Глава 2. Электрические явления. § 41. Расчёт сопротивления проводника. Удельное сопротивление — с. 155
§ 41. Вопрос 1. Как зависит сопротивление проводника от его длины и от площади поперечного сечения?
Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине: если длину увеличить в несколько раз, во столько же раз возрастёт сопротивление (электрическим зарядам приходится дольше двигаться «сквозь» вещество проводника). Сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения: чем проводник толще, тем больше зарядов одновременно проходит через него и тем меньше его сопротивление. Если площадь сечения увеличить в 2 раза, сопротивление уменьшится в 2 раза. Кроме того, сопротивление зависит от рода вещества проводника.
§ 41. Вопрос 2. Объясните выбор проводников в опыте, изображённом на рисунке 102. [на рисунке: на доске натянуты четыре проводника; цепь из источника, ключа, амперметра и вольтметра, подключённых к проводникам]
Чтобы выяснить, как сопротивление зависит от одной величины, нужно менять только её, а остальные оставлять неизменными. Поэтому проводники подобраны парами. Два никелиновых проводника одинаковой толщины, но разной длины показывают зависимость сопротивления от длины: сечение и вещество одинаковы, различается только длина. Два никелиновых проводника одинаковой длины, но разной толщины показывают зависимость от площади сечения. Никелиновый и нихромовый проводники одинаковых размеров показывают зависимость от рода вещества. Сопротивление каждого проводника определяют по закону Ома R = U/I: вольтметром измеряют напряжение на проводнике, амперметром силу тока в нём. Сравнение полученных значений R подтверждает выводы Ома: R прямо пропорционально l, обратно пропорционально S и зависит от вещества.
§ 41. Вопрос 3. Что показывает удельное сопротивление проводника?
Удельное сопротивление ρ показывает, каким сопротивлением обладает проводник длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из данного вещества. Это характеристика вещества, а не конкретного проводника: чем меньше ρ, тем лучше вещество проводит ток. Например, у меди ρ = 0,017 Ом·мм²/м, у нихрома 1,1 Ом·мм²/м, поэтому при одинаковых размерах нихромовый проводник имеет сопротивление примерно в 65 раз больше медного.
§ 41. Вопрос 4. По какой формуле можно рассчитать сопротивление проводника?
Сопротивление проводника рассчитывают по формуле R = ρl/S, где ρ — удельное сопротивление вещества проводника, l — его длина, S — площадь поперечного сечения. Из неё следует, что сопротивление растёт с увеличением длины и удельного сопротивления и убывает с ростом площади сечения. Значение ρ берут из таблицы 9.
§ 41. Вопрос 5. Какова единица удельного сопротивления?
Из формулы ρ = RS/l следует, что единица удельного сопротивления равна единице сопротивления, умноженной на единицу площади и делённой на единицу длины: Ом·м²/м = Ом·м (ом-метр). Так как площадь сечения проводов обычно измеряют в мм², часто используют единицу Ом·мм²/м. Они связаны так: 1 Ом·м = 10⁶ Ом·мм²/м, так как 1 м² = 10⁶ мм². Например, ρ меди = 0,017 Ом·мм²/м = 1,7·10⁻⁸ Ом·м.
§ 41. Дополнительный вопрос 1. Удельное сопротивление меди равно 1,7·10⁻⁸ Ом·м. Что это означает?
Это означает, что медный проводник длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м² имеет сопротивление 1,7·10⁻⁸ Ом. Такое же значение можно записать в других единицах: 0,017 Ом·мм²/м, то есть медный провод длиной 1 м и сечением 1 мм² имеет сопротивление 0,017 Ом. Столь малое значение показывает, что медь — очень хороший проводник, поэтому из неё делают провода.
Упражнение 33. Задача 1. Каково сопротивление нихромовой проволоки длиной 1 м, если её площадь поперечного сечения 1 мм²?
Дано: l = 1 м; S = 1 мм²; ρ = 1,1 Ом·мм²/м (таблица 9).
Найти: R.
Решение: R = ρl/S = 1,1 Ом·мм²/м · 1 м / 1 мм² = 1,1 Ом.
Ответ: R = 1,1 Ом (по определению это и есть удельное сопротивление нихрома).
Найти: R.
Решение: R = ρl/S = 1,1 Ом·мм²/м · 1 м / 1 мм² = 1,1 Ом.
Ответ: R = 1,1 Ом (по определению это и есть удельное сопротивление нихрома).
Упражнение 33. Задача 2. Имеется два проводника одинакового сечения, изготовленных из одного материала. Длина одного 10 см, другого 60 см. Какой проводник имеет большое сопротивление и во сколько раз?
Дано: S₁ = S₂; ρ₁ = ρ₂; l₁ = 10 см; l₂ = 60 см.
Найти: R₂/R₁.
