Вопросы и задачи на повторение. Задачи — с. 170
ЦП.109. Развивай воображение. Расставьте мысленно в 16 клетках квадрата числа по порядку так: в первой строке от 1 до 4, во второй — от 5 до 8 и т. д. Вообразите этот квадрат и подсчитайте сумму чисел: а) в первом столбце; б) в третьем столбце; в) по диагоналям квадрата. Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырёхугольника, называют диагональю.
Квадрат 4 × 4: строки 1 2 3 4 / 5 6 7 8 / 9 10 11 12 / 13 14 15 16. а) Первый столбец: 1 + 5 + 9 + 13 = 28. б) Третий столбец: 3 + 7 + 11 + 15 = 36. в) Одна диагональ: 1 + 6 + 11 + 16 = 34; другая: 4 + 7 + 10 + 13 = 34. Ответ: а) 28; б) 36; в) по 34 на каждой диагонали.
ЦП.110. Развивай воображение. Куб, окрашенный в синий цвет, разрезали на 64 равных маленьких кубика. Сколько среди них кубиков, у которых окрашено: а) три грани; б) две грани; в) одна грань?
64 = 4 · 4 · 4, значит, каждое ребро большого куба разрезали на 4 части. а) Три грани окрашены у угловых кубиков: у куба 8 вершин — 8 кубиков. б) Две грани окрашены у кубиков вдоль рёбер (не в углах): на каждом ребре 4 – 2 = 2 кубика, рёбер 12, всего 12 · 2 = 24 кубика. в) Одна грань окрашена у кубиков в середине граней: на каждой грани 2 · 2 = 4 кубика, граней 6, всего 6 · 4 = 24 кубика. Проверка: 8 + 24 + 24 = 56, остальные 64 – 56 = 8 кубиков внутри вообще не окрашены (2 · 2 · 2 = 8). Ответ: а) 8; б) 24; в) 24.
ЦП.111. Развивай мышление. На поездах, курсирующих по Московским центральным диаметрам, можно провозить предметы бесплатно, если сумма их трёх измерений не превышает 180 см. При каких трёх измерениях коробки её объём будет наибольшим?
Из всех коробок с заданной суммой трёх измерений наибольший объём имеет куб (это можно проверить на примерах: 90 · 60 · 30 = 162 000 см³, 70 · 60 · 50 = 210 000 см³, а у куба больше). Ребро куба: 180 : 3 = 60 (см). Объём: 60 · 60 · 60 = 216 000 (см³) = 0,216 м³. Ответ: при измерениях 60 см, 60 см и 60 см (куб), объём 216 000 см³. Оговорка: то, что куб даёт наибольший объём, показано на примерах и известно как свойство; строгое доказательство в 5 классе не требуется.
Проверочная работа на повторение № 1.
1. Запишите дроби 3/17, 1/17, 12/17, 10/17, 2/17, 5/17, 9/17 в порядке: а) возрастания; б) убывания.
У дробей одинаковые знаменатели, больше та, у которой больше числитель. а) 1/17, 2/17, 3/17, 5/17, 9/17, 10/17, 12/17. б) 12/17, 10/17, 9/17, 5/17, 3/17, 2/17, 1/17.
Проверочная работа на повторение № 1.
2. Представьте в виде неправильной дроби числа: а) 4 5/13; б) 2 3/25; в) 5 1/17; г) 8 4/125.
Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель. а) 4 · 13 + 5 = 57, получаем 57/13. б) 2 · 25 + 3 = 53, получаем 53/25. в) 5 · 17 + 1 = 86, получаем 86/17. г) 8 · 125 + 4 = 1004, получаем 1004/125.
Проверочная работа на повторение № 1.
3. Запишите: а) все правильные дроби со знаменателем 4; б) все неправильные дроби с числителем 5; в) две дроби, большие 3/5, но меньшие 4/5.
а) Числитель меньше знаменателя: 1/4, 2/4, 3/4. б) Числитель 5 не меньше знаменателя, значит, знаменатель от 1 до 5: 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5. в) 3/5 = 6/10 и 4/5 = 8/10, между ними 7/10; ещё одна дробь: 3/5 = 12/20, 4/5 = 16/20, между ними 13/20, 14/20, 15/20. Ответ: например, 7/10 и 3/4 (3/4 = 15/20). Подходят и другие дроби, например 13/20, 14/20.
Проверочная работа на повторение № 1.
4. Выполните деление с остатком: а) 34 851 на 56; б) 85 302 на 13.
а) 34 851 : 56 = 622 (ост. 19), проверка: 56 · 622 + 19 = 34 832 + 19 = 34 851. б) 85 302 : 13 = 6561 (ост. 9), проверка: 13 · 6561 + 9 = 85 293 + 9 = 85 302.
Проверочная работа на повторение № 1.
5. Из натуральных чисел, больших 5, но меньших 23, выпишите: а) чётные; б) нечётные; в) кратные числа 3; г) кратные числа 10; д) кратные числа 9; е) кратные числа 5 и нечётные.
Числа от 6 до 22. а) Чётные: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22. б) Нечётные: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. в) Кратные 3: 6, 9, 12, 15, 18, 21. г) Кратные 10: 10, 20. д) Кратные 9: 9, 18. е) Кратные 5: 10, 15, 20; из них нечётное только 15.
Проверочная работа на повторение № 1.
6. Какие точки на рисунке 14: а) лежат в круге; б) не лежат в круге; в) лежат на окружности; г) не лежат на окружности; д) лежат на диаметре AB?
На рисунке: A, B и D лежат на окружности; E, O и C внутри круга; F снаружи; O — центр, C на диаметре AB. а) В круге (вместе с границей): A, B, C, D, E, O. б) Не лежат в круге: F. в) На окружности: A, B, D. г) Не лежат на окружности: C, E, O, F. д) На диаметре AB: A, O, C, B. Оговорка: точки к кругу отнесены вместе с граничными (лежащими на окружности).
Проверочная работа на повторение № 1.
7. В вагоне поезда 54 места для пассажиров, 5/6 мест заняты. а) Какая часть свободных мест в вагоне? б) Сколько свободных мест осталось?
а) Весь вагон — 6/6; свободные места: 6/6 – 5/6 = 1/6. б) 54 : 6 = 9 (мест). Проверка: занято 54 : 6 · 5 = 45 мест, 54 – 45 = 9. Ответ: а) 1/6; б) 9 мест.