Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. § 48. Плавание тел — с. 166
§ 48. Дополнительный вопрос 1. Почему плавает тяжёлое судно со стальным корпусом, а гвоздь, упавший в воду, тонет?
Гвоздь сплошной, и его средняя плотность равна плотности стали (около 7800 кг/м³), что намного больше плотности воды (1000 кг/м³). Поэтому сила тяжести гвоздя больше архимедовой силы, действующей на него при полном погружении, и он тонет.
Корпус судна полый: большая часть его объёма занята воздухом и помещениями. Объём подводной части судна во много раз превышает объём стали, из которой изготовлен корпус. Поэтому средняя плотность судна (масса судна с грузом, делённая на весь объём, ограниченный корпусом) меньше плотности воды. Судно погружается лишь до такой глубины, при которой архимедова сила становится равной силе тяжести, и дальше не тонет.
Корпус судна полый: большая часть его объёма занята воздухом и помещениями. Объём подводной части судна во много раз превышает объём стали, из которой изготовлен корпус. Поэтому средняя плотность судна (масса судна с грузом, делённая на весь объём, ограниченный корпусом) меньше плотности воды. Судно погружается лишь до такой глубины, при которой архимедова сила становится равной силе тяжести, и дальше не тонет.
§ 48. Дополнительный вопрос 2. На груди и на спине водолаза размещают специальные утяжелители, точно такие же имеются на башмаках. Зачем это делают?
Тело человека вместе со снаряжением (скафандр, воздух в нём) имеет среднюю плотность, близкую к плотности воды или даже меньшую, поэтому архимедова сила почти уравновешивает силу тяжести, а при воздухе в костюме может превышать её, и водолаза выталкивало бы к поверхности. Утяжелители увеличивают силу тяжести, делая среднюю плотность водолаза больше плотности воды, чтобы он мог погрузиться и спокойно оставаться на нужной глубине.
Расположение грузов важно. Груз на груди и спине (и на башмаках) делает так, чтобы центр тяжести находился ниже точки приложения архимедовой силы и ближе к ногам. Тогда водолаз устойчиво удерживает вертикальное положение, не переворачивается и может ходить по дну, плотно ставя ноги на грунт.
Расположение грузов важно. Груз на груди и спине (и на башмаках) делает так, чтобы центр тяжести находился ниже точки приложения архимедовой силы и ближе к ногам. Тогда водолаз устойчиво удерживает вертикальное положение, не переворачивается и может ходить по дну, плотно ставя ноги на грунт.
§ 48. Дополнительный вопрос 3. Будет ли плавать в ртути стеклянная бутылка, заполненная ртутью?
Будет. Плотность ртути 13 600 кг/м³, плотность стекла около 2500 кг/м³. Бутылка, заполненная ртутью, состоит из ртути и стеклянных стенок. Её средняя плотность равна массе всего (ртуть плюс стекло), делённой на полный наружный объём. Этот объём складывается из объёма ртути внутри и объёма стекла, а стекло намного легче ртути. Поэтому средняя плотность оказывается меньше плотности ртути, но больше плотности стекла.
Пример оценки: если стекло занимает 10 % наружного объёма, то ρср = 0,9·13 600 + 0,1·2500 ≈ 12 500 кг/м³, что меньше 13 600 кг/м³. Значит, FА > Fтяж при полном погружении, бутылка будет всплывать и плавать на поверхности ртути, погрузившись примерно на 92 % своего объёма (12 500 / 13 600 ≈ 0,92).
Пример оценки: если стекло занимает 10 % наружного объёма, то ρср = 0,9·13 600 + 0,1·2500 ≈ 12 500 кг/м³, что меньше 13 600 кг/м³. Значит, FА > Fтяж при полном погружении, бутылка будет всплывать и плавать на поверхности ртути, погрузившись примерно на 92 % своего объёма (12 500 / 13 600 ≈ 0,92).
Упражнение 30. Задача 1. Рассмотрите этапы опыта, изображённого на рисунке 159. Какова цель опыта?
