Глава 14. § 102. Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов» — с. 338
§ 102. Задача для самостоятельного решения 1. Электрический заряд q₁ > 0 переместили по замкнутому контуру ABCD в поле точечного заряда q₂ > 0 (рис. 14.38). На каких участках работа поля по перемещению заряда была положительной? отрицательной? равной нулю?
Как изменялась потенциальная энергия системы?
Чему равна полная работа поля по перемещению заряда?
[рисунок 14.38: слева неподвижный заряд q₂ со знаком «+»; из него расходятся две прямые линии; точки A и D лежат на ближней к заряду дуге окружности с центром в заряде, точки B и C — на дальней дуге; контур ABCD обходится A → B → C → D → A, стрелки на участках AB, BC, CD, DA]
[рисунок 14.38: слева неподвижный заряд q₂ со знаком «+»; из него расходятся две прямые линии; точки A и D лежат на ближней к заряду дуге окружности с центром в заряде, точки B и C — на дальней дуге; контур ABCD обходится A → B → C → D → A, стрелки на участках AB, BC, CD, DA]
Поле точечного заряда q₂ центральное, эквипотенциальные поверхности — сферы с центром в q₂. Участки AD и BC — дуги окружностей с центром в q₂, на них потенциал не меняется, сила перпендикулярна перемещению, поэтому A_AD = 0 и A_BC = 0.
Участок AB идёт вдоль радиуса от заряда: одноимённые заряды отталкиваются, сила и перемещение направлены одинаково, работа положительна: A_AB > 0, потенциальная энергия системы уменьшается на A_AB = kq₁q₂(1/r_A − 1/r_B).
Участок CD идёт вдоль радиуса к заряду, против силы отталкивания: A_CD < 0, потенциальная энергия возрастает. Так как r_A = r_D и r_B = r_C, то по модулю A_CD = A_AB.
Потенциальная энергия в итоге вернулась к начальному значению: ΔWп = 0. Полная работа по замкнутому контуру A = A_AB + A_CD = 0, как для любого потенциального поля.
Ответ: A > 0 на AB; A < 0 на CD; A = 0 на BC и DA; Wп сначала уменьшается (на AB), затем остаётся постоянной (BC), затем возрастает (CD), на DA не меняется; ΔWп = 0, полная работа равна нулю.
Участок AB идёт вдоль радиуса от заряда: одноимённые заряды отталкиваются, сила и перемещение направлены одинаково, работа положительна: A_AB > 0, потенциальная энергия системы уменьшается на A_AB = kq₁q₂(1/r_A − 1/r_B).
Участок CD идёт вдоль радиуса к заряду, против силы отталкивания: A_CD < 0, потенциальная энергия возрастает. Так как r_A = r_D и r_B = r_C, то по модулю A_CD = A_AB.
Потенциальная энергия в итоге вернулась к начальному значению: ΔWп = 0. Полная работа по замкнутому контуру A = A_AB + A_CD = 0, как для любого потенциального поля.
Ответ: A > 0 на AB; A < 0 на CD; A = 0 на BC и DA; Wп сначала уменьшается (на AB), затем остаётся постоянной (BC), затем возрастает (CD), на DA не меняется; ΔWп = 0, полная работа равна нулю.
§ 102. Задача для самостоятельного решения 2. Двигаясь в электрическом поле, электрон перешёл из одной точки в другую, потенциал которой выше на 1 В. Насколько изменилась кинетическая энергия электрона? потенциальная энергия электрона?
Работа поля над электроном A = qU, где q = −e = −1,6 · 10⁻¹⁹ Кл, а U = φ₁ − φ₂ = −1 В (конечная точка имеет потенциал выше). Тогда A = (−1,6 · 10⁻¹⁹)(−1) = 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж > 0. По теореме о кинетической энергии ΔWк = A = 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж (1 эВ). Потенциальная энергия изменяется на ΔWп = −A = −1,6 · 10⁻¹⁹ Дж.
Ответ: кинетическая энергия увеличилась на 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж (1 эВ), потенциальная уменьшилась на 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж.
Ответ: кинетическая энергия увеличилась на 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж (1 эВ), потенциальная уменьшилась на 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж.
§ 102. Задача для самостоятельного решения 3. Два одинаковых шарика, имеющие одинаковые одноимённые заряды, соединены пружиной, жёсткость которой k = 10³ Н/м, а длина l₀ = 4 см. Шарики колеблются так, что расстояние между ними изменяется от 3 до 6 см. Определите заряды шариков.
В крайних положениях (r₁ = 3 см и r₂ = 6 см) шарики на мгновение останавливаются, кинетическая энергия равна нулю. Сила Кулона консервативна, сила упругости тоже, поэтому полная энергия сохраняется: kₑq²/r₁ + k(l₀ − r₁)²/2 = kₑq²/r₂ + k(r₂ − l₀)²/2, где kₑ = 9 · 10⁹ Н·м²/Кл².
Отсюда kₑq²(1/r₁ − 1/r₂) = (k/2)[(r₂ − l₀)² − (l₀ − r₁)²].
Правая часть: 500 · (4 · 10⁻⁴ − 1 · 10⁻⁴) = 0,15 Дж. Левая: 1/0,03 − 1/0,06 ≈ 16,7 м⁻¹.
q² = 0,15 / (9 · 10⁹ · 16,7) = 1,0 · 10⁻¹² Кл², q = 1 · 10⁻⁶ Кл.
Ответ: заряд каждого шарика q ≈ 1 · 10⁻⁶ Кл = 1 мкКл.
Отсюда kₑq²(1/r₁ − 1/r₂) = (k/2)[(r₂ − l₀)² − (l₀ − r₁)²].
Правая часть: 500 · (4 · 10⁻⁴ − 1 · 10⁻⁴) = 0,15 Дж. Левая: 1/0,03 − 1/0,06 ≈ 16,7 м⁻¹.
q² = 0,15 / (9 · 10⁹ · 16,7) = 1,0 · 10⁻¹² Кл², q = 1 · 10⁻⁶ Кл.
Ответ: заряд каждого шарика q ≈ 1 · 10⁻⁶ Кл = 1 мкКл.