§ 5. Обыкновенные дроби. 27. Сравнение дробей — с. 23
5.105. Установите, какая из дробей меньше: а) 6/7 или 2/7; б) 3/21 или 13/21; в) 23/100 или 21/100; г) 87/10 000 или 78/10 000.
При равных знаменателях меньше та дробь, у которой меньше числитель. а) 2 < 6, меньше 2/7. б) 3 < 13, меньше 3/21. в) 21 < 23, меньше 21/100. г) 78 < 87, меньше 78/10 000.
5.106. Какая точка лежит правее на координатной прямой: а) K(11/16) или P(9/16); б) C(3/18) или D(6/18)?
Правее лежит точка с большей координатой; координаты сравниваем по числителям (знаменатели равны). а) 11 > 9, значит 11/16 > 9/16: правее лежит точка K. б) 6 > 3, значит 6/18 > 3/18: правее лежит точка D.
5.107. Вычислите. а) 53 – 46, ·7, +31, –45, :7; б) 520 + 280, :20, ·5, :25, ·125; в) 63 – 57, ·6, +34, –30, :8; г) 600 – 120, :4, ·2, :5, ·20; д) 81 – 73, ·8, +26, –58, :8.
Цепочки считаем слева направо. а) 53 – 46 = 7; 7 · 7 = 49; 49 + 31 = 80; 80 – 45 = 35; 35 : 7 = 5. б) 520 + 280 = 800; 800 : 20 = 40; 40 · 5 = 200; 200 : 25 = 8; 8 · 125 = 1000. в) 63 – 57 = 6; 6 · 6 = 36; 36 + 34 = 70; 70 – 30 = 40; 40 : 8 = 5. г) 600 – 120 = 480; 480 : 4 = 120; 120 · 2 = 240; 240 : 5 = 48; 48 · 20 = 960. д) 81 – 73 = 8; 8 · 8 = 64; 64 + 26 = 90; 90 – 58 = 32; 32 : 8 = 4. Ответы: 5; 1000; 5; 960; 4.
5.108. Прочитайте дроби и назовите их числители и знаменатели: 1/4, 1/7, 9/13, 11/21, 30/49, 1/11, 13/70, 33/100, 119/139, 200/345, 333/987.
1/4 — одна четвёртая (1; 4). 1/7 — одна седьмая (1; 7). 9/13 — девять тринадцатых (9; 13). 11/21 — одиннадцать двадцать первых (11; 21). 30/49 — тридцать сорок девятых (30; 49). 1/11 — одна одиннадцатая (1; 11). 13/70 — тринадцать семидесятых (13; 70). 33/100 — тридцать три сотых (33; 100). 119/139 — сто девятнадцать сто тридцать девятых (119; 139). 200/345 — двести триста сорок пятых (200; 345). 333/987 — триста тридцать три девятьсот восемьдесят седьмых (333; 987). В скобках: числитель; знаменатель.
5.109. Есть ли среди точек, отмеченных на координатной прямой, совпадающие: A(4/20), B(2/7), C(1/5), D(4/28), E(4/20), K(20/70)?
Приведём дроби к простейшему виду. 4/20 = 1/5 (сократили на 4); 2/7 — уже простейшая; 1/5; 4/28 = 1/7 (сократили на 4); 4/20 = 1/5; 20/70 = 2/7 (сократили на 10). Равным дробям соответствует одна точка. Значит, совпадают точки A, C и E (все равны 1/5), а также точки B и K (обе равны 2/7). Точка D(1/7) ни с одной другой не совпадает. Ответ: да — A, C, E совпадают; B и K совпадают.
5.110. Восьмиугольник на рисунке 5.32 состоит из равных треугольников. Какую часть составляет: а) треугольник AOP от восьмиугольника MNCDEKPA; б) треугольник MNO от четырёхугольника MNOA; в) треугольник MNO от пятиугольника MNKPA; г) четырёхугольник NCDO от пятиугольника NCDEK; д) пятиугольник MNCDE от восьмиугольника MNCDEKPA?
