Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. § 43. Барометр-анероид. Атмосферное давление на различных высотах — с. 147
§ 43. Вопрос 1. Каково устройство и принцип действия барометра-анероида?
Основная часть барометра-анероида — герметично закрытая металлическая гофрированная коробочка (камера), из которой откачан воздух. Чтобы атмосферное давление не раздавило коробочку, её крышку оттягивает плоская пружина, и сила упругости пружины уравновешивает силу внешнего давления. Пружина через систему рычагов и зубчатый механизм связана со стрелкой-указателем. При увеличении атмосферного давления крышка коробочки прогибается сильнее, пружина деформируется, и стрелка смещается по шкале в одну сторону; при уменьшении давления пружина выпрямляет крышку, и стрелка уходит в другую сторону. Шкала прибора проградуирована по показаниям ртутного барометра, поэтому по положению стрелки можно прочитать давление в мм рт. ст. и в гПа.
§ 43. Вопрос 2. В каких единицах градуируют шкалы барометра-анероида?
Шкалы барометра-анероида градуируют в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.) и в гектопаскалях (гПа). Две шкалы нужны потому, что мм рт. ст. — привычная внесистемная единица, пришедшая от ртутного барометра, а гектопаскаль — кратная единица СИ (1 гПа = 100 Па). Соотношение между ними: 1 мм рт. ст. ≈ 133,3 Па ≈ 1,333 гПа; например, нормальное давление 760 мм рт. ст. = 101 300 Па = 1013 гПа.
§ 43. Вопрос 3. Объясните, почему атмосферное давление уменьшается с увеличением высоты подъёма над уровнем моря.
Атмосферное давление создаётся весом столба воздуха, лежащего над данным уровнем. При подъёме над Землёй высота этого столба уменьшается, поэтому уменьшается и его вес, а значит, и давление. Кроме того, с высотой убывает плотность воздуха: он становится всё более разрежённым, и верхние слои «весят» меньше нижних. Поэтому давление убывает неравномерно: у поверхности Земли при небольших подъёмах (до 2000 м) оно падает примерно на 1 мм рт. ст. на каждые 10,5 м, а на больших высотах — медленнее.
§ 43. Вопрос 4. Какое давление называют нормальным атмосферным давлением?
Нормальным атмосферным давлением называют давление, равное давлению столба ртути высотой 760 мм при температуре 0 °C. Оно примерно равно среднему давлению воздуха на уровне моря. В разных единицах нормальное давление равно 760 мм рт. ст. = 101 300 Па = 1013 гПа. Проверка: p = ρgh = 13 600 кг/м³ · 9,8 Н/кг · 0,76 м ≈ 101 300 Па.
§ 43. Вопрос 5. Что такое высотомер?
Высотомер — это прибор для определения высоты над поверхностью Земли, представляющий собой барометр-анероид со специальной шкалой (рис. 139). Принцип основан на том, что атмосферное давление определённым образом зависит от высоты: чем выше, тем оно меньше. Поэтому шкалу барометра градуируют не в единицах давления, а сразу в метрах (или километрах) высоты. Высотомеры применяют в авиации, альпинизме, парашютном спорте; существуют механические (стрелочные) и электронные приборы. Точность показаний зависит от погоды: при изменении атмосферного давления на данной высоте прибор нужно поправлять.
§ 43. Дополнительный вопрос. К динамометру подвешена тонкостенная трубка ртутного барометра. Что показывает динамометр?
Будут ли меняться его показания при изменении внешнего давления?
Трубка ртутного барометра закрыта сверху, а нижним открытым концом опущена в ртуть (или находится над ней). Над ртутью в трубке — пустота, давления там нет. На закрытый верхний торец трубки снаружи давит атмосфера с силой F = p·S (S — площадь сечения трубки), а изнутри ничего не давит. Эта сила направлена вниз и по величине равна весу столба ртути в трубке: p·S = ρgh·S. Следовательно, динамометр показывает вес самой трубки плюс силу атмосферного давления на её верх, т. е. вес трубки и вес находящейся в ней ртути (трубка тонкостенная, силой на кольцо её стенок снизу пренебрегаем). Показания будут меняться: при росте внешнего давления столб ртути становится выше, его вес и показание динамометра увеличиваются, при падении давления — уменьшаются.