Какие выводы он позволяет сделать? [на рисунке: а) на левой чашке рычажных весов стоит отливной сосуд, налитый водой до уровня отливной трубки, на правой чашке — гиря; весы в равновесии, рядом пустой стакан; б) в сосуд опускают плавающее тело, вытесненная вода выливается через трубку в стакан; в) тело плавает в сосуде, в стакане собрана вытесненная вода, весы по-прежнему в равновесии]
Цель опыта: проверить, как связаны вес плавающего тела и вес жидкости, вытесненной этим телом (условие плавания тел).
Ход опыта. а) В отливной сосуд налита вода до уровня трубки, сосуд с водой уравновешен гирей на другой чашке весов; пустой стакан стоит рядом. б) В сосуд опускают тело. Оно вытесняет воду в объёме погружённой части, и эта вода по трубке выливается в стакан. в) Тело плавает на поверхности, в стакане собрана вытесненная вода. Весы остаются в равновесии, хотя на чашке теперь находятся сосуд, оставшаяся вода и тело.
Рассуждение. Равновесие не нарушилось, значит, масса (вес) чашки с сосудом не изменилась: прибавился вес тела, но убыл вес вытесненной воды, ушедшей в стакан. Следовательно, вес вытесненной воды равен весу тела.
Вывод. Плавающее тело вытесняет жидкость, вес которой равен весу этого тела в воздухе (равен силе тяжести тела). Так как вес вытесненной жидкости равен архимедовой силе, то FА = Fтяж — это и есть условие плавания тела.
Оговорка: рисунок прочитан по характерному виду опыта (весы в равновесии на всех этапах); вывод от этого не зависит.
Ход опыта. а) В отливной сосуд налита вода до уровня трубки, сосуд с водой уравновешен гирей на другой чашке весов; пустой стакан стоит рядом. б) В сосуд опускают тело. Оно вытесняет воду в объёме погружённой части, и эта вода по трубке выливается в стакан. в) Тело плавает на поверхности, в стакане собрана вытесненная вода. Весы остаются в равновесии, хотя на чашке теперь находятся сосуд, оставшаяся вода и тело.
Рассуждение. Равновесие не нарушилось, значит, масса (вес) чашки с сосудом не изменилась: прибавился вес тела, но убыл вес вытесненной воды, ушедшей в стакан. Следовательно, вес вытесненной воды равен весу тела.
Вывод. Плавающее тело вытесняет жидкость, вес которой равен весу этого тела в воздухе (равен силе тяжести тела). Так как вес вытесненной жидкости равен архимедовой силе, то FА = Fтяж — это и есть условие плавания тела.
Оговорка: рисунок прочитан по характерному виду опыта (весы в равновесии на всех этапах); вывод от этого не зависит.
Упражнение 30. Задача 2. Деревянная доска весом 100 Н плавает на поверхности пруда. Чему равна выталкивающая сила, действующая на доску?
Дано: P = 100 Н; доска плавает.
Найти: FА.
Решение. На плавающую доску действуют две силы: сила тяжести Fтяж, направленная вниз, и выталкивающая (архимедова) сила FА, направленная вверх. Доска покоится, значит, силы уравновешены: FА = Fтяж. Сила тяжести доски равна её весу в воздухе: Fтяж = P = 100 Н.
Следовательно, FА = 100 Н.
Ответ: FА = 100 Н.
Найти: FА.
Решение. На плавающую доску действуют две силы: сила тяжести Fтяж, направленная вниз, и выталкивающая (архимедова) сила FА, направленная вверх. Доска покоится, значит, силы уравновешены: FА = Fтяж. Сила тяжести доски равна её весу в воздухе: Fтяж = P = 100 Н.
Следовательно, FА = 100 Н.
Ответ: FА = 100 Н.
Упражнение 30. Задача 3. Тело массой 800 кг и объёмом 1 м³ плавает на поверхности воды. Чему равна выталкивающая сила, действующая на тело?
Дано: m = 800 кг; V = 1 м³; g = 10 Н/кг; тело плавает.
Найти: FА.
Решение. Средняя плотность тела ρ = m/V = 800 кг / 1 м³ = 800 кг/м³ < 1000 кг/м³, поэтому тело действительно плавает на поверхности. Для плавающего тела выталкивающая сила равна силе тяжести:
FА = Fтяж = m·g = 800 кг · 10 Н/кг = 8000 Н.
Проверка: FА = ρв·g·Vп.ч, откуда Vп.ч = 8000 Н / (1000 кг/м³ · 10 Н/кг) = 0,8 м³, т. е. под водой 0,8 м³ из 1 м³ — это возможно.
