Глава 7. § 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика» — с. 184
§ 55. Задача для самостоятельного решения 1. В цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода, причём их массы одинаковы. Общая высота столба жидкости 1 м. Определите давление на дно сосуда. Плотность ртути 13,6 · 10³ кг/м³.
Массы равны: ρвhв S = ρртhрт S, значит ρвhв = ρртhрт. Кроме того, hв + hрт = H = 1 м. Выразим hв = H − hрт: ρв(H − hрт) = ρртhрт, откуда hрт = ρвH/(ρв + ρрт) = 1000 · 1/(1000 + 13600) ≈ 0,0685 м.
Давление на дно создаёт вес обеих жидкостей, равный 2mрт g: p = 2ρртghрт = 2 · 13600 · 9,8 · 0,0685 ≈ 1,83 · 10⁴ Па.
Ответ: p ≈ 1,83 · 10⁴ Па (≈18 кПа).
Давление на дно создаёт вес обеих жидкостей, равный 2mрт g: p = 2ρртghрт = 2 · 13600 · 9,8 · 0,0685 ≈ 1,83 · 10⁴ Па.
Ответ: p ≈ 1,83 · 10⁴ Па (≈18 кПа).
§ 55. Задача для самостоятельного решения 2. Определите плотность однородного тела, вес которого в воздухе 10 Н, а в воде 6 Н.
Вес в воздухе P₁ = ρgV (выталкивающей силой воздуха пренебрегаем), вес в воде P₂ = P₁ − ρвgV. Значит, выталкивающая сила Fвыт = P₁ − P₂ = 4 Н = ρвgV. Делим P₁ на Fвыт: P₁/(P₁ − P₂) = ρ/ρв, откуда ρ = ρвP₁/(P₁ − P₂) = 1000 · 10/4 = 2500 кг/м³.
Ответ: ρ = 2,5 · 10³ кг/м³.
Оговорка: в ответах учебника указано 2,25 · 10³ кг/м³, это расходится с расчётом; повторная проверка даёт 2,5 · 10³ кг/м³ (вероятна опечатка).
Ответ: ρ = 2,5 · 10³ кг/м³.
Оговорка: в ответах учебника указано 2,25 · 10³ кг/м³, это расходится с расчётом; повторная проверка даёт 2,5 · 10³ кг/м³ (вероятна опечатка).
§ 55. Задача для самостоятельного решения 3. Шарик, подвешенный на пружине, опускают в воду. Растяжение пружины уменьшается при этом в 1,5 раза. Вычислите плотность материала шарика.
Растяжение пружины пропорционально силе натяжения, равной весу шарика. В воздухе натяжение F₁ = ρVg, в воде F₂ = ρVg − ρвVg. По условию F₁/F₂ = 1,5, то есть ρ/(ρ − ρв) = 1,5. Отсюда ρ = 1,5ρ − 1,5ρв, 0,5ρ = 1,5ρв, ρ = 3ρв = 3000 кг/м³.
Ответ: ρ = 3 · 10³ кг/м³.
Ответ: ρ = 3 · 10³ кг/м³.
§ 55. Задача для самостоятельного решения 4. Деревянный кубик, ребро которого 9 см, плавает в воде и на 2/3 своего объёма погружен в воду. Какой массы груз надо положить на кубик, чтобы он полностью погрузился в воду?
Объём кубика V = a³ = (0,09 м)³ = 7,29 · 10⁻⁴ м³. Без груза: mg = ρв(2V/3)g, то есть m = 0,486 кг. С грузом массой M кубик погружён полностью: (m + M)g = ρвVg. Вычитая, получаем Mg = ρвVg/3, откуда M = ρвV/3 = 1000 · 7,29 · 10⁻⁴ / 3 = 0,243 кг.
Ответ: M ≈ 0,24 кг (240 г).
Ответ: M ≈ 0,24 кг (240 г).
§ 55. Задача для самостоятельного решения 5. Брусок сделан из сплава железа и никеля. Определите процентное содержание сплава, если известно, что брусок весит в воздухе 33,52 Н, а воде 29,6 Н. Плотность железа 7,8 · 10³ кг/м³, а никеля 8,8 · 10³ кг/м³.
Выталкивающая сила Fвыт = 33,52 − 29,6 = 3,92 Н = ρвgV, откуда объём бруска V = 3,92/(1000 · 9,8) = 4,0 · 10⁻⁴ м³. Масса бруска m = P/g = 33,52/9,8 ≈ 3,42 кг.
Пусть mж и mн — массы железа и никеля: mж + mн = m и mж/ρж + mн/ρн = V. Подставляя mн = m − mж, получаем mж(1/ρж − 1/ρн) = V − m/ρн. Числа: V − m/ρн = 4,0 · 10⁻⁴ − 3,42/8800 ≈ 1,13 · 10⁻⁵ м³; 1/ρж − 1/ρн ≈ 1,457 · 10⁻⁵ м³/кг. Тогда mж ≈ 0,777 кг, то есть mж/m ≈ 0,227.
Ответ: железа по массе ≈ 23 %, никеля ≈ 77 %.
Пусть mж и mн — массы железа и никеля: mж + mн = m и mж/ρж + mн/ρн = V. Подставляя mн = m − mж, получаем mж(1/ρж − 1/ρн) = V − m/ρн. Числа: V − m/ρн = 4,0 · 10⁻⁴ − 3,42/8800 ≈ 1,13 · 10⁻⁵ м³; 1/ρж − 1/ρн ≈ 1,457 · 10⁻⁵ м³/кг. Тогда mж ≈ 0,777 кг, то есть mж/m ≈ 0,227.