Восьмиугольник разбит на 8 равных треугольников с вершиной O: MON, NOC, COD, DOE, EOK, KOP, POA, AOM. Диагонали NK и MD... (линии через O: NK, AD, MЕ, PC) — диаметры. а) AOP — один из 8: 1/8. б) Четырёхугольник MNOA состоит из двух треугольников (MNO и MOA); MNO — один из двух: 1/2. в) Пятиугольник MNKPA (левая половина фигуры) состоит из 4 треугольников (MNO, MOA, AOP, POK); MNO — один из четырёх: 1/4. г) Пятиугольник NCDEK (правая половина) — 4 треугольника; четырёхугольник NCDO — два из них (NOC и COD): 2/4 = 1/2. д) Пятиугольник MNCDE состоит из четырёх треугольников (MNO, NOC, COD, DOE): 4/8 = 1/2. Ответы: 1/8; 1/2; 1/4; 1/2; 1/2. Оговорка: обозначения линий через центр O прочитаны по рисунку (M и E, N и K, A и D, P и C — концы диаметров).
5.111. Разбираемся в решении. Муравей бежит по куску дерева, имеющему форму куба. Как ему попасть из какой-либо вершины куба в противоположную (рис. 5.33) кратчайшим путём?
Сколько таких путей существует?
Пусть муравей должен попасть из вершины M в противоположную вершину N. Кратчайший путь идёт по двум соседним граням, которые имеют общее ребро, не содержащее ни M, ни N: если «развернуть» две такие грани в один прямоугольник 1 × 2 (в рёбрах куба), то M и N окажутся противоположными вершинами прямоугольника и кратчайший путь — его диагональ. Муравей бежит по грани до середины общего ребра, пересекает это ребро и дальше по соседней грани до N. Длина пути равна диагонали прямоугольника со сторонами a и 2a: √5·a ≈ 2,24a (a — ребро куба). Рёбер, не содержащих M и N, у куба 12 – 3 – 3 = 6, и через каждое такое ребро проходит один кратчайший путь. Ответ: 6 кратчайших путей (каждый проходит через середину одного из 6 таких рёбер).
5.112. Разделите с остатком: а) 7 на 3; б) 110 на 40; в) 39 на 7; г) 200 на 13.
а) 7 = 3 · 2 + 1 (неполное частное 2, остаток 1). б) 110 = 40 · 2 + 30 (частное 2, остаток 30). в) 39 = 7 · 5 + 4 (частное 5, остаток 4). г) 200 = 13 · 15 + 5 (частное 15, остаток 5).
5.113. Какую долю составляют: а) сутки от недели; б) минута от часа; в) миллиметр от метра; г) 1 мм³ от литра; д) сутки от високосного года; е) 1 м² от ара?
Почему 1 см³ называют ещё и миллилитром (1 мл)?
а) В неделе 7 суток: 1/7. б) В часе 60 минут: 1/60. в) В метре 1000 мм: 1/1000. г) 1 л = 1 дм³ = 1000 см³ = 1 000 000 мм³, поэтому 1 мм³ — это 1/1 000 000 литра. д) В високосном году 366 суток: 1/366. е) 1 ар = 100 м², поэтому 1 м² — это 1/100 ара. Почему 1 см³ называют миллилитром: в 1 л содержится 1000 см³, то есть 1 см³ — это 1/1000 литра, а приставка «милли» означает одну тысячную долю.
5.114. В детский бассейн объёмом 500 л налили m л воды. Какая часть объёма бассейна занята водой?
Ответ дайте при m = 100; m = 200; m = 300; m = 400.
Водой занята m/500 бассейна. При m = 100: 100/500 = 1/5. При m = 200: 200/500 = 2/5. При m = 300: 300/500 = 3/5. При m = 400: 400/500 = 4/5.
5.115. Найдите, какую часть периметра квадрата составляет длина: а) одной стороны; б) двух сторон; в) трёх сторон.
У квадрата 4 равные стороны, периметр P = 4a. а) Одна сторона: a/(4a) = 1/4 периметра. б) Две стороны: 2a/(4a) = 2/4 = 1/2 периметра. в) Три стороны: 3a/(4a) = 3/4 периметра.
5.116. На самостоятельную работу ушло 5 мин. Какая часть урока ушла на самостоятельную работу, если урок длился 45 мин?
Урок — 45 мин, самостоятельная работа — 5 мин: 5/45 урока. Сократим на 5: 1/9. Ответ: 1/9 урока.