Ответ: FА = 8000 Н = 8 кН.
Найти: FА.
Решение. Средняя плотность тела ρ = m/V = 800 кг / 1 м³ = 800 кг/м³ < 1000 кг/м³, поэтому тело действительно плавает на поверхности. Для плавающего тела выталкивающая сила равна силе тяжести:
FА = Fтяж = m·g = 800 кг · 10 Н/кг = 8000 Н.
Проверка: FА = ρв·g·Vп.ч, откуда Vп.ч = 8000 Н / (1000 кг/м³ · 10 Н/кг) = 0,8 м³, т. е. под водой 0,8 м³ из 1 м³ — это возможно.
Ответ: FА = 8000 Н = 8 кН.
Упражнение 30. Задача 4. Одно и то же тело плавает в двух разных жидкостях (рис. 160). У какой жидкости плотность больше и почему?
Каково соотношение между силой тяжести, действующей на тело, и архимедовой силой в каждом случае? [на рисунке: два одинаковых сосуда; в верхнем — голубая жидкость, тело погружено почти целиком; в нижнем — жёлтая жидкость, тело погружено заметно меньше]
Рассуждение. Тело плавает в обеих жидкостях, поэтому в каждом случае сила тяжести равна архимедовой силе: Fтяж = FА. Так как тело одно и то же, сила тяжести в обоих случаях одинакова, значит, одинакова и архимедова сила: FА1 = FА2 = Fтяж.
Архимедова сила FА = ρж·g·Vп.ч, где Vп.ч — объём погружённой части. Из равенства ρж1·g·Vп.ч1 = ρж2·g·Vп.ч2 получаем ρж2/ρж1 = Vп.ч1/Vп.ч2. По рисунку в первой (верхней) жидкости тело погружено глубже, т. е. Vп.ч1 > Vп.ч2 (в первой погружено примерно 95 % объёма, во второй примерно 75 %). Значит, ρж2 > ρж1: чтобы создать ту же выталкивающую силу, более плотной жидкости достаточно вытеснить меньший объём.
Ответ: плотность больше у второй жидкости (в которой тело погружено меньше); в обоих случаях Fтяж = FА.
Оговорка: степень погружения оценена по рисунку приблизительно.
Архимедова сила FА = ρж·g·Vп.ч, где Vп.ч — объём погружённой части. Из равенства ρж1·g·Vп.ч1 = ρж2·g·Vп.ч2 получаем ρж2/ρж1 = Vп.ч1/Vп.ч2. По рисунку в первой (верхней) жидкости тело погружено глубже, т. е. Vп.ч1 > Vп.ч2 (в первой погружено примерно 95 % объёма, во второй примерно 75 %). Значит, ρж2 > ρж1: чтобы создать ту же выталкивающую силу, более плотной жидкости достаточно вытеснить меньший объём.
Ответ: плотность больше у второй жидкости (в которой тело погружено меньше); в обоих случаях Fтяж = FА.
Оговорка: степень погружения оценена по рисунку приблизительно.
Упражнение 30. Задача 5. Как в сосуде, содержащем керосин, расположатся три сплошных шарика: пробковый, парафиновый, стальной?
Ответ обоснуйте. Сделайте рисунок. Изобразите на рисунке силы, действующие на тела различной плотности, погружённые в жидкость.
Рассуждение. Положение сплошного шарика определяется сравнением плотности его вещества с плотностью жидкости. Плотности (по таблице): керосин 800 кг/м³; пробка 240 кг/м³; парафин 900 кг/м³; сталь 7800 кг/м³.
Пробковый шарик: ρпр = 240 кг/м³ < 800 кг/м³, поэтому Fтяж < FА при полном погружении. Шарик всплывёт и будет плавать на поверхности керосина, погрузившись на ρпр/ρк = 240/800 = 0,3 своего объёма; на плавающий шарик Fтяж = FА.
Парафиновый шарик: ρпар = 900 кг/м³ > 800 кг/м³, поэтому Fтяж > FА. Шарик утонет и окажется на дне; разность сил невелика (FА составляет 800/900 ≈ 89 % от Fтяж), остальное уравновешивает сила реакции дна.
