Глава 3. § 35. Примеры решения задач по теме «Силы упругости. Закон Гука» — с. 112
§ 35. Задача для самостоятельного решения 1. К динамометру привязан груз массой 2 кг. Динамометр с грузом опускают с ускорением 3 м/с². Жёсткость пружины 10³ Н/м. Определите модуль растяжения пружины динамометра.
На груз действуют сила тяжести mg вниз и сила упругости пружины F_упр вверх. Ускорение направлено вниз; ось OY направим вниз: ma = mg − F_упр, откуда F_упр = m(g − a). По закону Гука F_упр = kΔl, поэтому Δl = m(g − a)/k.
Δl = 2 · (10 − 3) / 10³ = 14/1000 = 0,014 м = 14 мм (g = 10 м/с²; при g = 9,8 м/с² получается 13,6 мм ≈ 14 мм).
Ответ: ≈ 14 мм.
Δl = 2 · (10 − 3) / 10³ = 14/1000 = 0,014 м = 14 мм (g = 10 м/с²; при g = 9,8 м/с² получается 13,6 мм ≈ 14 мм).
Ответ: ≈ 14 мм.
§ 35. Задача для самостоятельного решения 2. К бруску массой 1 кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплены две пружины [рисунок 3.20: брусок m на горизонтальной поверхности, слева и справа к нему прикреплены пружины, концы которых закреплены, стрелки показывают оттягивание в разные стороны]. Жёсткость правой пружины 2 · 10³ Н/м, левой — в 2 раза меньше. Чему равно отношение удлинений пружин в случае, когда брусок неподвижен?
Брусок неподвижен, трения нет, по вертикали сила тяжести уравновешена реакцией опоры, а по горизонтали на брусок действуют только силы упругости двух пружин. Равновесие требует равенства их модулей: F₁ = F₂, то есть k_л Δx_л = k_п Δx_п. Жёсткости: k_п = 2·10³ Н/м, k_л = k_п/2 = 10³ Н/м.
Отношение удлинений Δx_п/Δx_л = k_л/k_п = 10³/(2·10³) = 0,5. Правая (более жёсткая) пружина удлинена в два раза меньше левой.
Ответ: Δx_п/Δx_л = 0,5 (обратное отношение Δx_л/Δx_п = 2).
Отношение удлинений Δx_п/Δx_л = k_л/k_п = 10³/(2·10³) = 0,5. Правая (более жёсткая) пружина удлинена в два раза меньше левой.
Ответ: Δx_п/Δx_л = 0,5 (обратное отношение Δx_л/Δx_п = 2).
§ 35. Задача для самостоятельного решения 3. Ящик массой 100 кг удерживается на наклонной плоскости на высоте 0,5 м закреплённой у основания пружиной, жёсткость которой равна 10⁴ Н/м (рис. 3.21) [рисунок 3.21: наклонная плоскость, у основания закреплена пружина, на другом её конце ящик m на высоте h]. Определите длину пружины в недеформированном состоянии. Угол у основания наклонной плоскости равен 30°. Трением можно пренебречь.
Ящик покоится: mg⃗ + N⃗ + F⃗_упр = 0. В проекции на ось вдоль плоскости (вверх по склону): F_упр − mg·sin α = 0, значит F_упр = mg·sin α = 100 · 10 · 0,5 = 500 Н (g = 10 м/с²). Пружина поддерживает ящик снизу, поэтому она сжата, и её сжатие по закону Гука x = F_упр/k = 500/10⁴ = 0,05 м.
Длина пружины под ящиком: l = h/sin α = 0,5/0,5 = 1 м. Длина в недеформированном состоянии l₀ = l + x = 1 + 0,05 = 1,05 м.
Ответ: l₀ ≈ 1,05 м (при g = 9,8 м/с² получается 1,049 м ≈ 1,05 м).
Длина пружины под ящиком: l = h/sin α = 0,5/0,5 = 1 м. Длина в недеформированном состоянии l₀ = l + x = 1 + 0,05 = 1,05 м.
Ответ: l₀ ≈ 1,05 м (при g = 9,8 м/с² получается 1,049 м ≈ 1,05 м).
§ 35. Задача для самостоятельного решения 4. К нижнему концу лёгкой пружины подвешены связанные невесомой нитью грузы: верхний массой m₁ = 0,5 кг и нижний массой m₂ = 0,2 кг. Нить, соединяющую грузы, пережигают. Определите проекцию ускорения на направленную вниз ось OY, с которым начнёт двигаться верхний груз.
До пережигания система в равновесии, и пружина растянута силой F_упр = (m₁ + m₂)g. В первый момент после пережигания нити растяжение пружины ещё не успело измениться (деформация не меняется мгновенно), поэтому сила упругости остаётся прежней: F_упр = (m₁ + m₂)g, направлена вверх. На верхний груз действуют ещё сила тяжести m₁g вниз. Ось OY вниз: m₁a_y = m₁g − F_упр = m₁g − (m₁ + m₂)g = −m₂g.
a_y = −m₂g/m₁ = −0,2 · 10/0,5 = −4 м/с² (g = 10 м/с²).
Знак «минус»: ускорение направлено вверх.
Ответ: a_y = −4 м/с² (модуль 4 м/с², направлено вверх).
a_y = −m₂g/m₁ = −0,2 · 10/0,5 = −4 м/с² (g = 10 м/с²).
Знак «минус»: ускорение направлено вверх.
Ответ: a_y = −4 м/с² (модуль 4 м/с², направлено вверх).