Глава 8. § 57. Примеры решения задач по теме «Основные положения МКТ» — с. 193
§ 57. Задача для самостоятельного решения 1. Какую площадь может занять капля оливкового масла объёмом 0,02 см³ при расплывании её на поверхности воды?
Максимальное расплывание даёт мономолекулярный слой, толщина которого равна диаметру молекулы масла. Из § 56: d = 0,001 см³ / 6000 см² ≈ 1,7·10⁻⁷ см = 1,7·10⁻⁹ м.
Объём слоя V = Sd, откуда S = V/d.
V = 0,02 см³ = 2·10⁻⁸ м³.
S = 2·10⁻⁸ м³ / 1,7·10⁻⁹ м ≈ 11,8 м² ≈ 1,2·10⁵ см².
Ответ: S ≈ 1,2·10⁵ см² (около 12 м²).
Объём слоя V = Sd, откуда S = V/d.
V = 0,02 см³ = 2·10⁻⁸ м³.
S = 2·10⁻⁸ м³ / 1,7·10⁻⁹ м ≈ 11,8 м² ≈ 1,2·10⁵ см².
Ответ: S ≈ 1,2·10⁵ см² (около 12 м²).
§ 57. Задача для самостоятельного решения 2. Определите молярные массы водорода и гелия.
Молярная масса M = 10⁻³·Mr кг/моль.
Водород существует в виде молекул H₂: Mr = 2·1 = 2, M(H₂) = 2·10⁻³ кг/моль = 2 г/моль.
Гелий одноатомный: Mr = 4, M(He) = 4·10⁻³ кг/моль = 4 г/моль.
Ответ: M(H₂) = 2·10⁻³ кг/моль; M(He) = 4·10⁻³ кг/моль.
Водород существует в виде молекул H₂: Mr = 2·1 = 2, M(H₂) = 2·10⁻³ кг/моль = 2 г/моль.
Гелий одноатомный: Mr = 4, M(He) = 4·10⁻³ кг/моль = 4 г/моль.
Ответ: M(H₂) = 2·10⁻³ кг/моль; M(He) = 4·10⁻³ кг/моль.
§ 57. Задача для самостоятельного решения 3. Во сколько раз число атомов в углероде массой 12 кг превышает число молекул в кислороде массой 16 кг?
Число частиц N = νN_A = (m/M)·N_A.
Углерод (атомы): M₁ = 0,012 кг/моль, N₁ = (12/0,012)·N_A = 1000·N_A.
Кислород (молекулы O₂): M₂ = 0,032 кг/моль, N₂ = (16/0,032)·N_A = 500·N_A.
N₁/N₂ = 1000/500 = 2.
Ответ: в 2 раза.
Углерод (атомы): M₁ = 0,012 кг/моль, N₁ = (12/0,012)·N_A = 1000·N_A.
Кислород (молекулы O₂): M₂ = 0,032 кг/моль, N₂ = (16/0,032)·N_A = 500·N_A.
N₁/N₂ = 1000/500 = 2.
Ответ: в 2 раза.
§ 57. Задача для самостоятельного решения 4. Чему равно количество вещества (в молях), содержащегося в воде массой 1 г?
Молярная масса воды M = 0,018 кг/моль = 18 г/моль.
ν = m/M = 1 г / 18 г/моль ≈ 0,056 моль.
Ответ: ν ≈ 0,056 моль.
ν = m/M = 1 г / 18 г/моль ≈ 0,056 моль.
Ответ: ν ≈ 0,056 моль.
§ 57. Задача для самостоятельного решения 5. Молярная масса азота равна 0,028 кг/моль. Чему равна масса молекулы азота?
Масса молекулы m₀ = M/N_A.
m₀ = 0,028 кг/моль / 6,02·10²³ моль⁻¹ ≈ 4,65·10⁻²⁶ кг.
Ответ: m₀ ≈ 4,65·10⁻²⁶ кг.
m₀ = 0,028 кг/моль / 6,02·10²³ моль⁻¹ ≈ 4,65·10⁻²⁶ кг.
Ответ: m₀ ≈ 4,65·10⁻²⁶ кг.
§ 57. Задача для самостоятельного решения 6. Определите число атомов в меди объёмом 1 м³. Молярная масса меди M = 0,0635 кг/моль, её плотность ρ = 9000 кг/м³.
Масса меди m = ρV, число атомов N = (m/M)·N_A = ρVN_A/M.
N = 9000 кг/м³ · 1 м³ · 6,02·10²³ моль⁻¹ / 0,0635 кг/моль ≈ 8,53·10²⁸.
Ответ: N ≈ 8,5·10²⁸.
N = 9000 кг/м³ · 1 м³ · 6,02·10²³ моль⁻¹ / 0,0635 кг/моль ≈ 8,53·10²⁸.
Ответ: N ≈ 8,5·10²⁸.
§ 57. Задача для самостоятельного решения 7. Плотность алмаза 3500 кг/м³. Какой объём займут 10²² атомов этого вещества?
Алмаз — углерод, M = 0,012 кг/моль.
Количество вещества ν = N/N_A, масса m = νM = NM/N_A, объём V = m/ρ.