Стальной шарик: ρст = 7800 кг/м³ ≫ 800 кг/м³, поэтому Fтяж много больше FА (FА ≈ 10 % от Fтяж). Шарик утонет и будет лежать на дне.
Ответ: пробка плавает на поверхности, парафин и сталь лежат на дне. На каждый шарик действуют сила тяжести (вниз, красная стрелка) и архимедова сила (вверх, зелёная стрелка); на рисунке показаны их соотношения; у лежащих на дне шариков добавляется ещё сила реакции опоры дна, направленная вверх.
Пробковый шарик: ρпр = 240 кг/м³ < 800 кг/м³, поэтому Fтяж < FА при полном погружении. Шарик всплывёт и будет плавать на поверхности керосина, погрузившись на ρпр/ρк = 240/800 = 0,3 своего объёма; на плавающий шарик Fтяж = FА.
Парафиновый шарик: ρпар = 900 кг/м³ > 800 кг/м³, поэтому Fтяж > FА. Шарик утонет и окажется на дне; разность сил невелика (FА составляет 800/900 ≈ 89 % от Fтяж), остальное уравновешивает сила реакции дна.
Стальной шарик: ρст = 7800 кг/м³ ≫ 800 кг/м³, поэтому Fтяж много больше FА (FА ≈ 10 % от Fтяж). Шарик утонет и будет лежать на дне.
Ответ: пробка плавает на поверхности, парафин и сталь лежат на дне. На каждый шарик действуют сила тяжести (вниз, красная стрелка) и архимедова сила (вверх, зелёная стрелка); на рисунке показаны их соотношения; у лежащих на дне шариков добавляется ещё сила реакции опоры дна, направленная вверх.
Упражнение 30. Задача 6. Почему нельзя тушить горящий бензин, заливая его водой?
Плотность бензина (около 710 кг/м³) меньше плотности воды (1000 кг/м³), и бензин с водой не смешивается. Поэтому налитая вода опускается вниз, а горящий бензин всплывает и остаётся на поверхности воды. Вода не перекрывает доступ воздуха к горящему бензину, огонь продолжает гореть. Более того, бензин растекается по поверхности воды и занимает всё большую площадь, а значит, горение распространяется ещё шире, и пожар усиливается. Горящий бензин тушат песком, землёй, пеной или плотной тканью, прекращая доступ кислорода к горящей жидкости.
Упражнение 30. Задача 7. Плавающий на воде деревянный брусок вытесняет воду объёмом 0,72 м³, а погружённый в воду целиком — 0,9 м³. Определите выталкивающие силы, действующие на брусок в том и другом случае. Объясните, почему эти силы различны.
Дано: V₁ = 0,72 м³ (брусок плавает); V₂ = 0,9 м³ (брусок погружён целиком); ρв = 1000 кг/м³; g = 10 Н/кг.
Найти: FА1, FА2.
Решение. Архимедова сила равна весу вытесненной воды: FА = ρв·g·V.
FА1 = 1000 кг/м³ · 10 Н/кг · 0,72 м³ = 7200 Н.
FА2 = 1000 кг/м³ · 10 Н/кг · 0,9 м³ = 9000 Н.
Объяснение. Объём бруска V = 0,9 м³ (он полностью вытесняет 0,9 м³ воды). Сила тяжести бруска равна 7200 Н, поскольку на плавающий брусок Fтяж = FА1. При полном погружении выталкивающая сила больше (9000 Н), потому что вытесняется больший объём воды, а значит, больший её вес (9000 Н > 7200 Н). Если держать брусок под водой, к нему нужно приложить вниз добавочную силу 9000 Н − 7200 Н = 1800 Н. Отпущенный брусок всплывает; по мере всплытия объём погружённой части уменьшается до 0,72 м³, и архимедова сила падает до 7200 Н, равной силе тяжести.
Ответ: 7200 Н и 9000 Н.
Найти: FА1, FА2.
Решение. Архимедова сила равна весу вытесненной воды: FА = ρв·g·V.
FА1 = 1000 кг/м³ · 10 Н/кг · 0,72 м³ = 7200 Н.
FА2 = 1000 кг/м³ · 10 Н/кг · 0,9 м³ = 9000 Н.
