§ 5. Обыкновенные дроби. 27. Сравнение дробей — с. 22
5.98. Используя рисунок 5.31, объясните, почему: а) 1/3 = 3/9; б) 5/6 = 10/12; в) 1/4 = 3/12; г) 2/5 = 8/20.
На рисунке 5.31 одна и та же фигура разделена на равные части двумя способами; закрашенная часть при этом остаётся той же по размеру. а) Круг, разделённый на 3 равные части, закрашена 1 часть; тот же круг, разделённый на 9 равных частей (каждая треть разбита на 3), — закрашены 3 части, они занимают ту же область, поэтому 1/3 = 3/9. б) Круг на 6 частей, закрашено 5; на 12 частей (каждая шестая разбита пополам), закрашено 10 — та же область: 5/6 = 10/12. в) Прямоугольник на 4 равные полосы, закрашена 1; при делении на 12 равных клеток (каждая четверть — 3 клетки) закрашены 3 клетки: 1/4 = 3/12. г) Прямоугольник на 5 равных полос, закрашены 2; при делении на 20 равных клеток каждая полоса состоит из 4 клеток, закрашены 8 клеток: 2/5 = 8/20. Общий вывод: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то доля не изменится.
5.99. Начертите отрезок, равный 24 клеткам. Используя его, объясните, почему: а) 2/3 = 16/24; б) 5/6 = 20/24.
Отрезок длиной 24 клетки примем за целое. а) Разделим его на 3 равные части: 24 : 3 = 8 клеток в каждой. Две трети — 8 · 2 = 16 клеток, то есть 16 из 24 клеток, 16/24 отрезка. Значит, 2/3 = 16/24. б) Разделим отрезок на 6 равных частей: 24 : 6 = 4 клетки в каждой. Пять шестых — 4 · 5 = 20 клеток, то есть 20/24 отрезка. Значит, 5/6 = 20/24.
5.100. На координатной прямой с единичным отрезком, равным 14 клеткам, отметьте точки M(3/7) и K(6/14). Объясните построение.
Единичный отрезок — 14 клеток. 1/7 единичного отрезка: 14 : 7 = 2 (клетки), значит, 3/7 — это 2 · 3 = 6 клеток от начала: точка M. 1/14 единичного отрезка — 1 клетка, значит, 6/14 — это 6 клеток от начала: точка K. Обе точки находятся на расстоянии 6 клеток от нуля, то есть совпадают (M = K): 3/7 = 6/14.
5.101. На координатной прямой отметьте точки с координатами: а) 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6; б) 1/12, 3/12, 5/12, 7/12, 9/12, 11/12.
Возьмём единичный отрезок, равный 12 клеткам. а) Одна шестая единичного отрезка: 12 : 6 = 2 клетки. Точки 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 отмечаем на расстояниях 2, 4, 6, 8, 10 клеток от нуля. б) Одна двенадцатая: 12 : 12 = 1 клетка. Точки 1/12, 3/12, 5/12, 7/12, 9/12, 11/12 отмечаем на расстояниях 1, 3, 5, 7, 9, 11 клеток от нуля. Замечание: 2/6 = 4/12, 3/6 = 6/12 и т. д., поэтому точка 2/6 попадает на деление 4/12.
5.102. На координатной прямой с единичным отрезком, равным 12 клеткам, отметьте точки с координатами 1/2, 1/3, 1/4, 1/12, 2/3 и 3/4. Какая из этих точек расположена правее всех на координатной прямой, а какая — левее всех?
Единичный отрезок — 12 клеток. 1/2: 12 : 2 = 6 клеток. 1/3: 12 : 3 = 4 клетки. 1/4: 12 : 4 = 3 клетки. 1/12: 1 клетка. 2/3: 4 · 2 = 8 клеток. 3/4: 3 · 3 = 9 клеток. Отмечаем точки на расстояниях 1, 3, 4, 6, 8, 9 клеток от нуля (рисунок). Правее всех расположена точка 3/4 (9 клеток), левее всех — точка 1/12 (1 клетка).
5.103. Запишите дроби: а) 12/13, 7/13, 1/13, 5/13, 9/13, 4/13, 3/13, 10/13 в порядке возрастания; б) 4/17, 1/17, 13/17, 6/17, 5/17, 16/17, 9/17 в порядке убывания.
У дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше. а) По возрастанию: 1/13, 3/13, 4/13, 5/13, 7/13, 9/13, 10/13, 12/13. б) По убыванию: 16/17, 13/17, 9/17, 6/17, 5/17, 4/17, 1/17.
5.104. Сравните числа: а) 4/10 и 9/10; б) 7/9 и 1/9; в) 8/17 и 13/17; г) 6/7 и 2/7.
Знаменатели одинаковые, поэтому сравниваем числители. а) 4 < 9, значит 4/10 < 9/10. б) 7 > 1, значит 7/9 > 1/9. в) 8 < 13, значит 8/17 < 13/17. г) 6 > 2, значит 6/7 > 2/7.