Решение: R = ρl/S, поэтому при одинаковых ρ и S сопротивление пропорционально длине: R₂/R₁ = l₂/l₁ = 60 см / 10 см = 6.
Ответ: большее сопротивление у второго (более длинного) проводника, в 6 раз.
Найти: R₂/R₁.
Решение: R = ρl/S, поэтому при одинаковых ρ и S сопротивление пропорционально длине: R₂/R₁ = l₂/l₁ = 60 см / 10 см = 6.
Ответ: большее сопротивление у второго (более длинного) проводника, в 6 раз.
Упражнение 33. Задача 3. Имеется два медных проводника одинаковой длины. У одного площадь поперечного сечения 1 мм², у другого — 5 мм². У какого проводника сопротивление меньше и во сколько раз?
Дано: l₁ = l₂; ρ₁ = ρ₂ (медь); S₁ = 1 мм²; S₂ = 5 мм².
Найти: R₁/R₂.
Решение: при одинаковых ρ и l сопротивление обратно пропорционально площади сечения: R₁/R₂ = S₂/S₁ = 5 мм² / 1 мм² = 5.
Ответ: сопротивление меньше у второго проводника (с сечением 5 мм²), в 5 раз.
Найти: R₁/R₂.
Решение: при одинаковых ρ и l сопротивление обратно пропорционально площади сечения: R₁/R₂ = S₂/S₁ = 5 мм² / 1 мм² = 5.
Ответ: сопротивление меньше у второго проводника (с сечением 5 мм²), в 5 раз.
Упражнение 33. Задача 4. Имеется два проводника одинаковой площади поперечного сечения и длины: медный и вольфрамовый. Какой проводник имеет большее сопротивление и во сколько раз?
Дано: S₁ = S₂; l₁ = l₂; ρм = 0,017 Ом·мм²/м (медь); ρв = 0,055 Ом·мм²/м (вольфрам) (таблица 9).
Найти: Rв/Rм.
Решение: при равных l и S сопротивление пропорционально удельному сопротивлению: Rв/Rм = ρв/ρм = 0,055 / 0,017 ≈ 3,2.
Ответ: большее сопротивление у вольфрамового проводника, примерно в 3,2 раза.
Найти: Rв/Rм.
Решение: при равных l и S сопротивление пропорционально удельному сопротивлению: Rв/Rм = ρв/ρм = 0,055 / 0,017 ≈ 3,2.
Ответ: большее сопротивление у вольфрамового проводника, примерно в 3,2 раза.
Упражнение 33. Задача 5. Кусок проволоки без изоляции разрезали пополам и половинки свили вместе. Изменилось ли сопротивление проволоки и во сколько раз?
Дано: проволока длиной l и сечением S; после разрезания пополам и скручивания двух половинок параллельно: l' = l/2, S' = 2S.
Найти: R'/R.
Решение: сначала R = ρl/S. После скручивания длина проводника стала в 2 раза меньше, а общая площадь сечения (две проволоки рядом) — в 2 раза больше: R' = ρ(l/2)/(2S) = ρl/(4S) = R/4.
Ответ: сопротивление изменилось: уменьшилось в 4 раза.
Найти: R'/R.
Решение: сначала R = ρl/S. После скручивания длина проводника стала в 2 раза меньше, а общая площадь сечения (две проволоки рядом) — в 2 раза больше: R' = ρ(l/2)/(2S) = ρl/(4S) = R/4.
Ответ: сопротивление изменилось: уменьшилось в 4 раза.
Упражнение 33. Задача 6. Сколько метров вольфрамового провода площадью поперечного сечения 0,1 мм² потребуется для изготовления резистора сопротивлением 180 Ом?
Дано: S = 0,1 мм²; R = 180 Ом; ρ = 0,055 Ом·мм²/м (вольфрам).
Найти: l.
Решение: R = ρl/S, откуда l = RS/ρ = 180 Ом · 0,1 мм² / (0,055 Ом·мм²/м) ≈ 327,3 м.
Ответ: l ≈ 327,3 м.
Найти: l.
Решение: R = ρl/S, откуда l = RS/ρ = 180 Ом · 0,1 мм² / (0,055 Ом·мм²/м) ≈ 327,3 м.
Ответ: l ≈ 327,3 м.
Упражнение 33. Задача 7. Провод стационарного телефона состоит из 20 медных проволочек площадью поперечного сечения 0,05 мм² каждая. Определите сопротивление 1,5 м такого провода.
Дано: n = 20; S₁ = 0,05 мм²; l = 1,5 м; ρ = 0,017 Ом·мм²/м (медь).
Найти: R.
Решение: проволочки проходят вдоль провода параллельно, поэтому общая площадь сечения S = nS₁ = 20 · 0,05 мм² = 1 мм². R = ρl/S = 0,017 Ом·мм²/м · 1,5 м / 1 мм² = 0,0255 Ом = 25,5 мОм.
