§ 4. Площади и объёмы. Применяем математику — с. 156
Применяем математику, № 1. Сколько потребуется машин грузоподъёмностью 5 т для перевозки 428 рулонов линолеума шириной 15 дм и длиной 200 дм, если масса одного квадратного дециметра линолеума равна 25 г?
Площадь одного рулона 15 · 200 = 3000 (дм²). Масса одного рулона 3000 · 25 = 75 000 (г) = 75 кг. Масса всех рулонов 75 · 428 = 32 100 (кг) = 32 т 100 кг. 32 100 : 5000 = 6 (ост. 2100), значит, шести машин мало, нужна седьмая. Проверка по рулонам: в машину входит не более 5000 : 75 = 66 рулонов (66 · 75 = 4950 кг), 6 машин перевезут 396 рулонов < 428, 7 машин — 462 ≥ 428. Ответ: 7 машин.
Применяем математику, № 2. Новогодний подарок упакован в коробку в форме куба с ребром 45 см (рис. 4.34). Сколько требуется ленты для обвязки крест-накрест этой коробки, если на бантик нужно ещё 40 см?
Лента, перевязывающая коробку крест-накрест, обходит куб дважды — по двум перпендикулярным «поясам», каждый длиной 4 ребра: 4 · 45 = 180 (см). Два пояса: 180 · 2 = 360 (см). На бантик 40 см: 360 + 40 = 400 (см) = 4 м. Ответ: 4 м. Оговорка: считаем, что лента обходит коробку по рёбрам-серединам граней без запаса на узел.
Применяем математику, № 3. Из листа бумаги размером 20 × 20 см вырезали прямоугольник со сторонами 12 см и 18 см. а) Можно ли из остатка вырезать квадрат со стороной 9 см? б) Какой квадрат наибольшей площади можно вырезать из остатка?
а) Нет. Если бы квадрат 9 × 9 и прямоугольник 12 × 18 не накладывались друг на друга на листе 20 × 20, то их можно было бы разделить прямой, параллельной стороне листа: вдоль стороны 20 рядом лежали бы 9 + 12 = 21 > 20 или 9 + 18 = 27 > 20 — места не хватает. Значит, квадрат со стороной 9 см вырезать нельзя. б) Если вырезать прямоугольник от угла листа (12 см вдоль стороны 20 см), то остаётся полоса шириной 20 – 12 = 8 (см) и узкая полоса 20 – 18 = 2 (см). Наибольший квадрат, который можно вырезать из остатка, имеет сторону 8 см, его площадь 8 · 8 = 64 (см²). Ответ: а) нет; б) квадрат 8 × 8 см. Оговорка: прямоугольник вырезан у края (в углу) листа.
Применяем математику, № 4. Вокруг прямоугольной клумбы проложили дорожку одинаковой ширины (рис. 4.35). Длина внешнего края дорожки на 16 м больше длины внутреннего. Найдите ширину дорожки.
Пусть клумба имеет стороны a и b, ширина дорожки x. Внешний край — прямоугольник со сторонами a + 2x и b + 2x, его периметр 2 · (a + 2x + b + 2x) = 2 · (a + b) + 8x. Он больше внутреннего (2 · (a + b)) на 8x. По условию 8x = 16, откуда x = 2 (м). Иначе: на каждом из 4 углов добавляется по 2x, всего 4 · 2x = 8x. Ответ: ширина дорожки 2 м.
Применяем математику, № 5. На рисунке 4.36 изображён план квадратного участка, по углам которого растут четыре больших дерева. Владельцы участка хотят увеличить его площадь вдвое так, чтобы деревья остались вне участка и участок остался квадратным. Возможно ли это сделать?
Да, возможно. Построим новый квадрат так: через каждый угол старого участка проведём прямую под углом 45° к его сторонам (перпендикулярно диагонали). Эти четыре прямые образуют квадрат, повёрнутый на 45°, сторона которого равна диагонали старого участка, а углы старого участка лежат на серединах его сторон. Диагонали старого квадрата делят его на 4 равных треугольника, а новый квадрат состоит из 8 таких треугольников, значит, его площадь вдвое больше. Деревья растут за углами старого участка, то есть за серединами сторон нового, поэтому остаются вне нового участка. Ответ: да, можно (рисунок). Оговорка: деревья на плане нарисованы снаружи углов; если бы они стояли ровно в углах старого участка, они оказались бы на границе нового.
Применяем математику, № 6. Найдите массу детали, изготовленной из стального листа (рис. 4.37), если 1 см² этого листа имеет массу 45 г. Размеры на рисунке даны в сантиметрах.
