Глава 2. Взаимодействие тел. § 24. Расчёт массы и объёма тела по его плотности — с. 83
§ 24. Дополнительный вопрос. Докажите, что масса тела, изготовленного из данного вещества, прямо пропорциональна его объёму.
Плотность вещества ρ показывает, чему равна масса единицы объёма, и для данного вещества она постоянна (при неизменных условиях). По определению ρ = m/V, откуда m = ρV.
Пусть объём тела увеличили в k раз: V₂ = kV₁. Тогда m₂ = ρV₂ = ρ·kV₁ = k·ρV₁ = k·m₁. То есть во сколько раз вырос объём, во столько же раз выросла масса.
Отношение m/V для любых тел из одного вещества одно и то же и равно ρ. Это и есть прямая пропорциональность, а плотность служит коэффициентом пропорциональности.
Наглядный пример: 1 м³ воды имеет массу 1000 кг, 2 м³ — 2000 кг, 0,5 м³ — 500 кг. График зависимости m от V — прямая линия, проходящая через начало координат.
Пусть объём тела увеличили в k раз: V₂ = kV₁. Тогда m₂ = ρV₂ = ρ·kV₁ = k·ρV₁ = k·m₁. То есть во сколько раз вырос объём, во столько же раз выросла масса.
Отношение m/V для любых тел из одного вещества одно и то же и равно ρ. Это и есть прямая пропорциональность, а плотность служит коэффициентом пропорциональности.
Наглядный пример: 1 м³ воды имеет массу 1000 кг, 2 м³ — 2000 кг, 0,5 м³ — 500 кг. График зависимости m от V — прямая линия, проходящая через начало координат.
Упражнение 13. Задача 1. Какова масса 0,5 л воды; бензина; масла машинного?
Дано: V = 0,5 л = 0,5 дм³ = 0,0005 м³; ρ_воды = 1000 кг/м³; ρ_бензина = 710 кг/м³; ρ_масла = 900 кг/м³ (таблица 4).
Найти: m_воды, m_бензина, m_масла.
Решение: m = ρV.
m_воды = 1000 кг/м³ · 0,0005 м³ = 0,5 кг.
m_бензина = 710 кг/м³ · 0,0005 м³ = 0,355 кг.
m_масла = 900 кг/м³ · 0,0005 м³ = 0,45 кг.
Ответ: 0,5 кг воды; 0,355 кг бензина; 0,45 кг машинного масла.
Найти: m_воды, m_бензина, m_масла.
Решение: m = ρV.
m_воды = 1000 кг/м³ · 0,0005 м³ = 0,5 кг.
m_бензина = 710 кг/м³ · 0,0005 м³ = 0,355 кг.
m_масла = 900 кг/м³ · 0,0005 м³ = 0,45 кг.
Ответ: 0,5 кг воды; 0,355 кг бензина; 0,45 кг машинного масла.
Упражнение 13. Задача 2. Две бочки наполнены горючим: одна — бензином, другая — керосином. Объём бочки с керосином в 3 раза больше объёма бочки с бензином. Определите, во сколько раз отличаются массы бензина и керосина в бочках.
Дано: V_к = 3V_б; ρ_б = 710 кг/м³; ρ_к = 800 кг/м³.
Найти: m_б/m_к.
Решение: m_б = ρ_б·V_б; m_к = ρ_к·V_к = ρ_к·3V_б.
m_б/m_к = ρ_б·V_б/(3ρ_к·V_б) = ρ_б/(3ρ_к) = 710/(3·800) = 710/2400 ≈ 0,3.
Обратное отношение: m_к/m_б = 2400/710 ≈ 3,4.
Ответ: масса бензина примерно в 0,3 раза от массы керосина, то есть масса керосина примерно в 3,4 раза больше массы бензина.
Найти: m_б/m_к.
Решение: m_б = ρ_б·V_б; m_к = ρ_к·V_к = ρ_к·3V_б.
m_б/m_к = ρ_б·V_б/(3ρ_к·V_б) = ρ_б/(3ρ_к) = 710/(3·800) = 710/2400 ≈ 0,3.
