Глава 4. Работа и мощность. Энергия. § 60. Превращение механической энергии одного вида в другой — с. 205
§ 60. Дополнительный вопрос. Что, по вашему мнению, вносит наибольший вклад в энергию вылетающей из лука стрелы — корпус лука или тетива?
Энергия, которую получает стрела, — это кинетическая энергия, взятая из потенциальной энергии упруго деформированного лука. Когда стрелок натягивает лук, его работа идёт на сгибание плеч лука (корпуса) и на растяжение тетивы. Тетиву делают из прочных практически нерастяжимых волокон: сила её натяжения велика, но удлинение составляет лишь доли процента, поэтому энергия упругой деформации самой тетивы мала. Плечи лука, напротив, сильно изгибаются, и в них накапливается почти вся потенциальная энергия. Оценка: при средней силе натяжения около 150 Н и ходе тетивы около 0,6 м запасённая энергия порядка 0,5 · 150 Н · 0,6 м ≈ 45 Дж; растяжение тетивы на 1–2 мм даёт вклад лишь в десятые доли джоуля, то есть около 1 %. Поэтому наибольший вклад вносит корпус лука, а тетива служит для передачи силы упругости стреле и для того, чтобы стрелок мог растянуть лук на большое расстояние. Оговорка: оценка приблизительная; часть энергии теряется на нагревание и колебания плеч лука.
Упражнение 39. Задача 1. Стальной шарик висит на нити. Отклоним его в сторону и отпустим. Какие превращения энергии при этом происходят?
Отклоняя шарик в сторону, мы поднимаем его над самым низким положением, и шарик приобретает потенциальную энергию (в крайнем положении скорость равна нулю, кинетическая энергия равна нулю). После того как шарик отпустили, он движется вниз по дуге: его высота уменьшается, и потенциальная энергия переходит в кинетическую. В нижней точке траектории потенциальная энергия наименьшая, а кинетическая (скорость) наибольшая. Далее шарик по инерции поднимается по дуге на противоположную сторону, скорость уменьшается и кинетическая энергия переходит в потенциальную; в крайней точке шарик на мгновение останавливается. Затем процесс повторяется. Если пренебречь сопротивлением воздуха и трением в подвесе, механическая энергия остаётся постоянной, а шарик поднимается на ту же высоту. В действительности из-за трения о воздух часть механической энергии переходит во внутреннюю, поэтому размах колебаний постепенно уменьшается.
Упражнение 39. Задача 2. Мяч массой 100 г подброшен с поверхности земли вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Чему равна его потенциальная энергия в высшей точке подъёма?
Дано: m = 100 г = 0,1 кг; v = 20 м/с; в высшей точке v₁ = 0.
Найти: Eп.
Решение: В момент броска (на поверхности земли, h = 0) потенциальная энергия мяча равна нулю, а кинетическая Eк = mv²/2. В высшей точке скорость равна нулю, значит, кинетическая энергия равна нулю, и вся механическая энергия стала потенциальной. По закону сохранения механической энергии (сопротивлением воздуха пренебрегаем) Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2, то есть mv²/2 + 0 = 0 + Eп. Отсюда Eп = mv²/2.
Eп = 0,1 кг · (20 м/с)² / 2 = 0,1 · 400 / 2 = 20 Дж.
Проверка: высота подъёма h = v²/(2g) = 400 / (2 · 9,8) ≈ 20,4 м; Eп = mgh = 0,1 кг · 9,8 Н/кг · 20,4 м ≈ 20 Дж. Результаты совпадают.
Ответ: потенциальная энергия мяча в высшей точке равна 20 Дж.
Найти: Eп.
Решение: В момент броска (на поверхности земли, h = 0) потенциальная энергия мяча равна нулю, а кинетическая Eк = mv²/2. В высшей точке скорость равна нулю, значит, кинетическая энергия равна нулю, и вся механическая энергия стала потенциальной. По закону сохранения механической энергии (сопротивлением воздуха пренебрегаем) Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2, то есть mv²/2 + 0 = 0 + Eп. Отсюда Eп = mv²/2.
