Глава 3. § 37. Примеры решения задач по теме «Силы трения» — с. 122
§ 37. Задача для самостоятельного решения 2. Груз массой 97 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, образующей угол 30° с горизонтом. Определите силу натяжения верёвки, если коэффициент трения равен 0,2.
Движение равномерное, a = 0. Силы: тяжести mg⃗, реакции опоры N⃗, трения F⃗тр и натяжения T⃗ под углом α = 30° к горизонту.
Ось OX вдоль движения: T cosα − Fтр = 0.
Ось OY вверх: N + T sinα − mg = 0, откуда N = mg − T sinα.
Fтр = μN = μ(mg − T sinα). Подставляя: T cosα = μmg − μT sinα, откуда
T = μmg / (cosα + μ sinα) = 0,2 · 97 · 9,8 / (0,866 + 0,2 · 0,5) ≈ 190,1 / 0,966 ≈ 197 Н.
Ответ: T ≈ 197 Н.
Оговорка: g = 9,8 м/с²; при g = 10 м/с² получилось бы ≈ 201 Н.
Ось OX вдоль движения: T cosα − Fтр = 0.
Ось OY вверх: N + T sinα − mg = 0, откуда N = mg − T sinα.
Fтр = μN = μ(mg − T sinα). Подставляя: T cosα = μmg − μT sinα, откуда
T = μmg / (cosα + μ sinα) = 0,2 · 97 · 9,8 / (0,866 + 0,2 · 0,5) ≈ 190,1 / 0,966 ≈ 197 Н.
Ответ: T ≈ 197 Н.
Оговорка: g = 9,8 м/с²; при g = 10 м/с² получилось бы ≈ 201 Н.
§ 37. Образец заданий ЕГЭ, задание 1. К покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности телу приложена нарастающая с течением времени сила тяги F = bt, где b — постоянная величина. На рисунке представлен график зависимости ускорения тела от времени действия силы. Определите коэффициент трения скольжения.
[рисунок: график a(t), a в м/с², t в с; от t = 0 до t = 2 с ускорение равно нулю (тело покоится), далее прямая линия вверх, проходящая через точки (3 с; 1 м/с²), (4 с; 2 м/с²), (5 с; 3 м/с²)]
[рисунок: график a(t), a в м/с², t в с; от t = 0 до t = 2 с ускорение равно нулю (тело покоится), далее прямая линия вверх, проходящая через точки (3 с; 1 м/с²), (4 с; 2 м/с²), (5 с; 3 м/с²)]
До момента t = 2 с ускорение равно нулю: тело покоится, так как сила тяги ещё не превысила максимальную силу трения покоя. С t = 2 с тело скользит, и по второму закону Ньютона ma = bt − μmg, то есть a = (b/m)t − μg.
Из графика наклон прямой Δa/Δt = (b/m) = 1 м/с³ (за каждую секунду ускорение растёт на 1 м/с²). При a = 0 в момент t = 2 с: (b/m) · 2 с = μg, откуда μg = 2 м/с², μ = 2 / 10 = 0,2. Проверка по точке (4 с; 2 м/с²): a = 1 · 4 − 2 = 2 м/с², верно.
Ответ: μ = 0,2 (при g = 10 м/с²; при g = 9,8 м/с² получилось бы ≈ 0,20).
Из графика наклон прямой Δa/Δt = (b/m) = 1 м/с³ (за каждую секунду ускорение растёт на 1 м/с²). При a = 0 в момент t = 2 с: (b/m) · 2 с = μg, откуда μg = 2 м/с², μ = 2 / 10 = 0,2. Проверка по точке (4 с; 2 м/с²): a = 1 · 4 − 2 = 2 м/с², верно.
Ответ: μ = 0,2 (при g = 10 м/с²; при g = 9,8 м/с² получилось бы ≈ 0,20).
§ 37. Образец заданий ЕГЭ, задание 2. По горизонтальной дороге мальчик тянет сани массой 30 кг за верёвку, направленную под углом 60° к плоскости дороги, с силой 100 Н. Коэффициент трения 0,12. Определите ускорение саней. Чему равен путь, пройденный санями за 5 с, если в начальный момент времени их скорость была равна нулю?
Ось OX вдоль дороги, OY вверх. Проекции второго закона Ньютона: ma = F cosα − Fтр, 0 = N + F sinα − mg. Отсюда N = mg − F sinα, Fтр = μ(mg − F sinα).
N = 30 · 10 − 100 · 0,866 ≈ 213,4 Н; Fтр = 0,12 · 213,4 ≈ 25,6 Н; F cosα = 100 · 0,5 = 50 Н.
a = (50 − 25,6) / 30 ≈ 0,81 ≈ 0,8 м/с².
Путь при v₀ = 0: s = at²/2 = 0,81 · 25 / 2 ≈ 10 м.
Ответ: a ≈ 0,8 м/с²; s ≈ 10 м.
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника.
N = 30 · 10 − 100 · 0,866 ≈ 213,4 Н; Fтр = 0,12 · 213,4 ≈ 25,6 Н; F cosα = 100 · 0,5 = 50 Н.
a = (50 − 25,6) / 30 ≈ 0,81 ≈ 0,8 м/с².
Путь при v₀ = 0: s = at²/2 = 0,81 · 25 / 2 ≈ 10 м.
Ответ: a ≈ 0,8 м/с²; s ≈ 10 м.
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника.
§ 37. Образец заданий ЕГЭ, задание 3. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем движется вниз. График зависимости модуля скорости шайбы от времени приведён на рисунке. Определите угол наклона плоскости к горизонту.
[рисунок: график v(t), v в м/с, t в с; модуль скорости убывает по прямой от 6 м/с при t = 0 до 0 при t = 4 с, затем возрастает по прямой от 0 при t = 4 с до 4 м/с при t = 8 с]
[рисунок: график v(t), v в м/с, t в с; модуль скорости убывает по прямой от 6 м/с при t = 0 до 0 при t = 4 с, затем возрастает по прямой от 0 при t = 4 с до 4 м/с при t = 8 с]
Вверх (0–4 с) шайба замедляется, сила трения направлена вниз вдоль склона: a₁ = (6 − 0)/4 = 1,5 м/с² = g(sinα + μ cosα).
Вниз (4–8 с) шайба разгоняется, трение направлено вверх по склону: a₂ = (4 − 0)/4 = 1 м/с² = g(sinα − μ cosα).
Складываем уравнения: a₁ + a₂ = 2g sinα, откуда sinα = (1,5 + 1) / (2 · 10) = 0,125, α = arcsin 0,125 ≈ 7,2°.
(Заодно μ cosα = (1,5 − 1)/(2 · 10) = 0,025.)
Ответ: α = arcsin 0,125 ≈ 7°.
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника.
Вниз (4–8 с) шайба разгоняется, трение направлено вверх по склону: a₂ = (4 − 0)/4 = 1 м/с² = g(sinα − μ cosα).
Складываем уравнения: a₁ + a₂ = 2g sinα, откуда sinα = (1,5 + 1) / (2 · 10) = 0,125, α = arcsin 0,125 ≈ 7,2°.
(Заодно μ cosα = (1,5 − 1)/(2 · 10) = 0,025.)
Ответ: α = arcsin 0,125 ≈ 7°.
Оговорка: g = 10 м/с², как в ответе учебника.