Упражнение 26. Задача 1. Запишите показания барометра-анероида (см. рис. 137) по каждой шкале с учётом абсолютной погрешности измерений, равной половине цены деления шкалы прибора. [на рисунке: стрелка стоит у отметки 750 мм рт. ст. внешней шкалы и 1000 гПа внутренней шкалы]
Решение. Читаем рисунок 137: стрелка-указатель направлена вверх и стоит у отметки 750 внешней шкалы (мм рт. ст.) и у отметки 1000 внутренней шкалы (гПа). Вторая (красная) стрелка в измерении не участвует.
Шкала в мм рт. ст.: между соседними подписанными отметками 750 и 760 нанесено 10 малых делений, цена деления (760 − 750) / 10 = 1 мм рт. ст. Абсолютная погрешность Δp = 1/2 · 1 мм рт. ст. = 0,5 мм рт. ст.
Шкала в гПа: между соседними подписанными отметками 1000 и 1010 нанесено 10 малых делений, цена деления (1010 − 1000) / 10 = 1 гПа. Абсолютная погрешность Δp = 1/2 · 1 гПа = 0,5 гПа.
Ответ: p = (750,0 ± 0,5) мм рт. ст.; p = (1000,0 ± 0,5) гПа.
Проверка: 750 мм рт. ст. · 1,333 гПа/мм рт. ст. ≈ 1000 гПа — шкалы согласованы.
Шкала в мм рт. ст.: между соседними подписанными отметками 750 и 760 нанесено 10 малых делений, цена деления (760 − 750) / 10 = 1 мм рт. ст. Абсолютная погрешность Δp = 1/2 · 1 мм рт. ст. = 0,5 мм рт. ст.
Шкала в гПа: между соседними подписанными отметками 1000 и 1010 нанесено 10 малых делений, цена деления (1010 − 1000) / 10 = 1 гПа. Абсолютная погрешность Δp = 1/2 · 1 гПа = 0,5 гПа.
Ответ: p = (750,0 ± 0,5) мм рт. ст.; p = (1000,0 ± 0,5) гПа.
Проверка: 750 мм рт. ст. · 1,333 гПа/мм рт. ст. ≈ 1000 гПа — шкалы согласованы.
Упражнение 26. Задача 2. Почему объём воздушного шарика, наполненного гелием, увеличивается при подъёме от поверхности Земли?
Оболочка шарика эластична, и давление газа внутри шарика почти равно давлению окружающего воздуха. При подъёме атмосферное давление уменьшается, потому что уменьшается высота столба воздуха над шариком и плотность воздуха. Внешнее давление становится меньше, чем давление гелия в шарике, и гелий расширяется, растягивая оболочку. Объём шарика растёт до тех пор, пока давление гелия снова не сравняется с внешним давлением (так как температура меняется мало, при уменьшении давления объём газа увеличивается). Если шарик поднимется очень высоко, оболочка может не выдержать растяжения, и шарик лопнет.
Упражнение 26. Задача 3. Рассчитайте высоту столба воды в водяном барометре, созданном Паскалем в 1646 г. (рис. 140). Атмосферное давление считать нормальным. [на рисунке: Паскаль у высокой вертикальной трубки водяного барометра у стены дома]
Дано: p = 101 300 Па (нормальное атмосферное давление); ρ = 1000 кг/м³ (вода); g = 9,8 Н/кг.
Найти: h.
Решение: столб воды уравновешивает атмосферное давление, p = ρgh, откуда h = p/(ρg).
h = 101 300 Па / (1000 кг/м³ · 9,8 Н/кг) ≈ 10,3 м.
Ответ: h ≈ 10,3 м (трубка высотой с трёхэтажный дом).
Замечание: ртутный столб при том же давлении 0,76 м, т. е. в 13,6 раза ниже, поскольку ртуть в 13,6 раза плотнее воды.
Найти: h.