V = N·M/(N_A·ρ) = 10²² · 0,012 / (6,02·10²³ · 3500) ≈ 5,7·10⁻⁸ м³ (≈ 0,057 см³).
Ответ: V ≈ 5,7·10⁻⁸ м³.
Количество вещества ν = N/N_A, масса m = νM = NM/N_A, объём V = m/ρ.
V = N·M/(N_A·ρ) = 10²² · 0,012 / (6,02·10²³ · 3500) ≈ 5,7·10⁻⁸ м³ (≈ 0,057 см³).
Ответ: V ≈ 5,7·10⁻⁸ м³.
§ 57. Задача для самостоятельного решения 8. Определите число атомных слоёв серебряного покрытия толщиной 15 мкм. Плотность серебра 1,05·10⁴ кг/м³.
Молярная масса серебра M = 0,108 кг/моль. Объём, приходящийся на один атом: V₀ = M/(ρN_A) = 0,108 / (1,05·10⁴ · 6,02·10²³) ≈ 1,71·10⁻²⁹ м³.
Считая атомы плотно упакованными кубиками, диаметр атома d ≈ ∛V₀ ≈ 2,6·10⁻¹⁰ м.
Число слоёв k = h/d = 15·10⁻⁶ м / 2,6·10⁻¹⁰ м ≈ 5,8·10⁴.
Ответ: около 5,8·10⁴ слоёв.
Оговорка: результат зависит от модели упаковки атомов (кубическая оценка); порядок величины 10⁴ — 10⁵.
Считая атомы плотно упакованными кубиками, диаметр атома d ≈ ∛V₀ ≈ 2,6·10⁻¹⁰ м.
Число слоёв k = h/d = 15·10⁻⁶ м / 2,6·10⁻¹⁰ м ≈ 5,8·10⁴.
Ответ: около 5,8·10⁴ слоёв.
Оговорка: результат зависит от модели упаковки атомов (кубическая оценка); порядок величины 10⁴ — 10⁵.
§ 57. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. На поверхность воды капают раствор подсолнечного масла в бензине. Сначала на поверхности воды образуется круглое радужное пятно, затем бензин испаряется, пятно исчезает. Посыпание поверхности воды тальком через тонкое ситечко позволяет обнаружить границы невидимого до того масляного пятна диаметром 20 см. Оцените по этим данным размер молекулы масла, если концентрация масла в бензине 0,1 % (по объёму), а объём капли бензина 0,05 мл. Плотность бензина и масла примерно равны.
Объём масла в капле: V = 0,001 · 0,05 мл = 5·10⁻⁵ мл = 5·10⁻⁵ см³ = 5·10⁻¹¹ м³.
Площадь пятна S = πD²/4 = 3,14 · (0,2 м)² / 4 ≈ 3,14·10⁻² м².
Слой мономолекулярный, поэтому размер молекулы d = V/S = 5·10⁻¹¹ / 3,14·10⁻² ≈ 1,6·10⁻⁹ м.
Ответ: d ≈ 1,6·10⁻⁹ м.
Площадь пятна S = πD²/4 = 3,14 · (0,2 м)² / 4 ≈ 3,14·10⁻² м².
Слой мономолекулярный, поэтому размер молекулы d = V/S = 5·10⁻¹¹ / 3,14·10⁻² ≈ 1,6·10⁻⁹ м.
Ответ: d ≈ 1,6·10⁻⁹ м.
§ 57. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. Определите массу золотого слитка, содержащего то же количество атомов, что и железный брусок массой 0,5 кг. Молярные массы золота и железа определите по периодической таблице Менделеева.
Одинаковое число атомов означает одинаковое количество вещества: m₁/M₁ = m₂/M₂.
M(Fe) = 56·10⁻³ кг/моль, M(Au) = 197·10⁻³ кг/моль.
m(Au) = m(Fe)·M(Au)/M(Fe) = 0,5 кг · 197/56 ≈ 1,76 кг.
Ответ: m ≈ 1,76 кг.
M(Fe) = 56·10⁻³ кг/моль, M(Au) = 197·10⁻³ кг/моль.
m(Au) = m(Fe)·M(Au)/M(Fe) = 0,5 кг · 197/56 ≈ 1,76 кг.
Ответ: m ≈ 1,76 кг.
§ 57. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Определите объём золотого слитка, содержащего то же количество атомов, что и железный брусок объёмом 1 дм³. Плотность золота ρ₁ = 19,3·10³ кг/м³, плотность железа ρ₂ = 7,8·10³ кг/м³.
Количество вещества у слитка и бруска одинаково: ρ₁V₁/M₁ = ρ₂V₂/M₂, где M₁ = 197·10⁻³ кг/моль (золото), M₂ = 56·10⁻³ кг/моль (железо).
V₁ = V₂ · (ρ₂/ρ₁) · (M₁/M₂) = 1 дм³ · (7,8/19,3) · (197/56) ≈ 1,4 дм³.
Ответ: V₁ ≈ 1,4 дм³.
V₁ = V₂ · (ρ₂/ρ₁) · (M₁/M₂) = 1 дм³ · (7,8/19,3) · (197/56) ≈ 1,4 дм³.
Ответ: V₁ ≈ 1,4 дм³.