Объяснение. Объём бруска V = 0,9 м³ (он полностью вытесняет 0,9 м³ воды). Сила тяжести бруска равна 7200 Н, поскольку на плавающий брусок Fтяж = FА1. При полном погружении выталкивающая сила больше (9000 Н), потому что вытесняется больший объём воды, а значит, больший её вес (9000 Н > 7200 Н). Если держать брусок под водой, к нему нужно приложить вниз добавочную силу 9000 Н − 7200 Н = 1800 Н. Отпущенный брусок всплывает; по мере всплытия объём погружённой части уменьшается до 0,72 м³, и архимедова сила падает до 7200 Н, равной силе тяжести.
Ответ: 7200 Н и 9000 Н.
Упражнение 30. Задача 8*. Определите, какая часть объёма айсберга находится под водой.
Дано: ρл = 900 кг/м³; ρв = 1000 кг/м³.
Найти: Vп.ч/V.
Решение. Айсберг плавает, поэтому сила тяжести равна архимедовой силе: Fтяж = FА. Fтяж = ρл·V·g, FА = ρв·Vп.ч·g, где V — полный объём айсберга, Vп.ч — объём его подводной части. Тогда ρл·V·g = ρв·Vп.ч·g, откуда
Vп.ч/V = ρл/ρв = 900 кг/м³ / 1000 кг/м³ = 0,9.
Ответ: под водой находится 0,9 объёма айсберга, т. е. 90 %; над водой виден лишь десятая часть.
Оговорка: в солёной морской воде (ρ ≈ 1030 кг/м³) под водой около 87 %; расчёт выполнен для воды плотностью 1000 кг/м³, как в примере параграфа.
Найти: Vп.ч/V.
Решение. Айсберг плавает, поэтому сила тяжести равна архимедовой силе: Fтяж = FА. Fтяж = ρл·V·g, FА = ρв·Vп.ч·g, где V — полный объём айсберга, Vп.ч — объём его подводной части. Тогда ρл·V·g = ρв·Vп.ч·g, откуда
Vп.ч/V = ρл/ρв = 900 кг/м³ / 1000 кг/м³ = 0,9.
Ответ: под водой находится 0,9 объёма айсберга, т. е. 90 %; над водой виден лишь десятая часть.
Оговорка: в солёной морской воде (ρ ≈ 1030 кг/м³) под водой около 87 %; расчёт выполнен для воды плотностью 1000 кг/м³, как в примере параграфа.
Задание 34. Пункт 1. Для отделения зёрен ржи от ядовитых спор спорыньи смесь высыпают в воду, и зёрна ржи и споры спорыньи в ней тонут. Затем в воду добавляют соль, и споры спорыньи начинают всплывать, а ржаные зёрна остаются на дне. Объясните способ очистки зёрен.
Сначала зёрна ржи и споры спорыньи тонут в чистой воде: плотность и тех и других больше плотности воды (1000 кг/м³), поэтому на них действует сила тяжести больше архимедовой силы: Fтяж > FА.
При растворении соли в воде плотность раствора увеличивается. Архимедова сила FА = ρж·g·V растёт вместе с плотностью жидкости. Плотность спор спорыньи меньше плотности зёрен ржи, поэтому плотность раствора достигает значения большего, чем плотность спор, но ещё меньшего, чем плотность зёрен. Когда ρраствора > ρспор, для спор FА > Fтяж, и они всплывают; для зёрен ρзерна > ρраствора, т. е. FА < Fтяж, и зёрна остаются на дне.
Практически соль добавляют до нужной концентрации, затем снимают всплывшие споры, а чистое зерно отделяют и промывают чистой водой, чтобы удалить соль.
При растворении соли в воде плотность раствора увеличивается. Архимедова сила FА = ρж·g·V растёт вместе с плотностью жидкости. Плотность спор спорыньи меньше плотности зёрен ржи, поэтому плотность раствора достигает значения большего, чем плотность спор, но ещё меньшего, чем плотность зёрен. Когда ρраствора > ρспор, для спор FА > Fтяж, и они всплывают; для зёрен ρзерна > ρраствора, т. е. FА < Fтяж, и зёрна остаются на дне.
Практически соль добавляют до нужной концентрации, затем снимают всплывшие споры, а чистое зерно отделяют и промывают чистой водой, чтобы удалить соль.