Решение: столб воды уравновешивает атмосферное давление, p = ρgh, откуда h = p/(ρg).
h = 101 300 Па / (1000 кг/м³ · 9,8 Н/кг) ≈ 10,3 м.
Ответ: h ≈ 10,3 м (трубка высотой с трёхэтажный дом).
Замечание: ртутный столб при том же давлении 0,76 м, т. е. в 13,6 раза ниже, поскольку ртуть в 13,6 раза плотнее воды.
Упражнение 26. Задача 4. У подножия горы барометр показывает 1013 гПа, а на вершине — 962 гПа. Какова примерно высота горы?
Дано: p₁ = 1013 гПа = 101 300 Па; p₂ = 962 гПа = 96 200 Па. Известно: при небольших подъёмах давление падает на 1 мм рт. ст. (133,3 Па) на каждые 10,5 м.
Найти: h.
Решение: разность давлений Δp = p₁ − p₂ = 101 300 Па − 96 200 Па = 5100 Па.
В миллиметрах ртутного столба: Δp = 5100 Па / 133,3 Па/мм рт. ст. ≈ 38,3 мм рт. ст.
Высота горы h = 38,3 · 10,5 м ≈ 402 м.
Ответ: h ≈ 400 м (402 м).
Найти: h.
Решение: разность давлений Δp = p₁ − p₂ = 101 300 Па − 96 200 Па = 5100 Па.
В миллиметрах ртутного столба: Δp = 5100 Па / 133,3 Па/мм рт. ст. ≈ 38,3 мм рт. ст.
Высота горы h = 38,3 · 10,5 м ≈ 402 м.
Ответ: h ≈ 400 м (402 м).
Упражнение 26. Задача 5. Лётчик поднял самолёт на высоту 2 км. Как изменилось показание барометра?
Дано: h = 2 км = 2000 м; на каждые 10,5 м подъёма давление уменьшается на 1 мм рт. ст. (133,3 Па).
Найти: Δp.
Решение: при подъёме на 2000 м давление уменьшится на Δp = 2000 м / 10,5 м · 1 мм рт. ст. ≈ 190 мм рт. ст.
В паскалях: Δp ≈ 190 · 133,3 Па ≈ 25 400 Па ≈ 25,4 кПа.
Ответ: показание барометра уменьшилось примерно на 190 мм рт. ст., т. е. на 25,4 кПа (например, с 760 до 570 мм рт. ст.).
Найти: Δp.
Решение: при подъёме на 2000 м давление уменьшится на Δp = 2000 м / 10,5 м · 1 мм рт. ст. ≈ 190 мм рт. ст.
В паскалях: Δp ≈ 190 · 133,3 Па ≈ 25 400 Па ≈ 25,4 кПа.
Ответ: показание барометра уменьшилось примерно на 190 мм рт. ст., т. е. на 25,4 кПа (например, с 760 до 570 мм рт. ст.).
Упражнение 26. Задача 6. Вычислите, с какой силой давит воздух на крышку стола длиной 1 м и шириной 60 см при нормальном атмосферном давлении.
Дано: a = 1 м; b = 60 см = 0,6 м; p = 101 300 Па.
Найти: F.
Решение: площадь крышки S = ab = 1 м · 0,6 м = 0,6 м². Сила давления F = pS.
F = 101 300 Па · 0,6 м² ≈ 60 800 Н ≈ 6,1 · 10⁴ Н.
Ответ: F ≈ 6,1 · 10⁴ Н = 61 кН (как вес груза массой около 6 т). Стол не ломается, потому что такое же давление действует и снизу на крышку, и силы уравновешиваются.
Найти: F.
Решение: площадь крышки S = ab = 1 м · 0,6 м = 0,6 м². Сила давления F = pS.
F = 101 300 Па · 0,6 м² ≈ 60 800 Н ≈ 6,1 · 10⁴ Н.
Ответ: F ≈ 6,1 · 10⁴ Н = 61 кН (как вес груза массой около 6 т). Стол не ломается, потому что такое же давление действует и снизу на крышку, и силы уравновешиваются.