Eп = 0,1 кг · (20 м/с)² / 2 = 0,1 · 400 / 2 = 20 Дж.
Проверка: высота подъёма h = v²/(2g) = 400 / (2 · 9,8) ≈ 20,4 м; Eп = mgh = 0,1 кг · 9,8 Н/кг · 20,4 м ≈ 20 Дж. Результаты совпадают.
Ответ: потенциальная энергия мяча в высшей точке равна 20 Дж.
Задание 41. Пункт 1. Проверьте на опыте закон сохранения энергии. Для этого сделайте наклонную плоскость, например, из кабель-канала. Высоту подберите таким образом, чтобы брусок начинал движение из верхней точки без вашей помощи. Движение бруска по наклонной плоскости прямолинейное равноускоренное с начальной скоростью, равной нулю. В этом случае скорость бруска у основания наклонной плоскости можно определить по формуле v = 2l/t, где l — длина наклонной плоскости, t — время движения. Учитывая, что потенциальная энергия тела Eп = mgh, а кинетическая — Eк = mv²/2, можно сравнивать значения gh и v²/2. Обсудите результаты опыта с одноклассниками и учителем. Какой вывод можно сделать на основе полученных результатов?
Подготовка. Берём отрезок кабель-канала длиной l = 1,00 м и кладём на край стола или на книги, чтобы получилась наклонная плоскость. Высоту h верхнего конца над столом измеряем линейкой. Подбираем высоту так, чтобы брусок, поставленный у верхнего края, начинал скользить без толчка. Потенциальная энергия бруска вверху равна mgh, кинетическая внизу — mv²/2. Так как масса m входит в обе величины, достаточно сравнивать gh и v²/2 (энергии, отнесённые к единице массы).
Ход опыта. Отпускаем брусок у верхнего края и секундомером измеряем время t скольжения до основания плоскости; для каждой высоты опыт повторяем 3 раза и берём среднее время. Скорость внизу находим по формуле v = 2l/t (при равноускоренном движении без начальной скорости средняя скорость равна v/2, поэтому l = vt/2).
Результаты типичного опыта приведены в таблице (рисунок), g = 9,8 Н/кг. Пример расчёта для h = 0,40 м: t = (0,76 + 0,77 + 0,78)/3 = 0,77 с; v = 2 · 1,00 м / 0,77 с ≈ 2,60 м/с; v²/2 = 2,60² / 2 ≈ 3,38 м²/с²; gh = 9,8 · 0,40 = 3,92 м²/с²; отношение (v²/2)/(gh) = 3,38/3,92 ≈ 0,86. Для h = 0,30 м получаем 2,35/2,94 ≈ 0,80, для h = 0,50 м — 4,32/4,90 ≈ 0,88.
Вывод. Значения gh и v²/2 близки (кинетическая энергия внизу составляет 80–88 % от начальной потенциальной энергии), причём чем больше высота, тем лучше совпадение. Это подтверждает, что потенциальная энергия бруска переходит в кинетическую. Небольшое различие (10–20 %) объясняется силой трения скольжения бруска о плоскость: на работу против неё идёт часть энергии, которая переходит во внутреннюю энергию бруска и плоскости, а также погрешностью измерения времени (около 0,01 с). Если уменьшить трение (гладкая поверхность, брусок на колёсиках), отношение приближается к единице, то есть закон сохранения механической энергии выполняется тем точнее, чем меньше трение.
Оговорка: числовые значения получены для типичного оборудования и могут отличаться.
Ход опыта. Отпускаем брусок у верхнего края и секундомером измеряем время t скольжения до основания плоскости; для каждой высоты опыт повторяем 3 раза и берём среднее время. Скорость внизу находим по формуле v = 2l/t (при равноускоренном движении без начальной скорости средняя скорость равна v/2, поэтому l = vt/2).
