Страничка для любознательных. Готовимся к олимпиаде — с. 75
1. Восстанови пропущенные цифры и числа. 1 · 7 = 1; 9 · □ = 7; 9 : □ = 4; 2 · 3 = 5; 8 · □ = 4; 7 : □ = 1. Найди все решения.
1 · 7 = 1: произведение оканчивается на 1, значит, 7 · оканчивается на 1, = 3: 13 · 7 = 91. 2 · 3 = 5: 3 · оканчивается на 5, = 5: 25 · 3 = 75. 9 · □ = 7: 9 · □ оканчивается на 7, □ = 3: 19 · 3 = 57, 29 · 3 = 87 (39 · 3 = 117 — трёхзначное). 8 · □ = 4: 8 · □ оканчивается на 4, □ = 3: 18 · 3 = 54, 28 · 3 = 84 (при □ = 8 произведение трёхзначное). 9 : □ = 4: 98 : 7 = 14; 96 : 4 = 24; 94 : 1 = 94. 7 : □ = 1: 70 : 5 = 14; 75 : 5 = 15; 70 : 7 = 10; 77 : 7 = 11; 72 : 6 = 12; 78 : 6 = 13; 72 : 4 = 18; 76 : 4 = 19.
2. Восстанови пропущенные цифры в делимом и пропущенные числа в остатке так, чтобы остаток был наибольшим из возможных для каждого делителя. 6 : 7 = 8 (ост. □); 8 : 9 = 9 (ост. □); 9 : 6 = 9 (ост. □); 1 : 8 = 8 (ост. □)
Наибольший остаток на 1 меньше делителя. 6 : 7 = 8: 7 · 8 = 56, остаток 6, делимое 56 + 6 = 62. 62 : 7 = 8 (ост. 6). 8 : 9 = 9: 9 · 9 = 81, остаток 8, делимое 89. 89 : 9 = 9 (ост. 8). 9 : 6 = 9: 6 · 9 = 54, остаток 5, делимое 59. 59 : 6 = 9 (ост. 5). 1 : 8 = 8: 8 · 8 = 64, остаток 7, делимое 71. 71 : 8 = 8 (ост. 7).
3. Садовник рассадил 90 луковиц тюльпанов на 3 клумбы: большую, среднюю и маленькую. На среднюю клумбу он посадил в 2 раза больше луковиц, чем на маленькую, а на большую — столько же, сколько на маленькую и среднюю вместе. Сколько луковиц тюльпанов на каждой клумбе?
Пусть на маленькой клумбе 1 часть. Тогда на средней 2 части, на большой 1 + 2 = 3 части. Всего 1 + 2 + 3 = 6 (частей). 90 : 6 = 15 (л.) — на маленькой. 15 · 2 = 30 (л.) — на средней. 15 · 3 = 45 (л.) — на большой. Проверка: 15 + 30 + 45 = 90. Ответ: 15, 30 и 45 луковиц.
4. Начерти ломаную из трёх звеньев так, чтобы её длина была равна 12 см, а второе звено было на 2 см длиннее первого и на столько же сантиметров короче третьего.
Пусть первое звено a см, тогда второе a + 2, третье (a + 2) + 2 = a + 4. Длина ломаной: a + (a + 2) + (a + 4) = 3a + 6 = 12, 3a = 6, a = 2. Звенья: первое 2 см, второе 4 см, третье 6 см. Проверка: 2 + 4 + 6 = 12. Углы между звеньями можно взять любые.
5.
1. При делении одного и того же числа на 5 и на 9 получаются одинаковые частные, но при делении на 5 получается остаток 4, а деление на 9 выполняется без остатка. Какое число делили?
2. При делении одного и того же двузначного числа на 13 и на 14 получаются одинаковые частные, но при делении на 13 получается остаток 8, а при делении на 14 — остаток 4. Какое число делили?
1) Если частное q, то число равно 5 · q + 4 и 9 · q. Число 9 · q больше 5 · q на 4 · q, а по условию разница равна 4, значит, 4 · q = 4, q = 1. Число 9 · 1 = 9. Проверка: 9 : 5 = 1 (ост. 4), 9 : 9 = 1. Ответ: 9.
2. Число равно 13 · q + 8 и 14 · q + 4. Приравняем: 13 · q + 8 = 14 · q + 4, значит, 14 · q – 13 · q = 8 – 4, то есть q = 4. Число 13 · 4 + 8 = 60. Проверка: 14 · 4 + 4 = 60; 60 : 13 = 4 (ост. 8), 60 : 14 = 4 (ост. 4). Ответ: 60.