Глава 14. § 102. Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов» — с. 339
§ 102. Задача для самостоятельного решения 4. Разность потенциалов между точками, лежащими на одной силовой линии на расстоянии 3 см друг от друга, равна 120 В. Определите напряжённость электростатического поля, если известно, что поле однородно.
В однородном поле E = U/Δd. Подставляем Δd = 3 см = 0,03 м: E = 120 / 0,03 = 4000 В/м.
Ответ: E = 4 · 10³ В/м (4000 Н/Кл).
Ответ: E = 4 · 10³ В/м (4000 Н/Кл).
§ 102. Задача для самостоятельного решения 5. Изобразите эквипотенциальные поверхности бесконечного проводящего и равномерно заряженного цилиндра.
Силовые линии поля бесконечного равномерно заряженного цилиндра направлены перпендикулярно его оси, лежат в плоскостях, перпендикулярных оси, и расходятся радиально от поверхности (для положительного заряда). Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям, поэтому это коаксиальные (соосные) цилиндрические поверхности с общей осью, совпадающей с осью заряженного цилиндра. В сечении они выглядят как концентрические окружности. Сама поверхность цилиндра и всё его внутреннее пространство эквипотенциальны. Напряжённость поля E = λ/(2πε₀r) убывает как 1/r, потенциал убывает по логарифму: φ = φ₀ − (λ/2πε₀)·ln(r/R). Поэтому при равных разностях потенциалов между соседними поверхностями радиусы образуют геометрическую прогрессию, и расстояния между соседними поверхностями растут при удалении от цилиндра: на рисунке каждый следующий радиус в 1,5 раза больше предыдущего. Рисунок показывает поперечное сечение: красные окружности — эквипотенциальные поверхности, синие штриховые линии — силовые линии.
§ 102. Задача для самостоятельного решения 6. У электрона, движущегося в электрическом поле, увеличилась скорость с v₁ ≈ 1 · 10⁷ м/с до v₂ ≈ 3 · 10⁷ м/с. Определите разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения электрона. Отношение заряда электрона к его массе e/m = 1,76 · 10¹¹ Кл/кг.
Работа поля над электроном идёт на увеличение кинетической энергии: A = qU = (−e)U = m(v₂² − v₁²)/2, где U = φ₁ − φ₂ — разность потенциалов между начальной и конечной точками.
Отсюда U = −(m/e)·(v₂² − v₁²)/2 = −(9 · 10¹⁴ − 1 · 10¹⁴) / (2 · 1,76 · 10¹¹) = −8 · 10¹⁴ / 3,52 · 10¹¹ ≈ −2,3 · 10³ В.
Знак минус означает, что электрон двигался в сторону более высокого потенциала (конечная точка на 2,3 кВ выше по потенциалу).
Ответ: φ₁ − φ₂ ≈ −2,3 · 10³ В (модуль около 2,3 кВ).
Отсюда U = −(m/e)·(v₂² − v₁²)/2 = −(9 · 10¹⁴ − 1 · 10¹⁴) / (2 · 1,76 · 10¹¹) = −8 · 10¹⁴ / 3,52 · 10¹¹ ≈ −2,3 · 10³ В.
Знак минус означает, что электрон двигался в сторону более высокого потенциала (конечная точка на 2,3 кВ выше по потенциалу).
Ответ: φ₁ − φ₂ ≈ −2,3 · 10³ В (модуль около 2,3 кВ).
§ 102. Задача для самостоятельного решения 7. Два небольших проводящих заряженных шара радиусом r расположены на расстоянии l друг от друга (l > 2r). Шары поочерёдно на некоторое время заземляют. Определите потенциал шара, который был заземлён первым. Первоначально каждый шар имел заряд q.
Шары считаем малыми по сравнению с l: потенциал шара складывается из собственного kq/r и потенциала, создаваемого другим шаром в этой области, kq/l (перераспределением заряда по шару из-за индукции пренебрегаем).
1) Заземляем шар 1: его потенциал становится нулевым при заряде второго шара q: kq₁/r + kq/l = 0, откуда q₁ = −qr/l. Заземление снимают.
2) Заземляем шар 2: kq₂/r + kq₁/l = 0, откуда q₂ = −q₁r/l = qr²/l². Заземление снимают.
3) Потенциал первого шара теперь: φ₁ = kq₁/r + kq₂/l = −kq/l + kqr²/l³ = (kq/l)(r²/l² − 1) = −(kq/l)(1 − r²/l²).
Ответ: φ₁ = (kq/l)(r²/l² − 1) = (q/(4πε₀l))(r²/l² − 1), потенциал отрицателен.
1) Заземляем шар 1: его потенциал становится нулевым при заряде второго шара q: kq₁/r + kq/l = 0, откуда q₁ = −qr/l. Заземление снимают.
2) Заземляем шар 2: kq₂/r + kq₁/l = 0, откуда q₂ = −q₁r/l = qr²/l². Заземление снимают.
3) Потенциал первого шара теперь: φ₁ = kq₁/r + kq₂/l = −kq/l + kqr²/l³ = (kq/l)(r²/l² − 1) = −(kq/l)(1 − r²/l²).