Результаты типичного опыта приведены в таблице (рисунок), g = 9,8 Н/кг. Пример расчёта для h = 0,40 м: t = (0,76 + 0,77 + 0,78)/3 = 0,77 с; v = 2 · 1,00 м / 0,77 с ≈ 2,60 м/с; v²/2 = 2,60² / 2 ≈ 3,38 м²/с²; gh = 9,8 · 0,40 = 3,92 м²/с²; отношение (v²/2)/(gh) = 3,38/3,92 ≈ 0,86. Для h = 0,30 м получаем 2,35/2,94 ≈ 0,80, для h = 0,50 м — 4,32/4,90 ≈ 0,88.
Вывод. Значения gh и v²/2 близки (кинетическая энергия внизу составляет 80–88 % от начальной потенциальной энергии), причём чем больше высота, тем лучше совпадение. Это подтверждает, что потенциальная энергия бруска переходит в кинетическую. Небольшое различие (10–20 %) объясняется силой трения скольжения бруска о плоскость: на работу против неё идёт часть энергии, которая переходит во внутреннюю энергию бруска и плоскости, а также погрешностью измерения времени (около 0,01 с). Если уменьшить трение (гладкая поверхность, брусок на колёсиках), отношение приближается к единице, то есть закон сохранения механической энергии выполняется тем точнее, чем меньше трение.
Оговорка: числовые значения получены для типичного оборудования и могут отличаться.
Задание 41. Пункт 2. Посмотрите ролик «Маятник Максвелла» Изучите принципы работы маятника. Почему маятник с течением времени поднимается на меньшую высоту?
На что расходуется первоначальная энергия маятника?
Маятник Максвелла — это тяжёлый диск, насаженный на тонкую ось, которая подвешена на двух намотанных нитях (рис. 192). Диск закручивают так, чтобы нити намотались на ось и диск поднялся вверх, и отпускают. Принцип работы: пока диск находится вверху, он обладает только потенциальной энергией mgh. При опускании диск раскручивается: потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения вниз и в кинетическую энергию вращения. В нижней точке нити полностью размотаны, потенциальная энергия наименьшая, а скорость вращения наибольшая. Вращение продолжается по инерции, нити наматываются на ось в обратную сторону, и диск поднимается вверх: кинетическая энергия снова переходит в потенциальную. Так диск периодически поднимается и опускается.
Каждый следующий подъём ниже предыдущего, потому что механическая энергия не сохраняется полностью. На диск и ось действуют сила сопротивления воздуха и силы трения нитей об ось и друг о друга; кроме того, при повороте диска в нижней точке нити упруго деформируются, и часть энергии уходит на их нагревание. Первоначальный запас потенциальной энергии диска постепенно расходуется на работу против этих сил: он переходит во внутреннюю энергию нитей, оси, диска и окружающего воздуха (они немного нагреваются), а небольшая доля уходит на звук и колебания подвеса. Поэтому высота подъёма постепенно уменьшается, и диск в конце концов останавливается в нижнем положении. Оговорка: ролик по ссылке не просматривался; ответ основан на устройстве и действии маятника Максвелла, показанного на рис. 192.
Каждый следующий подъём ниже предыдущего, потому что механическая энергия не сохраняется полностью. На диск и ось действуют сила сопротивления воздуха и силы трения нитей об ось и друг о друга; кроме того, при повороте диска в нижней точке нити упруго деформируются, и часть энергии уходит на их нагревание. Первоначальный запас потенциальной энергии диска постепенно расходуется на работу против этих сил: он переходит во внутреннюю энергию нитей, оси, диска и окружающего воздуха (они немного нагреваются), а небольшая доля уходит на звук и колебания подвеса. Поэтому высота подъёма постепенно уменьшается, и диск в конце концов останавливается в нижнем положении. Оговорка: ролик по ссылке не просматривался; ответ основан на устройстве и действии маятника Максвелла, показанного на рис. 192.