Ответ: R ≈ 25,5 мОм.
Найти: R.
Решение: проволочки проходят вдоль провода параллельно, поэтому общая площадь сечения S = nS₁ = 20 · 0,05 мм² = 1 мм². R = ρl/S = 0,017 Ом·мм²/м · 1,5 м / 1 мм² = 0,0255 Ом = 25,5 мОм.
Ответ: R ≈ 25,5 мОм.
Задание 20. Пункт 1. Проанализируйте данные таблицы 9 и выскажите предположение, какие вещества из приведённых в таблице являются хорошими проводниками, а какие — совершенно точно диэлектриками. Проверьте себя, используя данные Интернета.
Анализ таблицы 9. Чем меньше удельное сопротивление, тем лучше вещество проводит ток. Самые малые значения ρ (0,016–0,21 Ом·мм²/м) имеют металлы: серебро (0,016), медь (0,017), золото (0,024), алюминий (0,028), вольфрам (0,055), железо (0,10), свинец (0,21) — это хорошие проводники. Сплавы никелин (0,40), манганин (0,43), константан (0,50), нихром (1,1), фехраль (1,3) тоже проводят ток, но заметно хуже; их применяют там, где нужно большое сопротивление (нагреватели, реостаты). Ртуть (0,96) — жидкий металл, проводник. Графит (13 Ом·мм²/м) проводит ток существенно хуже металлов, но всё же является проводником (полупроводником по свойствам). Фарфор (10¹⁷) и эбонит (10²⁰ Ом·мм²/м) имеют колоссальное удельное сопротивление, в 10¹⁷–10²¹ раз больше, чем у металлов, — они практически не проводят ток и являются диэлектриками (изоляторами).
Проверка. Справочные данные подтверждают предположение: металлы и сплавы — проводники, графит — проводящий материал, а фарфор и эбонит применяют как изоляторы (фарфоровые изоляторы на линиях электропередачи, эбонитовые корпуса и ручки приборов).
Проверка. Справочные данные подтверждают предположение: металлы и сплавы — проводники, графит — проводящий материал, а фарфор и эбонит применяют как изоляторы (фарфоровые изоляторы на линиях электропередачи, эбонитовые корпуса и ручки приборов).
Задание 20. Пункт 2. Из металлической фольги изготовьте проводники с различным сопротивлением так, чтобы их сопротивления отличались в 2, 3, 5, 10 раз. Обоснуйте правильность выполнения задания.
Ход выполнения. Сопротивление определяется формулой R = ρl/S. Полоски вырезают из одного листа фольги (одинаковые ρ и толщина), поэтому площадь сечения S = (ширина)·(толщина) определяется шириной полоски. Берём линейку и ножницы и вырезаем полоски одинаковой ширины, например 10 мм: первая длиной 10 см (принимаем её сопротивление за R), вторая 20 см, третья 30 см, четвёртая 50 см, пятая 100 см.
Обоснование. При одинаковых ρ и S отношение сопротивлений равно отношению длин: R₂/R₁ = 20/10 = 2; R₃/R₁ = 30/10 = 3; R₄/R₁ = 50/10 = 5; R₅/R₁ = 100/10 = 10. Можно поступить иначе: вырезать полоски одинаковой длины, но с шириной 10 мм, 5 мм, 3,3 мм, 2 мм, 1 мм; тогда сопротивления обратно пропорциональны ширине и отличаются в 2, 3, 5, 10 раз (R₂/R₁ = 10/5 = 2 и т. д.).
Проверка. Включают каждую полоску в цепь с источником и измеряют сопротивление R = U/I (амперметром и вольтметром) или омметром; полученные отношения должны совпасть с заданными с точностью порядка 10 % (сопротивления полосок малы, поэтому нужны аккуратные контакты).
Оговорка: значения сопротивлений зависят от фольги и прибора; задание проверяется отношениями размеров.
Обоснование. При одинаковых ρ и S отношение сопротивлений равно отношению длин: R₂/R₁ = 20/10 = 2; R₃/R₁ = 30/10 = 3; R₄/R₁ = 50/10 = 5; R₅/R₁ = 100/10 = 10. Можно поступить иначе: вырезать полоски одинаковой длины, но с шириной 10 мм, 5 мм, 3,3 мм, 2 мм, 1 мм; тогда сопротивления обратно пропорциональны ширине и отличаются в 2, 3, 5, 10 раз (R₂/R₁ = 10/5 = 2 и т. д.).
Проверка. Включают каждую полоску в цепь с источником и измеряют сопротивление R = U/I (амперметром и вольтметром) или омметром; полученные отношения должны совпасть с заданными с точностью порядка 10 % (сопротивления полосок малы, поэтому нужны аккуратные контакты).
Оговорка: значения сопротивлений зависят от фольги и прибора; задание проверяется отношениями размеров.