Глава 15. § 109. Примеры решения задач по теме «Закон Ома. Последовательное и параллельное соединения проводников» — с. 361
§ 109. Задача для самостоятельного решения 1. К концам медного проводника длиной 300 м приложено напряжение 36 В. Определите среднюю скорость упорядоченного движения электронов в проводнике, если концентрация электронов проводимости в меди 8,5 · 10²⁸ м⁻³, а удельное сопротивление 1,7 · 10⁻⁸ Ом · м.
Сила тока через сечение S: I = neSv (n — концентрация электронов, e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл — модуль заряда электрона, v — средняя скорость упорядоченного движения). По закону Ома I = U/R, где R = ρl/S. Приравниваем: neSv = US/(ρl). Площадь сечения сокращается:
v = U/(neρl) = 36 В / (8,5·10²⁸ м⁻³ · 1,6·10⁻¹⁹ Кл · 1,7·10⁻⁸ Ом·м · 300 м) = 36/(6,94·10⁴) ≈ 5,2·10⁻⁴ м/с.
Ответ: v ≈ 5·10⁻⁴ м/с (около 0,5 мм/с).
v = U/(neρl) = 36 В / (8,5·10²⁸ м⁻³ · 1,6·10⁻¹⁹ Кл · 1,7·10⁻⁸ Ом·м · 300 м) = 36/(6,94·10⁴) ≈ 5,2·10⁻⁴ м/с.
Ответ: v ≈ 5·10⁻⁴ м/с (около 0,5 мм/с).
§ 109. Задача для самостоятельного решения 2. Сопротивление каждого из проводников, соединённых в квадрат, и проводников, образующих диагонали квадрата, равно r. Определите эквивалентное сопротивление при подключении источника тока: 1) к соседним вершинам; 2) к вершинам, лежащим на одной диагонали. В точке пересечения диагоналей контакта нет.
Пусть квадрат ABCD, диагонали AC и BD (между собой не соединены), все шесть проводников имеют сопротивление r.
1) Источник подключён к соседним вершинам A и B. Обозначим φ_A = U, φ_B = 0. Из симметрии φ_C + φ_D = U; для узла C сумма токов равна нулю: φ_C + (φ_C − U) + (2φ_C − U) = 0 (проводники CB, CA и CD), откуда φ_C = U/2 = φ_D. Значит, ток в проводнике CD отсутствует. Остаются параллельно: проводник AB (сопротивление r) и путь A→(C и D параллельно: r/2)→(r/2 до B), т. е. r/2 + r/2 = r. Итак, R = r·r/(r + r) = r/2.
2) Источник подключён к вершинам A и C. По симметрии φ_B = φ_D, ток в диагонали BD отсутствует. Путь A→B и A→D параллельно: r/2; затем B→C и D→C параллельно: r/2; вместе r. Он параллелен диагонали AC (сопротивление r): R = r·r/(r + r) = r/2.
Ответ: в обоих случаях R = r/2.
1) Источник подключён к соседним вершинам A и B. Обозначим φ_A = U, φ_B = 0. Из симметрии φ_C + φ_D = U; для узла C сумма токов равна нулю: φ_C + (φ_C − U) + (2φ_C − U) = 0 (проводники CB, CA и CD), откуда φ_C = U/2 = φ_D. Значит, ток в проводнике CD отсутствует. Остаются параллельно: проводник AB (сопротивление r) и путь A→(C и D параллельно: r/2)→(r/2 до B), т. е. r/2 + r/2 = r. Итак, R = r·r/(r + r) = r/2.
2) Источник подключён к вершинам A и C. По симметрии φ_B = φ_D, ток в диагонали BD отсутствует. Путь A→B и A→D параллельно: r/2; затем B→C и D→C параллельно: r/2; вместе r. Он параллелен диагонали AC (сопротивление r): R = r·r/(r + r) = r/2.
Ответ: в обоих случаях R = r/2.