Ответ: железа по массе ≈ 23 %, никеля ≈ 77 %.
§ 55. Задача для самостоятельного решения 6. Плотность жидкости, перекачиваемой насосом, увеличили на 20 %. На сколько процентов изменилась скорость жидкости в насосе, если мощность насоса осталась без изменения?
Мощность насоса идёт на сообщение жидкости кинетической энергии: за время t через сечение S проходит масса m = ρSvt с энергией mv²/2, поэтому N = ρSv³/2. При неизменных N и S произведение ρv³ постоянно: ρ₁v₁³ = ρ₂v₂³. Тогда v₂/v₁ = (ρ₁/ρ₂)^(1/3) = (1/1,2)^(1/3) ≈ 0,941, то есть скорость уменьшилась на ≈ 6 %.
Ответ: уменьшилась примерно на 6 %.
Оговорка: в ответах учебника указано «на 10 %»; при принятой модели (N = ρSv³/2, сечение прежнее) получается ≈ 6 %. Если считать неизменным не сечение, а секундный расход массы (N ∝ v²), получилось бы ≈ 9 %.
Ответ: уменьшилась примерно на 6 %.
Оговорка: в ответах учебника указано «на 10 %»; при принятой модели (N = ρSv³/2, сечение прежнее) получается ≈ 6 %. Если считать неизменным не сечение, а секундный расход массы (N ∝ v²), получилось бы ≈ 9 %.
§ 55. Задача для самостоятельного решения 7. В сосуд с водой опущена открытая трубка с площадью сечения S = 2 см². В трубку налили 72 г масла (ρм = 900 кг/м³). Определите разность уровней масла и воды.
Высота столба масла в трубке h = m/(ρмS) = 0,072 кг / (900 кг/м³ · 2 · 10⁻⁴ м²) = 0,4 м. На уровне нижнего конца трубки давления равны: ρмgh = ρвgh_в, где h_в — глубина нижнего конца под уровнем воды в сосуде. Отсюда h_в = ρмh/ρв = 0,36 м. Разность уровней масла и воды Δh = h − h_в = 0,4 − 0,36 = 0,04 м.
Ответ: 4 см (уровень масла выше уровня воды).
Ответ: 4 см (уровень масла выше уровня воды).
§ 55. Задача для самостоятельного решения 8. При подъёме груза массой m = 2000 кг с помощью гидравлического пресса затрачена работа A = 40 Дж. При этом малый поршень сделал n = 10 ходов, перемещаясь за один ход на h = 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого?
Полный путь малого поршня s₁ = nh = 10 · 0,1 м = 1 м. Считаем пресс идеальным: затраченная работа A = F₁s₁, откуда F₁ = A/s₁ = 40 Н. Груз поднимается равномерно, поэтому сила на большом поршне F₂ = mg = 2000 · 9,8 = 19 600 Н. Из закона Паскаля S₂/S₁ = F₂/F₁ = 19 600/40 = 490 (при g = 10 м/с² ровно 500).
Ответ: S₂/S₁ ≈ 4,9 · 10² (примерно в 500 раз).
Оговорка: в ответах учебника «в 50 раз»; при данных условия (m = 2000 кг, A = 40 Дж) получается ≈ 490 (при g = 10 м/с² ровно 500). Ответ 50 получился бы при m = 200 кг или A = 400 Дж.
Ответ: S₂/S₁ ≈ 4,9 · 10² (примерно в 500 раз).
Оговорка: в ответах учебника «в 50 раз»; при данных условия (m = 2000 кг, A = 40 Дж) получается ≈ 490 (при g = 10 м/с² ровно 500). Ответ 50 получился бы при m = 200 кг или A = 400 Дж.
§ 55. Задача для самостоятельного решения 9. Скорость ветра над крышей дома равна 25 м/с. Какая дополнительная сила действует на крышу площадью 250 м²?
Плотность воздуха равна 1,16 кг/м³.
Внутри дома воздух неподвижен, давление там атмосферное. Над крышей по уравнению Бернулли давление меньше на Δp = ρv²/2 = 1,16 · 25²/2 ≈ 362 Па. Дополнительная сила, направленная вверх, F = ΔpS = 362,5 · 250 ≈ 9,1 · 10⁴ Н.
Ответ: F ≈ 9 · 10⁴ Н (порядка 10⁵ Н).
Оговорка: в ответах учебника указано 10⁵ Н — это округление того же значения до порядка.
Ответ: F ≈ 9 · 10⁴ Н (порядка 10⁵ Н).
Оговорка: в ответах учебника указано 10⁵ Н — это округление того же значения до порядка.
§ 55. Задача для самостоятельного решения 10. Рассчитайте, чему будет равна высота столбика жидкости в трубке Торричелли, если ртуть заменить спиртом.
Давление столбика уравновешивает атмосферное давление: ρжghж = ρртghрт. Для ртути hрт = 0,76 м, ρрт = 13 600 кг/м³; плотность спирта ρсп ≈ 790 кг/м³. Тогда hсп = ρртhрт/ρсп = 13 600 · 0,76/790 ≈ 13 м.
Ответ: ≈ 13 м.
Ответ: ≈ 13 м.