Введение. § 5. Точность и погрешность измерений — с. 19
§ 5. Дополнительный вопрос 2. Как вы узнали, в некоторых случаях измерение проводят несколько раз и вычисляют среднее арифметическое значение результатов. В чём смысл этого?
Не получится ли так, что среднее арифметическое будет ещё сильнее отличаться от истинного значения измеряемой величины, чем результаты отдельных измерений?
Результаты повторных измерений немного отличаются друг от друга из-за случайных факторов: дрожания рук, небольших изменений температуры и влажности, разного положения глаза при чтении шкалы. Эти случайные отклонения бывают и в большую, и в меньшую сторону примерно с одинаковой вероятностью. Поэтому при сложении результатов часть отклонений взаимно уничтожается: завышенные значения компенсируются заниженными.
Среднее арифметическое лежит между самым маленьким и самым большим из полученных результатов, значит, оно не может отличаться от истинного значения сильнее, чем самый «плохой» из отдельных результатов. Как правило, оно ближе к истинному значению, чем большинство отдельных измерений.
Пример. Длину бруска измерили трижды: 5,1 см; 5,3 см; 5,2 см. Среднее: (5,1 + 5,3 + 5,2) / 3 = 5,2 см. Каждый отдельный результат отличается от среднего на 0,1 см или меньше, а само среднее надёжнее любого из них.
Важная оговорка: усреднение уменьшает только случайные ошибки. Если прибор неисправен или сдвинут нуль шкалы, все результаты искажены одинаково, и среднее значение этой ошибки не устранит.
Среднее арифметическое лежит между самым маленьким и самым большим из полученных результатов, значит, оно не может отличаться от истинного значения сильнее, чем самый «плохой» из отдельных результатов. Как правило, оно ближе к истинному значению, чем большинство отдельных измерений.
Пример. Длину бруска измерили трижды: 5,1 см; 5,3 см; 5,2 см. Среднее: (5,1 + 5,3 + 5,2) / 3 = 5,2 см. Каждый отдельный результат отличается от среднего на 0,1 см или меньше, а само среднее надёжнее любого из них.
Важная оговорка: усреднение уменьшает только случайные ошибки. Если прибор неисправен или сдвинут нуль шкалы, все результаты искажены одинаково, и среднее значение этой ошибки не устранит.
Задание 4. Пункт 1. Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и ширину какого-либо предмета прямоугольной формы, например книги, пенала. Запишите результаты с учётом абсолютной погрешности измерения.
Ход выполнения. Берём учебник и линейку с миллиметровыми делениями. Цена деления линейки 1 мм, поэтому абсолютная погрешность отсчёта равна половине цены деления: Δ = 0,5 мм = 0,05 см. Совмещаем нулевой штрих линейки с одним краем книги, глаз располагаем над отсчитываемым штрихом, чтобы не было параллакса, и читаем показание у противоположного края.
Типичный результат для учебника: длина a = 22,6 см, ширина b = 17,0 см.
Запись с учётом погрешности:
длина a = (22,60 ± 0,05) см;
ширина b = (17,00 ± 0,05) см.
Вывод: размеры учебника с точностью до половины миллиметра равны примерно 22,6 см и 17,0 см. Оговорка: числа зависят от выбранного предмета; у другой книги или пенала значения будут иными, а погрешность останется той же, пока используется та же линейка.
Типичный результат для учебника: длина a = 22,6 см, ширина b = 17,0 см.
Запись с учётом погрешности:
длина a = (22,60 ± 0,05) см;
ширина b = (17,00 ± 0,05) см.
Вывод: размеры учебника с точностью до половины миллиметра равны примерно 22,6 см и 17,0 см. Оговорка: числа зависят от выбранного предмета; у другой книги или пенала значения будут иными, а погрешность останется той же, пока используется та же линейка.
Задание 4. Пункт 2. Определите показания термометра на рисунке 11, б. Запишите значение с учётом абсолютной погрешности измерения. [на рисунке: спиртовой комнатный термометр со шкалой °C; подписи у штрихов 50, 40, 30, 20, 10, 0 и −10; столбик жидкости заканчивается немного выше штриха «20»]
Определяем цену деления. Берём два соседних подписанных штриха, например 20 °C и 30 °C. Между ними нанесено 10 делений, поэтому цена деления равна (30 °C − 20 °C) / 10 = 1 °C.
Находим уровень жидкости. Верхний край красного столбика находится выше штриха 20 °C примерно на четыре деления, то есть на 4 °C.
Показание термометра: t = 20 °C + 4 · 1 °C = 24 °C.
Абсолютная погрешность отсчёта равна половине цены деления: Δt = 1 °C / 2 = 0,5 °C.
Запись результата: t = (24,0 ± 0,5) °C.
Оговорка: рисунок мелкий, и положение края столбика определено с точностью около одного деления; значение 24 °C получено по числу штрихов от отметки 20 °C, при другом прочтении оно может отличаться на 1 °C.
Находим уровень жидкости. Верхний край красного столбика находится выше штриха 20 °C примерно на четыре деления, то есть на 4 °C.
Показание термометра: t = 20 °C + 4 · 1 °C = 24 °C.
Абсолютная погрешность отсчёта равна половине цены деления: Δt = 1 °C / 2 = 0,5 °C.
Запись результата: t = (24,0 ± 0,5) °C.
Оговорка: рисунок мелкий, и положение края столбика определено с точностью около одного деления; значение 24 °C получено по числу штрихов от отметки 20 °C, при другом прочтении оно может отличаться на 1 °C.