Ответ: φ₁ = (kq/l)(r²/l² − 1) = (q/(4πε₀l))(r²/l² − 1), потенциал отрицателен.
§ 102. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. Заряженная пылинка движется между двумя одинаковыми заряженными вертикальными пластинами, расположенными напротив друг друга. Разность потенциалов между пластинами 500 В, масса пылинки столь мала, что силой тяжести можно пренебречь. Какую кинетическую энергию приобретает пылинка при перемещении от одной пластины до другой, если её заряд 4 нКл?
1) 2 мкДж
2) 1 мкДж
3) 4 мкДж
4) 0,08 мкДж
1) 2 мкДж
2) 1 мкДж
3) 4 мкДж
4) 0,08 мкДж
Сила тяжести не учитывается, поэтому приращение кинетической энергии равно работе поля: Wк = qU = 4 · 10⁻⁹ Кл · 500 В = 2 · 10⁻⁶ Дж = 2 мкДж.
Ответ: 1) 2 мкДж.
Ответ: 1) 2 мкДж.
§ 102. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Заряженная пылинка движется вертикально между двумя одинаковыми горизонтальными пластинами размером 5 × 5 см, расположенными напротив друг друга на расстоянии 0,5 см, разность потенциалов между которыми 300 В. Её кинетическая энергия при перемещении от одной пластины до другой изменяется на 1,5 мкДж. Чему равен заряд пылинки?
Силу тяжести не учитывайте.
1) 10 нКл
2) 1,5 нКл
3) 5 нКл
4) 0,25 нКл
1) 10 нКл
2) 1,5 нКл
3) 5 нКл
4) 0,25 нКл
Изменение кинетической энергии равно работе поля: ΔWк = qU, откуда q = ΔWк/U = 1,5 · 10⁻⁶ Дж / 300 В = 5 · 10⁻⁹ Кл = 5 нКл. Размеры пластин и расстояние между ними для ответа не нужны.
Ответ: 3) 5 нКл.
Ответ: 3) 5 нКл.
§ 102. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Песчинка, имеющая заряд 10⁻¹¹ Кл, влетела в однородное электрическое поле вдоль его силовых линий с начальной скоростью 0,1 м/с и переместилась на расстояние 4 см. Чему равна масса песчинки, если её скорость увеличилась на 0,2 м/с при напряжённости поля 10⁵ В/м?
Силу тяжести не учитывайте.
Скорость увеличилась на 0,2 м/с, поэтому v₂ = 0,1 + 0,2 = 0,3 м/с. Работа поля идёт на приращение кинетической энергии: qEd = m(v₂² − v₁²)/2.
m = 2qEd/(v₂² − v₁²) = 2 · 10⁻¹¹ · 10⁵ · 0,04 / (0,09 − 0,01) = 8 · 10⁻⁸ / 0,08 = 1 · 10⁻⁶ кг.
Ответ: m = 10⁻⁶ кг = 1 мг.
m = 2qEd/(v₂² − v₁²) = 2 · 10⁻¹¹ · 10⁵ · 0,04 / (0,09 − 0,01) = 8 · 10⁻⁸ / 0,08 = 1 · 10⁻⁶ кг.
Ответ: m = 10⁻⁶ кг = 1 мг.
§ 102. Образец заданий ЕГЭ, задание 4. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R (см. рис.) имеют равномерно распределённые по их поверхностям заряды q₁ = +2q, q₂ = +q, q₃ = +q соответственно. Известно, что точечный заряд q создаёт на расстоянии R электрическое поле с потенциалом φ₁ = 100 В. Чему равен потенциал в точке А, отстоящей от центра сфер на расстоянии RA = 2,5R?
[рисунок: три концентрические окружности радиусами R, 2R, 3R с зарядами +2q на внутренней, +q на средней, +q на внешней; точка A между средней и внешней сферами на расстоянии 2,5R от центра]
[рисунок: три концентрические окружности радиусами R, 2R, 3R с зарядами +2q на внутренней, +q на средней, +q на внешней; точка A между средней и внешней сферами на расстоянии 2,5R от центра]
Применяем принцип суперпозиции. Потенциал равномерно заряженной сферы радиусом a с зарядом Q снаружи равен kQ/r, а внутри сферы (и на ней) постоянен и равен kQ/a. Точка A (r = 2,5R) лежит снаружи сфер 1 и 2 и внутри сферы 3.
φ_A = k·2q/(2,5R) + k·q/(2,5R) + k·q/(3R) = (kq/R)(2/2,5 + 1/2,5 + 1/3).
По условию kq/R = φ₁ = 100 В, поэтому φ_A = 100 · (0,8 + 0,4 + 0,333) ≈ 153 В.
Ответ: φ_A ≈ 153 В.
φ_A = k·2q/(2,5R) + k·q/(2,5R) + k·q/(3R) = (kq/R)(2/2,5 + 1/2,5 + 1/3).
По условию kq/R = φ₁ = 100 В, поэтому φ_A = 100 · (0,8 + 0,4 + 0,333) ≈ 153 В.
Ответ: φ_A ≈ 153 В.