Обратное отношение: m_к/m_б = 2400/710 ≈ 3,4.
Ответ: масса бензина примерно в 0,3 раза от массы керосина, то есть масса керосина примерно в 3,4 раза больше массы бензина.
Упражнение 13. Задача 3. Каков объём бензобака автомобиля, вмещающего 32 кг бензина?
Дано: m = 32 кг; ρ = 710 кг/м³ (таблица 4).
Найти: V.
Решение: V = m/ρ = 32 кг : 710 кг/м³ ≈ 0,045 м³ = 45 дм³ = 45 л.
Ответ: V ≈ 45 л.
Найти: V.
Решение: V = m/ρ = 32 кг : 710 кг/м³ ≈ 0,045 м³ = 45 дм³ = 45 л.
Ответ: V ≈ 45 л.
Упражнение 13. Задача 4. В аквариум длиной 30 см и шириной 20 см налита вода на высоту 25 см. Определите массу воды в аквариуме.
Дано: a = 30 см = 0,3 м; b = 20 см = 0,2 м; h = 25 см = 0,25 м; ρ = 1000 кг/м³.
Найти: m.
Решение: вода занимает объём прямоугольного параллелепипеда: V = a·b·h = 0,3 м · 0,2 м · 0,25 м = 0,015 м³.
Масса воды: m = ρV = 1000 кг/м³ · 0,015 м³ = 15 кг.
Ответ: m = 15 кг.
Найти: m.
Решение: вода занимает объём прямоугольного параллелепипеда: V = a·b·h = 0,3 м · 0,2 м · 0,25 м = 0,015 м³.
Масса воды: m = ρV = 1000 кг/м³ · 0,015 м³ = 15 кг.
Ответ: m = 15 кг.
Упражнение 13. Задача 5. Каков объём мраморной глыбы массой 6,75 т?
Дано: m = 6,75 т = 6750 кг; ρ = 2700 кг/м³ (плотность мрамора, таблица 3).
Найти: V.
Решение: V = m/ρ = 6750 кг : 2700 кг/м³ = 2,5 м³.
Ответ: V = 2,5 м³.
Найти: V.
Решение: V = m/ρ = 6750 кг : 2700 кг/м³ = 2,5 м³.
Ответ: V = 2,5 м³.
Упражнение 13. Задача 6. Деталь, отлитая из меди, имеет массу M. Чему будет равна масса такой же детали, выполненной из дерева?
Дано: m_меди = M; ρ_меди = 8900 кг/м³; ρ_дерева (сосна, дуб и т. п., по таблице 3) — меньше меди.
Найти: m_дер.
Решение: «Такая же деталь» означает тот же объём V. Для медной детали V = M/ρ_мед. Для деревянной детали m_дер = ρ_дер·V = ρ_дер·M/ρ_мед.
Ответ: m_дер = (ρ_дер/ρ_мед)·M. Например, для сосны (ρ = 400 кг/м³) m ≈ 400/8900·M ≈ 0,045 M, то есть деревянная деталь легче медной примерно в 22 раза.
Найти: m_дер.
Решение: «Такая же деталь» означает тот же объём V. Для медной детали V = M/ρ_мед. Для деревянной детали m_дер = ρ_дер·V = ρ_дер·M/ρ_мед.
Ответ: m_дер = (ρ_дер/ρ_мед)·M. Например, для сосны (ρ = 400 кг/м³) m ≈ 400/8900·M ≈ 0,045 M, то есть деревянная деталь легче медной примерно в 22 раза.
Задание 19. Пункт 1. Придумайте несколько задач, используя данные таблиц 3—5. Обменяйтесь с товарищами условиями задач и решите их.
Примеры задач и их решения.
Задача 1. Чему равна масса 2 л ртути? Дано: V = 2 л = 0,002 м³; ρ = 13 600 кг/м³. Решение: m = ρV = 13 600 · 0,002 = 27,2 кг. Ответ: 27,2 кг.
Задача 2. Каков объём куска свинца массой 5,65 кг? Дано: m = 5,65 кг; ρ = 11 300 кг/м³. Решение: V = m/ρ = 5,65 : 11 300 = 0,0005 м³ = 500 см³. Ответ: 500 см³.