Задание 4. Пункт 3. Определите длину окружности монеты: 1) прокатив её по линейке (рис. 17, а); 2) измерив диаметр монеты (рис. 17, б) и умножив его на число π = 3,14. Сравните результаты измерений. В каком случае вы проводили прямое измерение, в каком — косвенное? [на рисунке: а) монета катится по линейке; б) монета зажата между двумя треугольниками, стоящими на линейке, по которой отсчитывается диаметр]
Способ 1 (прокатывание). Отмечаем на ребре монеты точку и ставим её против нулевого штриха линейки. Прокатываем монету без проскальзывания ровно на один полный оборот, пока отмеченная точка снова не коснётся линейки. Читаем по линейке расстояние, которое прошла точка. Типичный результат для монеты диаметром около 2,5 см: l₁ = 7,9 см.
Способ 2 (через диаметр). Ставим монету между двумя прямоугольными треугольниками, прижатыми к линейке (рис. 17, б). Расстояние между внутренними катетами и есть диаметр: d = 2,5 см. Длина окружности: l₂ = π · d = 3,14 · 2,5 см ≈ 7,85 см ≈ 7,9 см.
Сравнение. Результаты 7,9 см и 7,85 см совпадают в пределах погрешности линейки (± 0,05 см для каждого отсчёта; при вычислении через диаметр погрешность умножается на π и составляет около 0,16 см).
Вид измерений. В способе 1 длина окружности находится непосредственно по шкале линейки, это прямое измерение. В способе 2 измеряется диаметр (прямое измерение), а длина окружности вычисляется по формуле l = πd, поэтому это косвенное измерение.
Оговорка: числа зависят от монеты; значения, полученные у вас, будут немного другими.
Способ 2 (через диаметр). Ставим монету между двумя прямоугольными треугольниками, прижатыми к линейке (рис. 17, б). Расстояние между внутренними катетами и есть диаметр: d = 2,5 см. Длина окружности: l₂ = π · d = 3,14 · 2,5 см ≈ 7,85 см ≈ 7,9 см.
Сравнение. Результаты 7,9 см и 7,85 см совпадают в пределах погрешности линейки (± 0,05 см для каждого отсчёта; при вычислении через диаметр погрешность умножается на π и составляет около 0,16 см).
Вид измерений. В способе 1 длина окружности находится непосредственно по шкале линейки, это прямое измерение. В способе 2 измеряется диаметр (прямое измерение), а длина окружности вычисляется по формуле l = πd, поэтому это косвенное измерение.
Оговорка: числа зависят от монеты; значения, полученные у вас, будут немного другими.
Задание 4. Пункт 4. Измерьте время между ударами пульса. Для этого средним пальцем правой руки нащупайте у себя пульс на левом запястье. Измерьте время, в течение которого происходит 50 ударов пульса, с помощью секундной стрелки часов. Проведите измерение 5 раз. Одинаковое ли время у вас получилось в этих измерениях?
Чему равно среднее время между ударами пульса?
Для каких измерений можно использовать собственный пульс?
Найдите информацию о том, кто из учёных использовал пульс при измерениях.
Ход работы. Сидя в спокойном состоянии, нащупываем пульс на левом запястье и в момент прохождения секундной стрелки через деление 12 начинаем счёт ударов: «0, 1, 2, …, 50». Фиксируем время, когда насчитали 50 ударов. Повторяем 5 раз с небольшими паузами. Цена деления секундной стрелки 1 с, погрешность отсчёта 0,5 с.
Типичные результаты (в секундах): 42; 44; 43; 42; 44.
Одинаковое ли время? Нет, результаты немного различаются (42–44 с): пульс чуть меняется от дыхания и волнения, и мы по-разному ловим начало и конец счёта.
Среднее время 50 ударов: (42 + 44 + 43 + 42 + 44) / 5 = 215 / 5 = 43 с.
Среднее время между ударами: t = 43 с / 50 = 0,86 с (частота около 70 ударов в минуту).
Использование. Пульс можно использовать как «часы» для измерения коротких промежутков времени (порядка секунд), когда нет часов, но только в спокойном состоянии, когда частота пульса стабильна; для точных измерений он не подходит, потому что его период меняется.
Историческая справка. Галилео Галилей, по преданию, наблюдая в соборе Пизы качание люстры, сравнил время её колебаний со своим пульсом и пришёл к выводу, что период колебаний не зависит от размаха. Позже пульс применяли врачи для измерения времени, пока не появились точные часы.
Оговорка: приведённые числа типичные; ваши значения будут зависеть от вашего пульса.
Типичные результаты (в секундах): 42; 44; 43; 42; 44.
Одинаковое ли время? Нет, результаты немного различаются (42–44 с): пульс чуть меняется от дыхания и волнения, и мы по-разному ловим начало и конец счёта.
Среднее время 50 ударов: (42 + 44 + 43 + 42 + 44) / 5 = 215 / 5 = 43 с.
Среднее время между ударами: t = 43 с / 50 = 0,86 с (частота около 70 ударов в минуту).
Использование. Пульс можно использовать как «часы» для измерения коротких промежутков времени (порядка секунд), когда нет часов, но только в спокойном состоянии, когда частота пульса стабильна; для точных измерений он не подходит, потому что его период меняется.
Историческая справка. Галилео Галилей, по преданию, наблюдая в соборе Пизы качание люстры, сравнил время её колебаний со своим пульсом и пришёл к выводу, что период колебаний не зависит от размаха. Позже пульс применяли врачи для измерения времени, пока не появились точные часы.
Оговорка: приведённые числа типичные; ваши значения будут зависеть от вашего пульса.