Фигура ступенчатая; разобьём её на горизонтальные полосы высотой 3 см. Верхняя полоса: ширина 10 см, площадь 10 · 3 = 30 (см²). Средняя полоса: ширина 7 см (левая сторона 6 см, то есть две полосы подряд), площадь 7 · 3 = 21 (см²). Нижняя полоса: ширина 7 см (нижняя сторона), площадь 7 · 3 = 21 (см²). Площадь детали 30 + 21 + 21 = 72 (см²). Масса 72 · 45 = 3240 (г) = 3 кг 240 г. Ответ: 3240 г. Оговорка: размеры 10, 7 и три раза 3 прочитаны по рисунку (контур «лесенкой»: сверху 10, справа вниз 3, влево 3, вниз 3, влево 3, вниз 3, влево 7, вверх 3, вправо 3, вверх 6).
Применяем математику, № 7. Бабушка попросила Лену, Олю, Таню и Ярослава прополоть две квадратные клумбы, у которых стороны равны 2 м и 4 м. Ярослав решил так: маленькая клумба в 2 раза меньше большой, поэтому я выполю сорняки на маленькой клумбе и оставлю девочкам прополку большой клумбы, чтобы им было меньше полоть. Будут ли согласны девочки с таким решением?
Площадь маленькой клумбы 2 · 2 = 4 (м²), большой 4 · 4 = 16 (м²). Большая клумба больше маленькой по площади не в 2 раза, а в 16 : 4 = 4 раза (в 2 раза больше только сторона). Всего 4 + 16 = 20 (м²), на каждого поровну 20 : 4 = 5 (м²). Ярослав возьмёт 4 м², а три девочки вместе 16 м², то есть по 16 : 3 = 5 целых 1/3 (м²) каждая — больше справедливых 5 м². Ответ: нет, девочки не будут согласны.
Применяем математику, № 8. Миша составил выражение для вычисления площади спортивной площадки на даче (см. план на рисунке 4.38): (8 · 6) : 2 – 4 · 6 :
2. Объясните его рассуждения и найдите значение этого выражения.
Участок — прямоугольник 8 × 6, площадка (светлая полоса) — треугольник с вершинами в левом верхнем углу, в точке на нижней стороне на расстоянии 4 от левого угла и в правом нижнем углу. Миша рассуждал так: (8 · 6) : 2 — площадь большого прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 (половина прямоугольника 8 × 6); 4 · 6 : 2 — площадь меньшего прямоугольного треугольника с катетами 4 и 6 (слева от площадки). Если из большого треугольника вычесть меньший, останется площадка. Значение: (8 · 6) : 2 – 4 · 6 : 2 = 24 – 12 = 12. Ответ: 12 (квадратных единиц, например 12 м²).
Применяем математику, № 9. Рассчитайте, сколько коробок печенья надо заказать для изготовления 5300 новогодних подарков, если пачки печенья размером 10 × 6 × 4 см находятся в коробке размером 60 × 54 × 44 см, а в подарок кладут одну пачку печенья.
В коробку пачки укладываются без зазоров: вдоль 60 см — 60 : 10 = 6 пачек, вдоль 54 см — 54 : 6 = 9 пачек, вдоль 44 см — 44 : 4 = 11 пачек. В коробке 6 · 9 · 11 = 594 (пачки). (Проверка по объёму: 60 · 54 · 44 : (10 · 6 · 4) = 142 560 : 240 = 594.) Подарков 5300, нужно 5300 пачек. 5300 : 594 = 8 (ост. 548): 8 коробок дают 4752 пачки, этого мало, значит, надо 9 коробок (5346 пачек). Ответ: 9 коробок.
Применяем математику, № 10. Объём воды в озёрах земного шара около 230 000 км³. а) Какой высоты будет башня в форме прямоугольного параллелепипеда, если его основание — квадрат со стороной 0,5 м, а объём башни равен объёму воды в озёрах? б) Сравните высоту такой башни с расстоянием от Земли до Луны. Недостающие данные найдите самостоятельно.
а) Основание: 0,5 м = 0,0005 км, площадь основания 0,0005 · 0,0005 = 0,00000025 (км²). Высота h = V : S = 230 000 : 0,00000025 = 920 000 000 000 (км), то есть около 920 миллиардов километров. (В метрах: 230 000 км³ = 230 000 · 10⁹ м³ = 2,3 · 10¹⁴ м³; 2,3 · 10¹⁴ : 0,25 = 9,2 · 10¹⁴ м = 9,2 · 10¹¹ км.) б) Среднее расстояние от Земли до Луны около 384 000 км (справочное значение). 920 000 000 000 : 384 000 ≈ 2 400 000, то есть башня выше расстояния до Луны примерно в 2,4 миллиона раз. (Для сравнения, расстояние до Солнца около 150 млн км — башня длиннее примерно в 6000 раз.) Оговорка: расстояние до Луны взято из справочника, в учебнике оно не указано; объём воды и размеры — приближённые.