Задача 3. Комната имеет размеры 5 м × 4 м × 2,5 м. Какова масса воздуха в ней (плотность воздуха 1,3 кг/м³)? Решение: V = 5 · 4 · 2,5 = 50 м³; m = 1,3 · 50 = 65 кг. Ответ: 65 кг.
Задача 4. Что тяжелее и во сколько раз: кубометр керосина (800 кг/м³) или кубометр подсолнечного масла (930 кг/м³)? Решение: 930 : 800 ≈ 1,16. Ответ: масло тяжелее примерно в 1,16 раза.
При обмене нужно проверить, что все величины переведены в СИ и что ответ имеет разумный порядок.
Задача 1. Чему равна масса 2 л ртути? Дано: V = 2 л = 0,002 м³; ρ = 13 600 кг/м³. Решение: m = ρV = 13 600 · 0,002 = 27,2 кг. Ответ: 27,2 кг.
Задача 2. Каков объём куска свинца массой 5,65 кг? Дано: m = 5,65 кг; ρ = 11 300 кг/м³. Решение: V = m/ρ = 5,65 : 11 300 = 0,0005 м³ = 500 см³. Ответ: 500 см³.
Задача 3. Комната имеет размеры 5 м × 4 м × 2,5 м. Какова масса воздуха в ней (плотность воздуха 1,3 кг/м³)? Решение: V = 5 · 4 · 2,5 = 50 м³; m = 1,3 · 50 = 65 кг. Ответ: 65 кг.
Задача 4. Что тяжелее и во сколько раз: кубометр керосина (800 кг/м³) или кубометр подсолнечного масла (930 кг/м³)? Решение: 930 : 800 ≈ 1,16. Ответ: масло тяжелее примерно в 1,16 раза.
При обмене нужно проверить, что все величины переведены в СИ и что ответ имеет разумный порядок.
Задание 19. Пункт 2. Составьте план эксперимента по сравнению плотности воды и молока, предложите его одноклассникам. В эксперименте используйте стакан и весы с разновесами.
Идея: плотность ρ = m/V. Если взять одинаковые объёмы воды и молока, то вещество с большей массой имеет большую плотность. Для этого нужен один и тот же стакан, налитый до одной и той же отметки.
План.
1. Уравновесить весы и найти массу пустого сухого стакана m₀ с помощью разновесов.
2. Налить воду в стакан до выбранной метки (например, 200 мл, чтобы объём был известен), взвесить: m₁. Масса воды m_в = m₁ − m₀.
3. Вылить воду, вытереть стакан, налить молоко до той же метки, взвесить: m₂. Масса молока m_м = m₂ − m₀.
4. Сравнить m_в и m_м. Вычислить плотности ρ = m/V для воды и молока и их отношение.
Ожидаемый результат (типичный): m₀ = 120 г, m₁ = 320 г (вода 200 г, ρ = 1,00 г/см³), m₂ = 326 г (молоко 206 г, ρ = 1,03 г/см³). Молоко плотнее воды примерно на 3 %.
Вывод: плотность цельного молока больше плотности воды. Значения зависят от точности весов и жирности молока.
План.
1. Уравновесить весы и найти массу пустого сухого стакана m₀ с помощью разновесов.
2. Налить воду в стакан до выбранной метки (например, 200 мл, чтобы объём был известен), взвесить: m₁. Масса воды m_в = m₁ − m₀.
3. Вылить воду, вытереть стакан, налить молоко до той же метки, взвесить: m₂. Масса молока m_м = m₂ − m₀.
4. Сравнить m_в и m_м. Вычислить плотности ρ = m/V для воды и молока и их отношение.
Ожидаемый результат (типичный): m₀ = 120 г, m₁ = 320 г (вода 200 г, ρ = 1,00 г/см³), m₂ = 326 г (молоко 206 г, ρ = 1,03 г/см³). Молоко плотнее воды примерно на 3 %.
Вывод: плотность цельного молока больше плотности воды. Значения зависят от точности весов и жирности молока.