. Прямая линия между городами примерно 1400 км.
Оговорка: карта из учебника недоступна; значение по прямой — справочное, по железной и автомобильной дороге расстояние больше.
Оговорка: карта из учебника недоступна; значение по прямой — справочное, по железной и автомобильной дороге расстояние больше.
3.122. Начертите план одной из комнат в вашей квартире, доме, измерив её длину и ширину. Выберите масштаб 1/100.
Измерьте длину и ширину комнаты рулеткой в метрах и разделите на 100: каждый метр на плане — 1 см. Например, комната 4,2 м × 3 м изображается прямоугольником 4,2 см × 3 см; отметьте окно, дверь и мебель.
3.123. Играя в пиратов, ребята закопали сокровища в 3,5 м от рябины, изобразив на карте это расстояние отрезком, равным 4 см. Каков масштаб карты ребят?
3,5 м = 350 см. Масштаб: 4 : 350 = 1 : 87,5. Ответ: 1 : 87,5.
3.124. Расстояние между двумя соседними станциями метро на плане города 5 см. Чему равно это расстояние на местности, если масштаб плана 1 : 90 000?
5 · 90 000 = 450 000 см = 4,5 км. Ответ: 4,5 км.
3.125. Расстояние между озёрами равно 13 км. Каким отрезком будет изображено это расстояние на карте, масштаб которой 1 : 100 000?
13 км = 1 300 000 см; 1 300 000 : 100 000 = 13 см. Ответ: 13 см.
3.126. Один из размеров детали на чертеже, сделанном в тетради ученика в масштабе 1 : 2, равен 9,6 см. Найдите, чему равен этот же размер детали на чертеже, сделанном учителем на доске в масштабе 5 : 1.
Размер детали: 9,6 · 2 = 19,2 см. В масштабе 5 : 1 он увеличивается в 5 раз: 19,2 · 5 = 96 см. Ответ: 96 см.